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2019高考數(shù)學二輪復習 第一部分 保分專題一 三角函數(shù)與解三角形 第2講 解三角形練習 理

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2019高考數(shù)學二輪復習 第一部分 保分專題一 三角函數(shù)與解三角形 第2講 解三角形練習 理

第2講 解三角形一、選擇題A組小題提速練1ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a,c2,cos A,則b()A.B.C2 D3解析:由余弦定理,得4b22×2bcos A5,整理得3b28b30,解得b3或b(舍去),故選D.答案:D2已知銳角ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2Acos 2A0,a7,c6,則b()A10 B9C8 D5解析:化簡23cos2Acos 2A0,得23cos2A2cos2A10,解得cos A.由余弦定理,知a2b2c22bccos A,代入數(shù)據(jù),解方程,得b5.答案:D3鈍角三角形ABC的面積是,AB1,BC,則AC()A5 B.C2 D1解析:由題意可得AB·BC·sin B,又AB1,BC,所以sin B,所以B45°或B135°.當B45°時,由余弦定理可得AC1,此時ACAB1,BC,易得A90°,與已知條件“鈍角三角形”矛盾,舍去所以B135°.由余弦定理可得AC.答案:B4在銳角ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若sin A,a2,SABC,則b的值為()A. B.C2 D2解析:由SABCbcsin Abc×,解得bc3.因為A為銳角,sin A,所以cos A,由余弦定理得a2b2c22bccos A,代入數(shù)據(jù)解得b2c26,則(bc)212,bc2,所以bc,故選A.答案:A5(2017·高考全國卷)函數(shù)f(x)sincos的最大值為()A. B1C. D.解析:法一:f(x)sincoscos xsin xsin xcos xcos xsin xsin xcos xsin,當x2k(kZ)時,f(x)取得最大值.故選A.法二:,f(x)sincossin(x)cos(x)sinsinsin.f(x)max.故選A.答案:A6ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c.已知bc,a22b2(1sin A),則A()A. B.C. D.解析:由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A,所以2b2(1sin A)2b2(1cos A),所以sin Acos A,即tan A1,又0<A<,所以A.答案:C7(2018·蘭州診斷考試)在ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bsin Aacos B,則B()A. B.C. D.解析:根據(jù)題意結合正弦定理,得sin Bsin Asin AcosB因為sin A0,所以sin Bcos B,即tan B,所以B,故選C.答案:C8(2018·南昌調研)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b2a2bc,A,則角C()A. B.C.或 D.或解析:在ABC中,由余弦定理得cos A,即,所以b2c2a2bc.又b2a2bc,所以c2bcbc,即c(1)b<b,則ab,所以cos C,解得C.故選B.答案:B9已知ABC的三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,則該三角形的形狀是()A直角三角形 B等腰三角形C等邊三角形 D鈍角三角形解析:因為,由正弦定理得,所以sin 2Asin 2B.由,可知ab,所以AB.又A,B(0,),所以2A180°2B,即AB90°,所以C90°,于是ABC是直角三角形故選A.答案:A10已知ABC中,內角A、B、C成等差數(shù)列,其對邊為a、b、c,若a、b、c成等比數(shù)列,則ABC的形狀為()A等腰三角形 B等邊三角形C直角三角形 D鈍角三角形解析:內角A、B、C成等差數(shù)列,AC2B.又ABC.B,由余弦定理得b2a2c22ac·cos Ba2c2ac.又b2ac,a2c2acac,即(ac)20,ac,又B,ABC為等邊三角形;選B.答案:B11在ABC中,·|3,則ABC面積的最大值為()A. B.C. D3解析:設角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,·|3,bccos Aa3.又cos A11,cos A,0sin A,ABC的面積Sbcsin Atan A×,故ABC面積的最大值為.答案:B12(2017·高考全國卷)ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0,a2,c,則C()A. B.C. D.解析:因為a2,c,所以由正弦定理可知,故sin Asin C.