銀行貸款問題模型數(shù)學(xué)建模論文.doc

蘭州交通大學(xué)數(shù)學(xué)建模數(shù) 學(xué) 建 模 論 文銀行貸款問題模型 姓 名 1： 學(xué)號：姓 名 2： 學(xué)號： 姓 名 3： 學(xué)號：班 級：指導(dǎo)教師：2014年 5 月 24 日目錄摘要- 2一、問題敘述- 2二、問題分析- 2三、基本假定-54、 模型的建立及求解1、 等額本金還款法2、 等額本息還款法5、 模型的進一步分析6、 模型的評價及推廣7、 參考文獻附：等額本息還款法和等額本金還款法的比較-5- 0 -摘要隨著社會的不斷發(fā)展，人們?nèi)找嬖鲩L的物質(zhì)需求也不斷升高，可是對于大部分人來說，要想完成一些經(jīng)濟活動，需要向銀行貸款，目前商業(yè)銀行已經(jīng)加大了個人貸款的力度，“門檻”也一降再降，申請個人貸款已經(jīng)不是件難事。對于貸款，大多數(shù)銀行主要采用兩種還貸方式 ：等額本息還款法和等額本金還款法。若我們根據(jù)已知年利率，針對每月還款額和個月限滿后的最后一月付款后本利和為零，推導(dǎo)出等額本金還款法和等額本息還款法的還款總額、利息負擔(dān)總和、月供的公式。合理假設(shè)的前提下，運用等差數(shù)列求和設(shè)計等額本金還款法償還貸款本息和每月還款額的模型，運用迭代和等比數(shù)列求和兩種不同方法從不同角度推導(dǎo)等額本息還款法償還貸款本息和每月還款額的模型，通過計算討論比較償還貸款本息的多少。關(guān)鍵詞：貸款 利率 還款總額 等額本金還款 等額本息還款 一、問題敘述某家庭貸款30萬元購買一套房子，貸款(年)利率為7%，用15年的時間還清貸款。不同的貸款方案將會產(chǎn)生不同的效益，根據(jù)問題的要求，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型解答出不同情況下每月還款額以及利息、還款的時間。對不同方法進行比較，并選出最優(yōu)方案。問題如下：1. 等額本息還款的方式償還貸款；2. 等額本金還款的方式償還貸款；3. 首先前5年用等額本息還款中途用等額本金還款的方式償還貸款；4. 考慮收入增長的情況下，貸款人收入每年增加一次且增加額為k的方式償還貸款。2、 問題分析銀行貸款還款的利息方式計算方法有等額本息還款法和等額本金還款法。 等額本息還款法：利息和=本金年利率個月限月供=本息和/總個月數(shù)=本金（1+年利率個月限）/個月限/12個月 等額本金還款法：利息和=本金（總個月數(shù)+1）/2年利率/12個月月供=固定每個月應(yīng)還本金+當(dāng)個月利息=本金/總個月數(shù)+（本金-固定每個月應(yīng)還本金已還個月數(shù)）年利率/12個月以上兩類還款法計算公式都為絕對公式，是在利率不變的前提條件下來計算總利息和月供的，所以假設(shè)銀行在貸款個月利率不變。由上面利息償還公式中可見，月利息是與上月剩余本金成正比的，由于在貸款初個月，剩余本金較多，所以可見，貸款初個月每月的利息較多，月還款額中償還利息的份額較重。隨著還款次數(shù)的增多，剩余本金將逐漸減少，月還款的利息也相應(yīng)減少，直到最后一個月，本金全部還清，利息付最后一次，下個月將既無本金又無利息，至此，全部貸款償還完畢。兩種貸款的償還原理就如上所述。上述兩個公式是月還款的基本公式.其他公式都可由此導(dǎo)出。三、基本假設(shè)1、貸款月利率不變(目前個人房貸5-30年的貸款年利率為7%)i=7%/12=5.83 ，每月還息近似用月利率按月計算計算，不到5年的也近似用該利率計算。2、假設(shè)貸款人5年后有現(xiàn)金凈現(xiàn)值（時間因素）3、貸款人有足夠能力支付每月房貸4、貸款人每月消費十分理智5、貸款人沒有其他獲取錢的渠道，不足的款項只能從銀行合法獲得6、貸款人的目標(biāo)是在保證基本生活前提的條件下，努力償還貸款。