2019高考數(shù)學二輪復習 第一部分 保分專題一 三角函數(shù)與解三角形 第2講 解三角形練習 理

第2講 解三角形一、選擇題A組小題提速練1ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a，c2，cos A，則b()A.B.C2 D3解析：由余弦定理，得4b22×2bcos A5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍去)，故選D.答案：D2已知銳角ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，則b()A10 B9C8 D5解析：化簡23cos2Acos 2A0，得23cos2A2cos2A10，解得cos A.由余弦定理，知a2b2c22bccos A，代入數(shù)據(jù)，解方程，得b5.答案：D3鈍角三角形ABC的面積是，AB1，BC，則AC()A5 B.C2 D1解析：由題意可得AB·BC·sin B，又AB1，BC，所以sin B，所以B45°或B135°.當B45°時，由余弦定理可得AC1，此時ACAB1，BC，易得A90°，與已知條件“鈍角三角形”矛盾，舍去所以B135°.由余弦定理可得AC.答案：B4在銳角ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin A，a2，SABC，則b的值為()A. B.C2 D2解析：由SABCbcsin Abc×，解得bc3.因為A為銳角，sin A，所以cos A，由余弦定理得a2b2c22bccos A，代入數(shù)據(jù)解得b2c26，則(bc)212，bc2，所以bc，故選A.答案：A5(2017·高考全國卷)函數(shù)f(x)sincos的最大值為()A. B1C. D.解析：法一：f(x)sincoscos xsin xsin xcos xcos xsin xsin xcos xsin，當x2k(kZ)時，f(x)取得最大值.故選A.法二：，f(x)sincossin(x)cos(x)sinsinsin.f(x)max.故選A.答案：A6ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c.已知bc，a22b2(1sin A)，則A()A. B.C. D.解析：由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A，所以2b2(1sin A)2b2(1cos A)，所以sin Acos A，即tan A1，又0<A<，所以A.答案：C7(2018·蘭州診斷考試)在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsin Aacos B，則B()A. B.C. D.解析：根據(jù)題意結合正弦定理，得sin Bsin Asin AcosB因為sin A0，所以sin Bcos B，即tan B，所以B，故選C.答案：C8(2018·南昌調研)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2a2bc，A，則角C()A. B.C.或 D.或解析：在ABC中，由余弦定理得cos A，即，所以b2c2a2bc.又b2a2bc，所以c2bcbc，即c(1)b<b，則ab，所以cos C，解得C.故選B.答案：B9已知ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則該三角形的形狀是()A直角三角形 B等腰三角形C等邊三角形 D鈍角三角形解析：因為，由正弦定理得，所以sin 2Asin 2B.由，可知ab，所以AB.又A，B(0，)，所以2A180°2B，即AB90°，所以C90°，于是ABC是直角三角形故選A.答案：A10已知ABC中，內角A、B、C成等差數(shù)列，其對邊為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為()A等腰三角形 B等邊三角形C直角三角形 D鈍角三角形解析：內角A、B、C成等差數(shù)列，AC2B.又ABC.B，由余弦定理得b2a2c22ac·cos Ba2c2ac.又b2ac，a2c2acac，即(ac)20，ac，又B，ABC為等邊三角形；選B.答案：B11在ABC中，·|3，則ABC面積的最大值為()A. B.C. D3解析：設角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，·|3，bccos Aa3.又cos A11，cos A，0sin A，ABC的面積Sbcsin Atan A×，故ABC面積的最大值為.答案：B12(2017·高考全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C()A. B.C. D.解析：因為a2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C.