中考專題復(fù)習(xí)之正方形

1 中考專題復(fù)習(xí)之正方形 知識(shí)考點(diǎn)： 理解正方形的性質(zhì)和判定，并能利用它進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算。 精典例題： 【例 1】如圖，E、F 分別是正方形 ABCD 的邊 AB、BC 上的點(diǎn)，且 EFAC，在 DA 的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) G，使 AGAD，EG 與 DF 相交于點(diǎn) H。求證：AHAD。 分析：因?yàn)?A 是 DG 的中點(diǎn)，故在DGH 中，若 AHAD ，當(dāng)且僅當(dāng)DGH 為直角三角形，所以只須證明 DGH 為直角三角形（證明略）。 評(píng)注：正方形除了具備平行四邊形的一般性質(zhì)外，還特別注意其直角的條件。本例中直角三角形的中線性質(zhì)使本 題證明簡(jiǎn)單。 例 1圖 H G F E D CB A 例 2圖 Q PE D CB A 【例 2】如圖，在正方形 ABCD 中，P、Q 分別是 BC、CD 上的點(diǎn)，若PAQ45 0，求證：PB DQ PQ。 分析：利用正方形的性質(zhì)，通過構(gòu)造全等三角形來證明。 變式：若條件改為 PQPBDQ，那么PAQ？你還能得到哪些結(jié)論？ 探索與創(chuàng)新： 【問題一】如圖，已知正方形 ABCD 的對(duì)角線 AC、BD 相交于點(diǎn) O，E 是 AC 上一點(diǎn)，過 A 作 AGEB 于 G，AG 交 BD 于點(diǎn) F，則 OEOF，對(duì)上述命題，若點(diǎn) E 在 AC 的延長(zhǎng)線上，AGEB，交 EB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G，AG 的延長(zhǎng)線交 DB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，其它條件不變，則結(jié)論“OEOF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成 立，說明理由。 問 題 一 圖 1 O F G E D CB A 問 題 一 圖 2 O F G E D CB A 分析：對(duì)于圖 1 通過全等三角形證明 OEOF ，這種證法是否能應(yīng)用到圖 2 的情境中去，從而作出正確的判斷。 結(jié)論：（2）的結(jié)論“OEOF”仍然成立。 提示：只須證明AOFBOE 即可。 評(píng)注：本題以正方形為背景，突破了單純的計(jì)算與證明，著重考查了學(xué)生觀察、分析、判斷等多種能力。 【問題二】操作，將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角頂點(diǎn) P 在對(duì)角線 AC 上滑行，直 角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn) B，另一邊與射線 DC 相交于點(diǎn) Q。 探究：設(shè) A、P 兩點(diǎn)間的距離為 。x （1）當(dāng)點(diǎn) Q 在邊 CD 上時(shí)，線段 PQ 與線段 PB 之間有怎樣的關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論； （2）當(dāng)點(diǎn) Q 在邊 CD 上時(shí)，設(shè)四邊形 PBCQ 的面積為 ，求 與 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；yx （3）當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AC 上滑行時(shí)，PCQ 是否可能成為等腰三角形，如果可能，指出所有能使PCQ 成為等腰 三角形的點(diǎn) Q 的位置，并求出相應(yīng)的 值；如果不可能，請(qǐng)說明理由（題目中的圖形形狀大小都相同，供操作用）。x 2 D CB A D CB A D CB A 分析：（1）實(shí)驗(yàn)猜測(cè)：PQPB，再利用正方形性質(zhì)證明；（2）將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積求；（3）可能。 略解：（1）如圖 1，易證 BPPD，12，PQD 1800PQC PBC PDQ PBPDPQ 問 題 二 圖 1 2 1 Q P D CB A x 問 題 二 圖 2 Q P D CB A 問 題 二 圖 3 NM Q P D CB A （2）如圖 2，易證BOPPEQ QEPOAO AP x PCQBPCQSS四 邊 形 )(21)(21ECPEBO 2)(1x （0 ）2xy （3）PCQ 可能成為等腰三角形。 當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) A 重合時(shí)，點(diǎn) Q 與點(diǎn) D 重合，這時(shí) PQQC，PCQ 是等腰三角形，此時(shí) 0；x 當(dāng)點(diǎn) Q 在邊 DC 的延長(zhǎng)線上，且 CPCQ 時(shí)，PCQ 是等腰三角形（如圖 3）。此時(shí)，QNPM ，CN CP ，所以 CQQNCN ，當(dāng) 時(shí)，解得 。