四、模型的建立及求解模型一：等額本金還款法設(shè)：貸款本金為 A元平均每月應(yīng)還本金B(yǎng)元還款額為 x 元貸款年利率為r貸款月利率為 貸款個月為 m還款月數(shù)為 n設(shè)第n個月應(yīng)付的金額為( i = 1.2.3. m ) (單位：元)因此，第一個月應(yīng)付的金額為 ： 第二個月應(yīng)付的金額為 ： 那么，第n個月應(yīng)付的金額為 ：累計應(yīng)付的還款總額為 ：利息負擔(dān)總和為 ： 將每個月還款制成表格如下：年份月數(shù)月利率()年利率(%)每月應(yīng)還利息月還款總額1125.8371642.1166673308.7833332245.8371525.5166673192.1833333365.8371408.9166673075.5833334485.8371292.3166672958.9833335605.8371175.7166672842.3833336725.8371059.1166672725.7833337845.837942.51666672609.1833338965.837825.91666672492.58333391085.837709.31666672375.983333101205.837592.71666672259.383333111325.837476.11666672142.783333121445.837359.51666672026.183333131565.837242.91666671909.583333141685.837126.31666671792.983333151805.8379.7166666671676.383333支付利息：Y=（n+1）a/2=158284.5（元）還款總額：M=（n+1）a/2+a=458284.5（元）若用C+語言編寫，其主程序如下：#include#includevoid main()double x,s=0,d;int i=1;do x=(300000-300000*（i-1）/180)*0.0051+300000/180;printf(第%d個月還款總額：%6.2fn,i,x);s=s+x;i+;while(i=180);printf(還款總額：%7.2f%n總利息：%7.2fn,s,d); 模型二:等額本息還款法設(shè)：貸款本金為 A元平均每月應(yīng)還本金B(yǎng)元還款額為 x 元貸款年利率為r貸款月利率為 貸款個月為 m還款月數(shù)為 n設(shè)：（i=1n）是在第1個月還款前還欠銀行的金額 (i=1n) 是在第2個月還錢后欠銀行的金額. 則有：第1個月還款前欠銀行的金額：第1個月還款后欠銀行的金額： 第i個月還款前欠銀行的金額：第i個月還款后欠銀行的金額： 第n個月還款前欠銀行的金額：第n個月還款后欠銀行的金額：因為第n個月還款后，欠銀行的金額就還清. 也就是說：，即：解方程得：年份月數(shù)月利率()年利率(%)月還款總額1125.83725957.470632245.83713431.229733365.8379262.5804114485.8377183.3166725605.8375939.7934166725.8375114.1257397845.8374527.2174068965.8374089.51797991085.8373751.275198101205.174018.466582111325.8373264.601217121445.8373084.503643131565.8372933.572279141685.8372805.541076151805.8372695.813968模型三：首先用等額本息還款中途用等額本金還款的方式償還貸款； 首先前5年貸款人用等額本息還款法，而后資金較有增長改用等額本金還款的方式償還剩余的10年貸款。在以上兩種模型的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)此模型。運用EXCEL計算5年等額本息還款法的月還款總額和累計還款總額月數(shù)月利率()年利率(%)月還款總額累計還款總額15.83725957.4706325957.4725.83713431.2297339388.7003635.8379262.58041148651.2807745.8377183.31667255834.5974455.8375939.79341661774.3908665.8375114.12573966888.516675.8374527.21740671415.73485.8374089.51797975505.2519895.8373751.27519879256.52718105.174018.46658283274.99376115.8373264.60121786539.59498125.8373084.50364389624.09862135.8372933.57227992557.6709145.8372805.54107695363.21198155.8372695.81396898059.02595165.8372696.813968100755.8399 585.8372738.813968214925.0266595.8372739.813968217664.8405605.8372740.813968220405.6545由此表可知，經(jīng)5年的等額本息還款，貸款人已經(jīng)償還欠款220405.6545元，還有300000-220405.6545=79594.3455元未償還，剩余的這部分貸款采用等額本金還款方式償還。