又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C為ABC的內角，故sin C0，則sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.從而sin Csin A×.由A知C為銳角，故C.故選B.答案：B二、填空題13在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足bsin Aacos B，則角B的大小為_解析：bsin Aacos B，由正弦定理，得sin Bsin Asin AcosBsin A0，sin Bcos B，B為ABC內角，B.答案：14(2017·高考北京卷)在平面直角坐標系xOy中，角與角均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱若sin ，則cos()_.解析：由題意知2k(kZ)，2k(kZ)，sin sin ，cos cos .又sin ，cos()cos cos sin sin cos2sin22sin212×1.答案：15在ABC中，若C60°，AB2，則ACBC的取值范圍為_解析：設角A，B，C的對邊分別為a，b，c.由題意，得c2.由余弦定理可得c2a2b22abcos C，即4a2b2ab(ab)23ab(ab)2，得ab4.又由三角形的性質可得ab>2，綜上可得2<ab4.答案：(2,416(2018·吉林三校聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若b2c22a2，則cos A的最小值為_解析：因為b2c22a2，則由余弦定理可知a22bccos A，所以cos A××(當且僅當bc時等號成立)，即cos A的最小值為.答案：B組大題規(guī)范練1.如圖，在ABC中，點P在BC邊上，PAC60°，PC2，APAC4.(1)求ACP；(2)若APB的面積是，求sinBAP.解析：(1)在APC中，因為PAC60°，PC2，APAC4，由余弦定理得PC2AP2AC22·AP·AC·cosPAC.所以22AP2(4AP)22·AP·(4AP)·cos 60°，整理得AP24AP40.解得AP2.所以AC2，所以APC是等邊三角形，所以ACP60°.(2)由于APB是APC的外角，所以APB120°.因為APB的面積是，所以·AP·PB·sinAPB，所以PB3.在APB中，AB2AP2PB22·AP·PB·cosAPB22322×2×3×cos 120°19，所以AB.在APB中，由正弦定理得，所以sinBAP.2ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)設D為BC邊上一點，且ADAC，求ABD的面積解析：(1)因為sin Acos A0，所以sin Acos A，所以tan A.因為A(0，)，所以A.由余弦定理得a2b2c22bccos A，代入a2，b2得c22c240，解得c6(舍去)或c4，所以c4.(2)由(1)知c4.因為c2a2b22abcos C，所以162842×2×2×cos C，所以cos C，所以sin C，所以tan C.在RtCAD中，tan C，所以，即AD.則SADC×2×，由(1)知SABC·bc·sin A×2×4×2，所以SABDSABCSADC2.3.如圖，我國海監(jiān)船在D島海域例行維權巡航，某時刻航行至A處，此時測得其東北方向與它相距16海里的B處有一外國船只，且D島位于海監(jiān)船正東14海里處(1)求此時該外國船只與D島的距離；(2)觀測中發(fā)現(xiàn)，此外國船只正以每小時4海里的速度沿正南方向航行為了將該船攔截在離D島12海里處，不讓其進入D島12海里內的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值(參考數(shù)據(jù)：sin 36°520.6，sin 53°080.8)解析：(1)依題意，在ABD中，DAB45°，由余弦定理得DB2AD2AB22AD·AB·cos 45°(14)21622×14×16×200，所以DB10，即此時該外國船只與D島的距離為10海里(2)過點B作BCAD于點C，在RtABC中，ACBC8，所以CDADAC6，以D為圓心，12為半徑的圓交BC于點E，連接AE，DE，在RtDEC中，CE6，所以BE2，又AE10，所以sinEACEAC36°52，外國船只到達點E的時間t(小時)，所以海監(jiān)船的速度v20(海里/小時)，故海監(jiān)船的航向為北偏東90°36°5253°08，速度的最小值為20海里/小時4在ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且4bsin Aa.(1)求sin B的值；(2)若a，b，c成等差數(shù)列，且公差大于0，求cos Acos C的值解析：(1)由4bsin Aa，根據(jù)正弦定理得4sin Bsin Asin A，所以sin B.(2)由已知和正弦定理以及(1)得sin Asin C ，設cos Acos Cx，22，得22cos(AC)x2，又a<b<c，A<B<C，所以0<B<，cos A>cos C，故cos(AC)cos B，代入式得x2，因此cos Acos C.9