2020年高考數(shù)學一輪復習 考點題型 課下層級訓練25 正弦定理和余弦定理的應用(含解析)
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2020年高考數(shù)學一輪復習 考點題型 課下層級訓練25 正弦定理和余弦定理的應用(含解析)
課下層級訓練(二十五)正弦定理和余弦定理的應用A級基礎強化訓練1如圖,兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40°,燈塔B在觀察站南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10°B北偏西10°C南偏東80°D南偏西80°【答案】D由條件及題圖可知,AB40°,又BCD60°,所以CBD30°,所以DBA10°,因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.2(2019·湖北十堰調研)已知A,B兩地間的距離為10 km,B,C兩地間的距離為20 km,現(xiàn)測得ABC120°,則A,C兩地間的距離為()A10 km B10 kmC10 kmD10 km【答案】D如圖所示,由余弦定理可得,AC21004002×10×20×cos 120°700,AC10.3(2019·河南鄭州月考)如圖所示,測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D,測得BCD15°,BDC30°,CD30,并在點C測得塔頂A的仰角為60°,則塔高AB等于() A5B15C5D15【答案】D在BCD中,CBD180°15°30°135°. 由正弦定理得,所以BC15. 在RtABC中,ABBCtanACB15×15.4一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40 n mile的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是()A10 n mileB10 n mileC20 n mileD20 n mile【答案】A畫出示意圖如圖所示,易知,在ABC中,AB20 n mile,CAB30°,ACB45°,根據(jù)正弦定理得,解得BC10 n mile.5如圖,兩座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分別為20 m,50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A30°B45°C60°D75°【答案】B依題意可得AD20,AC30,又CD50,所以在ACD中,由余弦定理得cosCAD,又0°<CAD<180°,所以CAD45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.6輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港C,兩船航行方向的夾角為120°,兩船的航行速度分別為25 n mile/h,15 n mile/h,則下午2時兩船之間的距離是_n mile.【答案】70設兩船之間的距離為d,則d25023022×50×30×cos 120°4 900,d70,即兩船相距70 n mile.7一船以每小時15 km的速度向正東航行,船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向,行駛4 h后,船到B處,看到這個燈塔在北偏東15°方向,這時船與燈塔的距離為_km.【答案】30如圖所示,依題意有:AB15×460,MAB30°,AMB45°,在AMB中,由正弦定理得,解得BM30(km)8(2018·福建福州質檢)如圖,小明同學在山頂A處觀測到,一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛,小明在A處測得公路上B,C兩點的俯角分別為30°,45°,且BAC135°.若山高AD100 m,汽車從B點到C點歷時14 s,則這輛汽車的速度為_ m/s(精確到0.1)參考數(shù)據(jù):1.414,2.236.【答案】22.6由題意可得AB200,AC100,在ABC中,由余弦定理可得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC105,則BC100141.4×2.236,又歷時14 s,所以速度為22.6 m/s.9(2019·山西監(jiān)測)如圖,點A,B,C在同一水平面上,AC4,CB6. 現(xiàn)要在點C處搭建一個觀測站CD,點D在頂端(1)原計劃CD為鉛垂線方向,45°,求CD的長;(2)搭建完成后,發(fā)現(xiàn)CD與鉛垂線方向有偏差,并測得30°,53°,求CD2.(結果精確到1)(本題參考數(shù)據(jù):sin 97°1,cos 53°0.6)【答案】解(1)CD為鉛垂線方向,點D在頂端,CDAB 又45°,CDAC4.(2)在ABD中,53°30°83°,ABACCB4610,ADB180°83°97°,由得AD5.