2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 刷題首選卷 第一部分 刷考點(diǎn) 考點(diǎn)六 不等式及線性規(guī)劃 理

考點(diǎn)六不等式及線性規(guī)劃 一、選擇題1若a<b<0，cR，則下列不等式中正確的是()A>B>Cac>bcDa2<b2答案A解析由a<b<0得0，故A正確；由a<b<0，得a<ab<0，即<，故B錯(cuò)誤；當(dāng)c>0時(shí)，由a<b<0，得ac<bc，故C錯(cuò)誤；由a<b<0得|a|>|b|，即a2>b2，故D錯(cuò)誤故選A.2(2019·安徽六安舒城中學(xué)模擬)集合P，Qx|y，則PQ()A(1,2B1,2C(，3)(1，)D1,2)答案A解析因?yàn)镻x|x<3或x>1，Qx|4x20x|2x2，所以PQ(1,23已知點(diǎn)A(3，1)與點(diǎn)B(4，6)在直線3x2ya0的兩側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(24,7)B(7,24)C(，24)(7，)D(，7)(24，)答案B解析由題意可得(92a)(1212a)<0，所以7<a<24.故選B.4如果關(guān)于x的不等式x2<axb的解集是x|1<x<3，那么ba等于()A81B81C64D64答案B解析不等式x2<axb可化為x2axb<0，其解集為x|1<x<3，所以1,3是方程x2axb0的根，所以解得所以ba(3)481.5設(shè)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)zxy取最小值時(shí)的最優(yōu)解是()A(6,0)B(3,0)C(0,6)D(2,2)答案B解析作出表示的可行域(如圖，三角形ABC內(nèi)部及邊界即為所作可行域)，由圖知平移yxz至B點(diǎn)處達(dá)到最小值，聯(lián)立解得即B(3,0)，目標(biāo)函數(shù)zxy取最小值時(shí)的最優(yōu)解是(3,0)故選B.6下列函數(shù)中，最小值是4的函數(shù)是()AyxBysinx(0<x<)Cyex4exDylog3xlogx81答案C解析當(dāng)x0時(shí)，yx4，排除A；0x，0sinx1.ysinx4，但sinx無(wú)解，排除B；ex0，yex4ex4.等號(hào)在ex，即ex2時(shí)成立xln 2，C正確；若0x1，則log3x0，logx810，排除D.故選C.7已知函數(shù)f(x)x2mx1，若對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()ABCD答案D解析對(duì)于任意xm，m1，都有f(x)<0，所以解得<m<0，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.8(2019·安徽宣城期末)若實(shí)數(shù)x，y滿足則(x1)2y2的最小值為()A2BC8D10答案C解析作出可行域如圖中陰影部分所示，(x1)2y2的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)(1，0)的距離的平方，由圖可知，最小值為點(diǎn)(1，0)到直線xy3的距離的平方，即28.故選C.二、填空題9已知變量x，y滿足約束條件則zx2y的最小值是_答案3解析畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則直線yx經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)z最小，由得A(1,1)，所以zmin12×13.10不等式2的解集是_答案(1,3解析20等價(jià)于0等價(jià)于等價(jià)于x3且x1.所以原不等式的解集為(1,311(2019·江蘇沭陽(yáng)期中調(diào)研)有下面四個(gè)不等式：a2b2c2abbcca；a(1a)；2；.其中恒成立的有_個(gè)答案2解析因?yàn)?(a2b2c2)2(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)20，所以a2b2c2abbcca成立，正確；因?yàn)閍(1a)a2a2，所以正確；當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)，有2，當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，2，所以錯(cuò)誤；ab0時(shí)，不成立其中恒成立的個(gè)數(shù)是2個(gè)12已知f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4，則f(2)的取值范圍為_答案5,10解析解法一：設(shè)f(2)mf(1)nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.則解得f(2)3f(1)f(1)，又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.解法二：由確定的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當(dāng)f(2)4a2b過點(diǎn)A時(shí)，取得最小值4×2×5，當(dāng)f(2)4a2b過點(diǎn)B(3,1)時(shí)，取得最大值4×32×110，所以5f(2)10.