又B(AC),故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C為ABC的內角,故sin C0,則sin Acos A0,即tan A1.又A(0,),所以A.從而sin Csin A×.由A知C為銳角,故C.故選B.答案:B二、填空題13在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足bsin Aacos B,則角B的大小為_解析:bsin Aacos B,由正弦定理,得sin Bsin Asin AcosBsin A0,sin Bcos B,B為ABC內角,B.答案:14(2017·高考北京卷)在平面直角坐標系xOy中,角與角均以Ox為始邊,它們的終邊關于y軸對稱若sin ,則cos()_.解析:由題意知2k(kZ),2k(kZ),sin sin ,cos cos .又sin ,cos()cos cos sin sin cos2sin22sin212×1.答案:15在ABC中,若C60°,AB2,則ACBC的取值范圍為_解析:設角A,B,C的對邊分別為a,b,c.由題意,得c2.由余弦定理可得c2a2b22abcos C,即4a2b2ab(ab)23ab(ab)2,得ab4.又由三角形的性質可得ab>2,綜上可得2<ab4.答案:(2,416(2018·吉林三校聯(lián)考)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若b2c22a2,則cos A的最小值為_解析:因為b2c22a2,則由余弦定理可知a22bccos A,所以cos A××(當且僅當bc時等號成立),即cos A的最小值為.答案:B組大題規(guī)范練1.如圖,在ABC中,點P在BC邊上,PAC60°,PC2,APAC4.(1)求ACP;(2)若APB的面積是,求sinBAP.解析:(1)在APC中,因為PAC60°,PC2,APAC4,由余弦定理得PC2AP2AC22·AP·AC·cosPAC.所以22AP2(4AP)22·AP·(4AP)·cos 60°,整理得AP24AP40.解得AP2.所以AC2,所以APC是等邊三角形,所以ACP60°.(2)由于APB是APC的外角,所以APB120°.因為APB的面積是,所以·AP·PB·sinAPB,所以PB3.在APB中,AB2AP2PB22·AP·PB·cosAPB22322×2×3×cos 120°19,所以AB.在APB中,由正弦定理得,所以sinBAP.2ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin Acos A0,a2,b2.(1)求c;(2)設D為BC邊上一點,且ADAC,求ABD的面積解析:(1)因為sin Acos A0,所以sin Acos A,所以tan A.因為A(0,),所以A.由余弦定理得a2b2c22bccos A,代入a2,b2得c22c240,解得c6(舍去)或c4,所以c4.(2)由(1)知c4.因為c2a2b22abcos C,所以162842×2×2×cos C,所以cos C,所以sin C,所以tan C.在RtCAD中,tan C,所以,即AD.則SADC×2×,由(1)知SABC·bc·sin A×2×4×2,所以SABDSABCSADC2.3.如圖,我國海監(jiān)船在D島海域例行維權巡航,某時刻航行至A處,此時測得其東北方向與它相距16海里的B處有一外國船只,且D島位于海監(jiān)船正東14海里處(1)求此時該外國船只與D島的距離;(2)觀測中發(fā)現(xiàn),此外國船只正以每小時4海里的速度沿正南方向航行為了將該船攔截在離D島12海里處,不讓其進入D島12海里內的海域,試確定海監(jiān)船的航向,并求其速度的最小值(參考數(shù)據(jù):sin 36°520.6,sin 53°080.8)解析:(1)依題意,在ABD中,DAB45°,由余弦定理得DB2AD2AB22AD·AB·cos 45°(14)21622×14×16×200,所以DB10,即此時該外國船只與D島的距離為10海里(2)過點B作BCAD于點C,在RtABC中,ACBC8,所以CDADAC6,以D為圓心,12為半徑的圓交BC于點E,連接AE,DE,在RtDEC中,CE6,所以BE2,又AE10,所以sinEACEAC36°52,外國船只到達點E的時間t(小時),所以海監(jiān)船的速度v20(海里/小時),故海監(jiān)船的航向為北偏東90°36°5253°08,速度的最小值為20海里/小時4在ABC中,角A,B,C所對邊分別為a,b,c,且4bsin Aa.(1)求sin B的值;(2)若a,b,c成等差數(shù)列,且公差大于0,求cos Acos C的值解析:(1)由4bsin Aa,根據(jù)正弦定理得4sin Bsin Asin A,所以sin B.(2)由已知和正弦定理以及(1)得sin Asin C ,設cos Acos Cx,22,得22cos(AC)x2,又a<b<c,A<B<C,所以0<B<,cos A>cos C,故cos(AC)cos B,代入式得x2,因此cos Acos C.9

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