2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)23 正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用 理（含解析）北師大版

課后限時集訓(xùn)(二十三)正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用(建議用時：60分鐘)A組基礎(chǔ)達標一、選擇題1.如圖所示，已知A，B兩點分別在河的兩岸，某測量者在點A所在的河岸邊另選定一點C，測得AC50 m，ACB45°，CAB105°，則A，B兩點的距離為()A50 mB25 mC25 m D50 mD因為ACB45°，CAB105°，所以B30°.由正弦定理可知，即，解得AB50 m2在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sin A2sin B，cos C，則()A. BC. DB在ABC中，由sin A2sin B及正弦定理，得a2b，再由cos C及余弦定理，得，將ba代入，得，化簡整理得2，故選B3(2018·永州一模)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若2sin Bsin Asin C，cos B，且SABC6，則b()A2 B3C4 D5C在ABC中，由正弦定理可得，2bac，由余弦定理可得，b2a2c22ac×(ac)2ac，由cos B，得sin B，故SABCac×6，由得，b4.故選C.4(2018·珠海二模)設(shè)銳角ABC的三內(nèi)角A，B，C所對邊的邊長分別為a，b，c，且a1，B2A，則b的取值范圍為()A(，) B(1，)C(，2) D(0,2)AB2A，sin Bsin 2A2sin Acos A.a1，b2acos A2cos A.又ABC為銳角三角形，A，cos A.即b2cos A，故選A.5(2018·秦皇島一模)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acos Bacos Cbc，則ABC的形狀為()A等邊三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D直角三角形Dacos Bacos Cbc，a·a·bc，bc，bc，bc，a2b2c22bc2bc，a2b2c2，ABC為直角三角形二、填空題6(2019·南寧模擬)ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若sin B2sin C，且a，A，則c_.由sin B2sin C及正弦定理可得b2c，在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，則144c2c24c2×7c2，解得c.7(2018·陜西二模)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知1，且b5，·5，則ABC的面積是_由1及正弦定理，得1，即b2c2a2bc，所以cos A，所以A.因為·bccos Ac5，所以c2，所以SABCbcsin A×5×2×.8在ABC中，點D在邊AB上，CDBC，AC5，CD5，BD2AD，則AD的長為_5在ABC中，BD2AD，設(shè)ADx(x0)，則BD2x.在BCD中，因為CDBC，CD5，BD2x，所以cosCDB.在ACD中，ADx，CD5，AC5，則cosADC.因為CDBADC，所以cosADCcosCDB，即，解得x5，所以AD的長為5.三、解答題9(2019·武昌模擬)在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且2bcos C2ac.(1)求B；(2)若b2，ac，求ABC的面積解(1)由正弦定理，知2sin Bcos C2sin Asin C，由ABC，得2sin Bcos C2sin(BC)sin C，化簡，得2sin Bcos C2(sin Bcos Ccos Bsin C)sin C，即2cos Bsin Csin C0.因為sin C0，所以cos B.因為0B，所以B.(2)由余弦定理b2a2c22accos B，可知b2(ac)22ac2accos B，因為b2，ac，所以22()22ac2accos ，得ac1.所以SABCacsin B×1×.10.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB2，AC2，ADCCAB90°，設(shè)ACD.(1)若60°，求BD的長度；(2)若ADB30°，求tan .解(1)在RtADC中，AC2，ACD60°，ADACsin 60°.又在ABD中，AB2，BAD120°，BD2AD2AB22AD·ABcosBAD()2(2)22××2cos 120°21，BD.(2)在RtADC中，ACD，AC2，ADACsin 2sin .又在ABD中，ADB30°，CAB90°，CADABD180°ADBCAB60°，ABD60°CAD60°(90°)30°.在ABD中，由正弦定理得，即4，2，2sin cos ，tan .B組能力提升1(2019·鄭州模擬)某人在C點測得某塔在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進10米到D，測得塔頂A的仰角為30°，則塔高為(測仰角的儀器距地面的距離忽略不計)()A15米 B5米C10米 D12米C如圖，設(shè)塔高為h，在RtAOC中，ACO45°，則OCOAh.在RtAOD中，ADO30°，則ODh.在OCD中，OCD120°，CD10，由余弦定理，得OD2OC2CD22OC·CD·cosOCD，即(h)2h21022h×10×cos 120°，h25h500，解得h10或h5(舍去)2(2019·衡水模擬)在不等邊三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，則角A的取值范圍為()A. BC. DD由題意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a2b2c2，即b2c2a20，則cos A0.0A，0A.又a為最大邊，A.因此得角A的取值范圍是.3數(shù)學(xué)九章三斜求積術(shù)：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積”秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，“術(shù)”即方法以S，a，b，c分別表示三角形的面積、大斜、中斜、小斜，ha，hb，hc分別為對應(yīng)的大斜、中斜、小斜上的高，則Sahabhbchc.若在ABC中，ha，hb2，hc3，根據(jù)上述公式，可以推出該三角形外接圓的半徑為_由ahabhbchc，得a2b3c，則abc232，令a2k，b3k，c2k(k0)，代入Saha，得6k，解得k.又由余弦定理，得cos A，則sin A，所以三角形ABC外接圓的直徑2R×，即R.4(2019·太原一模)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求sin(AB)sin Acos Acos(AB)的最大值；(2)若b，當ABC的面積最大時，求ABC的周長解(1)由，得，所以abcos Ccsin B，即sin Asin Bcos Csin Csin B，又sin Asin(BC)sin Bcos Csin Ccos B，所以cos Bsin B，因為B(0，)，所以B，則sin(AB)sin Acos Acos(AB)(sin Acos A)sin Acos A，令tsin Acos A，因為sin Acos Asin，0A，所以0t，sin(AB)sin Acos Acos(AB)t2t(t)2，所以當t，即A時，上式取得最大值，為.(2)結(jié)合(1)得Sacsin Bac，b2a2c22accos B，即2a2c2ac(2)ac，ac2，當且僅當ac時等號成立，所以Smax，此時ac，所以周長Labc2.- 7 -