三、解答題13已知函數(shù)f(x)(a，b為常數(shù))(1)若b1，解不等式f(x1)<0；(2)若a1，當(dāng)x1,2時(shí)，f(x)>恒成立，求b的取值范圍解(1)f(x)，b1，f(x)，f(x1)，f(x1)<0，<0，等價(jià)于xx(1a)<0，當(dāng)1a>0，即a<1時(shí)，不等式的解集為(0,1a)；當(dāng)1a0，即a1時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)1a<0，即a>1時(shí)，不等式的解集為(1a,0)(2)a1，f(x)>，>(xb)(x1)>1，()顯然xb，易知當(dāng)x1時(shí)，不等式()顯然成立；當(dāng)1<x2時(shí)，b>x1，x1>0，(x1)22，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，等號(hào)成立，故b>1.xb0，xb，而b1,2，故b<2或b>1.綜上所述，b>1.14電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，需要播放廣告已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)、廣告播放時(shí)長(zhǎng)、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘)廣告播放時(shí)長(zhǎng)(分鐘)收視人次(萬(wàn))甲70560乙60525已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍分別用x，y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)(1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使收視人次最多？解(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為即該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分：(2)設(shè)總收視人次為z萬(wàn)，則目標(biāo)函數(shù)為z60x25y.將z60x25y變形為yx，這是斜率為，隨z變化的一組平行直線，為直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最大值時(shí)，z的值最大又因?yàn)閤，y滿足約束條件，所以由圖2可知，當(dāng)直線z60x25y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最大，即z最大解方程組得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,3)所以，電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)，才能使總收視人次最多一、選擇題1(2019·河北石家莊模擬一)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)zx3y的最小值為()A6B8C4D3答案C解析由約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示聯(lián)立解得A(2,2)，化目標(biāo)函數(shù)zx3y為y，由圖可知，當(dāng)直線y過A時(shí)，直線y在y軸上的截距最小，z有最小值為4.故選C.2(2019·廣東六校第四次聯(lián)考)若x，y滿足則|xy|的最大值為()A4B2C1D0答案A解析不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖中陰影部分所示，令zxy，則yxz，當(dāng)直線yxz經(jīng)過點(diǎn)B(2，2)時(shí)，直線的縱截距z最小，|z|4，當(dāng)直線過點(diǎn)A(1，1)時(shí)，縱截距z最大，|z|2，故選A.3(2019·安徽合肥第三次質(zhì)檢)若直線yk(x1)與不等式組表示的平面區(qū)域有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A(，1B0,2C2,1D(2,2答案B解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，直線yk(x1)過定點(diǎn)A(1,0)，要使得直線yk(x1)與不等式組表示的平面區(qū)域有公共點(diǎn)，則0kkAC，kAC2，k0,2故選B.4(2019·河南重點(diǎn)高中4月聯(lián)合質(zhì)檢)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z2y3x的取值范圍是()ABCD答案A解析作出約束條件表示的可行域如圖中陰影區(qū)域所示，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，由z2y3x，得yx，平移直線yx，當(dāng)直線z2y3x經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z2×23×，當(dāng)直線z2y3x經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，z2×3×，所以z的取值范圍是.故選A.5(2019·河北衡水質(zhì)檢四)設(shè)x，y滿足約束條件則下列恒成立的是()Ax3By4C2xy10D的最小值為1答案D解析可行域如圖陰影部分，其中A(2,3)，顯然A，B，C選項(xiàng)都不成立，表示可行域內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)(0,1)的斜率，由圖可得最小值為1，故選D.6(2019·福建龍巖質(zhì)檢)已知x>0，y>0，且，則xy的最小值為()A3B5C7D9答案C解析由xy(x1)y1(x1)y·11(x1)y·2121347.當(dāng)且僅當(dāng)x3，y4時(shí)取得最小值7.