在ACD中,CD2AD2AC22AD·ACcos 52422×5×4×cos 53°17.10已知在東西方向上有M,N兩座小山,山頂各有一個發(fā)射塔A,B,塔頂A,B的海拔高度分別為AM100 m和BN200 m,一測量車在小山M的正南方向的點P處測得發(fā)射塔頂A的仰角為30°,該測量車向北偏西60°方向行駛了100 m后到達點Q,在點Q處測得發(fā)射塔頂B處的仰角為,且BQA,經測量tan 2,求兩發(fā)射塔頂A,B之間的距離【答案】解在RtAMP中,APM30°,AM100,PM100,在PQM中,QPM60°,又PQ100,PQM為等邊三角形,QM100.在RtAMQ中,由AQ2AM2QM2,得AQ200.在RtBNQ中,tan 2,BN200,BQ100,cos .在BQA中,BA2BQ2AQ22BQ·AQcos (100)2,BA100.即兩發(fā)射塔頂A,B之間的距離是100 m.B級能力提升訓練11(2019·廣東廣州調研)如圖所示長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上,另一端B在離堤足C處2.8 m的石堤上,石堤的傾斜角為,則坡度值tan 等于()ABCD【答案】A由題意,可得在ABC中,AB3.5 m,AC1.4 m,BC2.8 m,且ACB.由余弦定理,可得AB2AC2BC22×AC×BC×cosACB,即3.521.422.822×1.4×2.8×cos(),解得cos ,所以sin ,所以tan .12(2019·湖北武昌調研)如圖,據(jù)氣象部門預報,在距離某碼頭南偏東45°方向600 km處的熱帶風暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移動,距風暴中心450 km以內的地區(qū)都將受到影響,則該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間為()A14 hB15 hC16 hD17 h【答案】B記現(xiàn)在熱帶風暴中心的位置為點A,t小時后熱帶風暴中心到達B點位置,在OAB中,OA600,AB20t,OAB45°,根據(jù)余弦定理得OB26002400t22×20t×600×,令OB24502,即4t2120t1 5750,解得t,所以該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間為15(h)13(2018·福建泉州模擬)如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50 m,則該扇形的半徑為_ m.【答案】50如圖,連接OC,在OCD中,OD100,CD150,CDO60°.由余弦定理得OC2100215022×100×150×cos 60°17 500,解得OC50.14(2018·山東臨沂期中)我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在數(shù)學九章的“田域類”中寫道:問沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知為田幾何意思是已知三角形沙田的三邊長分別為13,14,15里,求三角形沙田的面積請問此田面積為_平方里【答案】84由題意畫出圖象:且AB13里,BC14里,AC15里,在ABC中,由余弦定理得,cos B,所以sin B,則該沙田的面積:即ABC的面積SAB·BC·sin B×13×14×84.15如圖所示,在一條海防警戒線上的點A,B,C處各有一個水聲監(jiān)測點,B,C兩點到點A的距離分別為20 km和50 km.某時刻,B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波信號,8 s后A,C同時接收到該聲波信號,已知聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s.(1)設A到P的距離為x km,用x表示B,C到P的距離,并求x的值;(2)求靜止目標P到海防警戒線AC的距離【答案】解(1)依題意,有PAPCx,PBx1.5×8x12.在PAB中,AB20,cosPAB.同理,在PAC中,AC50,cosPAC.因為cosPABcosPAC,所以,解得x31.(2)作PDAC于點D,在ADP中,由cosPAD,得sinPAD,所以PDPAsinPAD31×4(km)故靜止目標P到海防警戒線AC的距離為4 km.16某高速公路旁邊B處有一棟樓房,某人在距地面100 m的32樓陽臺A處,用望遠鏡觀測路上的車輛,上午11時測得一客車位于樓房北偏東15°方向上,且俯角為30°的C處,10 s后測得該客車位于樓房北偏西75°方向上,且俯角為45°的D處(假設客車勻速行駛)(1)如果此高速路段限速80 km/h,試問該客車是否超速?(2)又經過一段時間后,客車到達樓房的正西方向E處,問此時客車距離樓房多遠?【答案】解(1)在RtABC中,BAC60°,AB100 m,則BC100 m.在RtABD中,BAD45°,AB100 m,則BD100 m.在BCD中,DBC75°15°90°,則DC200 m,所以客車的速度v20 m/s72 km/h,所以該客車沒有超速(2)在RtBCD中,BCD30°,又因為DBE15°,所以CBE105°,所以CEB45°.在BCE中,由正弦定理可知,所以EB50 m,即此時客車距樓房50 m. 7