x22x112x12x1 評(píng)注：本題是一道新穎別致的好題，它考查學(xué)生實(shí)踐操作能力和探究問題的能力。 跟蹤訓(xùn)練： 一、填空題： 1、給出下面三個(gè)命題：對(duì)角線相等的四邊形是矩形；對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；對(duì)角線互相垂直的矩 形是正方形。其中真命題是 （填序號(hào)）。 2、如圖，將正方形 ABCD 的 BC 邊延長(zhǎng)到 E，使 CEAC，AE 與 CD 邊相交于 F 點(diǎn)，那么 CEFC 。 3 第 2題 圖 E F D CB A DCBA 第 3題 圖 D C B A 3、如圖，把正方形 ABCD 沿著對(duì)角線 AC 的方向移動(dòng)到正方形 的位置，它們的重疊部分的面積是正方形D ABCD 面積的一半，若 AC ，則正方形移動(dòng)的距離 是2A 。 4、四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC、BD 相交于點(diǎn) O，給出以下題設(shè)條件： ABBCCDDA；AOBOCODO；AOCO，BODO ，ACBD；ABBC ，CDDA。其中能 判斷它是正方形的題設(shè)條件是 （把正確的序號(hào)填在橫線上）。 二、選擇題： 1、如圖，把正方形 ABCD 的對(duì)角線 AC 分成 段，以每一段為對(duì)角線作正方形，設(shè)這 個(gè)小正方形的周長(zhǎng)和為 ，nnp 正方形 ABCD 的周長(zhǎng)為 ，則 與 的關(guān)系式是 。Sp A、 B、 C、 D、 與 無關(guān)SpSpSp 2、如圖，在正方形 ABCD 中，DE EC，CDE60 0，則下列關(guān)系式： 1441；1311；（12）（34）53 中，正確的是（ ） A、 B、僅 C、僅和 D、僅和 第 1題 圖 D CB A 第 2題 圖 4 3 21 E D CB A 第 3題 圖 F E D C BA 3、如圖，正方形 ABCD 的面積為 256，點(diǎn) F 在 AD 上，點(diǎn) E 在 AB 的延長(zhǎng)線上，RtCEF 的面積為 200，則 BE 的值 為（ ） A、10 B、11 C、12 D、15 4、有若干張如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形紙片，表中所列四種方案能拼成邊長(zhǎng)為 的正方形的是（ ）)(baba 數(shù)量（張） 卡片 方案 （1） （2） （3） A 1 1 2 B 1 1 1 4 C 1 2 1 D 2 1 1 三、解答題： 1、如圖，在正方形 ABCD 中，E 是 AD 的中點(diǎn)，BD 與 CE 交于 F 點(diǎn)，求證：AFBE。 2、已知正方形 ABCD 中，M 是 AB 的中點(diǎn)，E 是 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MNDM 且交CBE 的平分線于 N。 （1）求證：MDMN； （2）若將上述條件中的“M 是 AB 的中點(diǎn)”改為“M 是 AB 上任意一點(diǎn)”，其余條件不變，則結(jié)論 “MD MN”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由。 第 1題 圖 D CB A E F 第 2題 圖 1 N M D C BA E 第 2題 圖 2 N M D C BA E 3、如圖，ABCD 是正方形，P 是對(duì)角線上的一點(diǎn)，引 PEBC 于 E，PFDC 于 F。求證：（1）AP EF；（2） AP EF。 第 3題 圖 P F E A B C D 第 4題 圖 F E A B CD 4、如圖，過正方形 ABCD 的頂點(diǎn) B 作 BECA，作 AEAC，又 CFAE，求證：BCF AEB。21 跟蹤訓(xùn)練參考答案 一、填空題： 1、；2、 ；3、 ；4、12 二、選擇題：CDCA 三、解答題： 1、易證ABFCFB 和BAECDE，由ABFCFB AFBBFC FADDCE；由 BAECDE DCEABF。所以DAFEAB，故EHAEAB90 0，AFBE。 2、（1）如圖 1，取 AD 中點(diǎn) F，連結(jié) MF，由 MNDM 得DAM90 0，易證12，又因 MNBNBE 245 02，DMFAFM145 01，所以DMFMNB，又因 DFBM，所以 DMF MNB，故 MD MN。 5 第 2題 圖 1 2 1 N M D C BA E 第 2題 圖 2 2 1 F N M D C BA E 第 3題 圖 P F E A B C D H 3 2 1 （2）成立，如圖 2，在 AD 上取 DFMB，則易知：1 90 0DMA ，又2DMA90 0，12， 又DMF 45 01，MNB45 02，DMFMNB，又 DFMB，DMFMNB，故 MDMN。 3、略證：延長(zhǎng) AP 與 EF 相交于點(diǎn) H，連結(jié) PC，因?yàn)?BD 是對(duì)角線，易證 PAPC，12，根據(jù) PEBC 于 E，PFDC 于 F，知 PECF 為矩形，PC EF，且DAH FPH，又因?yàn)?23，所以在PHF 中， FPH 34190 0，所以PHF 為直角三角形，故 APEF。 4、提示：證 AEFC 是菱形，過 A 點(diǎn)作 BE 的垂線構(gòu)造 300 角的直角三角形。