故選C.7已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件若zyax取得最大值時(shí)的最優(yōu)解有且只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值集合為()A2，1BaR|a2CaR|a1DaR|a2且a1答案D解析不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示由zaxy得yaxz，若a0，直線yaxz可化為yz，此時(shí)取得最大值時(shí)的最優(yōu)解有且只有一個(gè)滿足條件若a>0，則直線yaxz的縱截距最大時(shí)，z取得最大值，若zyax取得最大值時(shí)的最優(yōu)解有且只有一個(gè)，則a2.若a<0，則直線yaxz的縱截距最大時(shí)，z取得最大值，若zyax取得最大值時(shí)的最優(yōu)解有且只有一個(gè)，則a1.故選D.8設(shè)0<b<1a，若關(guān)于x的不等式(xb)2>(ax)2的解集中的整數(shù)恰有4個(gè)，則的取值范圍為()A(3,4B(3,4)C(2,3D(2,3)答案A解析整理不等式得(1a)xb(1a)xb>0，因?yàn)檎麛?shù)解只有4個(gè)，且1a>0，可得1a<0，所以a>1.其解集為，又0<b<1a，所以<1，欲使解集中的整數(shù)只有4個(gè)，則4<3，所以(3,4二、填空題9若不等式x2ax40對(duì)一切x(0,1恒成立，則a的取值范圍是_答案5，)解析由題意得，a，設(shè)f(x)，x(0,1，則只要af(x)max，由于函數(shù)f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，所以f(x)maxf(1)5，故a5.10(2019·河北衡水中學(xué)模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足且m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_答案2,7解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示m13·，可看作(x，y)與(1，1)連線的斜率，觀察圖象可知，kPCkPB，即2，所以2m7.11已知正數(shù)a，b滿足a2ab30，則4ab的最小值為_答案6解析因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a2ab30，所以3a·(ab)9，則4ab3a(ab)226，當(dāng)且僅當(dāng)3aab時(shí)等號(hào)成立此時(shí)由解得所以4ab的最小值為6.12某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A，B的利潤(rùn)之和的最大值為_元答案216000解析設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A，B分別為x，y件，利潤(rùn)之和為z元，那么目標(biāo)函數(shù)z2100x900y，二元一次不等式組等價(jià)于 作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分將z2100x900y變形，得yx，當(dāng)直線yx經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，z取得最大值解方程組得點(diǎn)M(60,100)所以當(dāng)x60，y100時(shí)，zmax2100×60900×100216000.故生產(chǎn)產(chǎn)品A，B的利潤(rùn)之和的最大值為216000元三、解答題13某地需要修建一條大型輸油管道通過240 km寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)經(jīng)預(yù)算，修建一個(gè)增壓站的費(fèi)用為400萬(wàn)元，鋪設(shè)距離為x km的相鄰兩增壓站之間的輸油管道的費(fèi)用為(x2x)萬(wàn)元設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬(wàn)元(1)試將y表示成x的函數(shù)；(2)需要修建多少個(gè)增壓站才能使y最小，其最小值為多少？解(1)設(shè)需要修建k個(gè)增壓站，則(k1)x240，即k1.所以y400k(k1)(x2x)400(x2x)240x160.因?yàn)閤表示相鄰兩增壓站之間的距離，所以0<x240.故y與x的函數(shù)關(guān)系是y240x160(0<x240)(2)y240x16021602×48001609440，當(dāng)且僅當(dāng)240x，即x20時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)k1111.故需要修建11個(gè)增壓站才能使y最小，其最小值為9440萬(wàn)元14(2019·全國(guó)卷)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc1.證明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.證明(1)因?yàn)閍2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)，等號(hào)成立所以a2b2c2.(2)因?yàn)閍，b，c為正數(shù)且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ca)3×(2)×(2)×(2)24.當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)，等號(hào)成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.- 13 -