月數(shù)月利率()年利率(%)每月應(yīng)還利息月還款總額15.837464.03503431127.32123425.837460.16807561123.45427635.837456.3011171119.58731745.837452.43415841115.72035855.837448.56719981111.853465.837444.70024121107.98644175.837440.83328261104.11948385.837436.96632391100.25252495.837433.09936531096.385565105.837429.23240671092.518607115.837425.36544811088.651648125.837421.49848951084.784689135.837417.63153081080.917731145.837413.76457221077.050772155.837409.89761361073.183814165.837406.0306551069.3168551195.8377.733917238671.02011721205.8373.866958619667.1531586后10年用等額本金還款的方式償還剩余貸款，總還款數(shù)額為107668.4636元，故前5年用等額本息還款中途用等額本金還款的方式償還貸款總計還款數(shù)額為107668.4636+220405.6545=328074.1181元模型四:考慮收入增長的情況下，貸款人收入每年增加一次且增加額為k的方式償還貸款。同模型三一樣，貸款人先期資金較貧乏，采用等額本息還款方式，在考慮收入增長的情況下，假設(shè)收入平均每年只增長一次，第k年增長額為k.設(shè)：貸款本金為 A元每月月收入為Y元每月平均消費為C元貸款月利率為 還款月數(shù)為 n第i年末工資增加額度第i年每月需要還款的錢數(shù)（即月供）每i年的補償額（在A中提取一部分錢用于補償某幾個月的收入，使每個月月還款數(shù)趨于相同）銀行按等額本息貸款的公式由模型2推導(dǎo)可知：整理以上公式的還款月數(shù)為：則其有關(guān)約束條件為第一年月供為=Y-C+第二年月供為=(Y+)+-C+第三年月供為=（Y+)+-C+第n年月供為=（Y+）+-C+又有綜合以上各式假設(shè)n=5，即第5年月供時。將以上式子簡化為如下矩陣有：其中，第1、2、3、4列分別為、所取到的值，第5列為的值，第6、7、8、9列分別是、所取到的值。在此模型中，此時未知量為和，合理賦值=1000元時，運用C語言編程#include#includevoid main()double i=0.00583,Y=8000,A=300000;n=log(x/(x-A*i)/(log(1+i);X1=Y-C+B1；X2=(Y+K1)-C+B2；X3=(Y+K1+K2)-C+B3；X4=(Y+K1+K2+K3)-C+B4；X5=(Y+K1+K2+K3+K4)-C+B5；X1=X2=X3=X4=X5；12*（B1+B2+B3+B4）+(n-48)*B5=A;printf(“x1=%8f A=%8f n=%8f);5、 模型的進一步分析如何選擇適合自己的方式，并且需要考慮下面幾個方面：要考慮現(xiàn)有經(jīng)濟實力。 借款人在完成購房首個月付款后，如果還剩有一定積蓄，且在一段時個月內(nèi)沒有合適的投向、用途或投資理財能力欠強，那么專家提議可選擇“本金法”。充足的積蓄既可以自如應(yīng)付還款前個月較大的壓力，又可降低借款的利息支出，好處看得見。對于一些臨近退休收入遞減的中老年職工家庭，這是一個不錯的選擇。要把握未來收入預(yù)個月。 長個月穩(wěn)定的職業(yè)是保障穩(wěn)定收入的基礎(chǔ)，由于“本息法”前個月還款壓力較小，更適合于就業(yè)時間短、收入處于上升個月的年輕人。而且，由于每個月還款金額是固定的，在借款人家庭收入相對固定的情況下，一般不會感到太大的壓力。要合理設(shè)定還款個月限。 借款個月限長意味著還款總額高，但月還數(shù)額小又降低還款壓力。對青年家庭來說，未來的歲月里需要花費的還很多，盡可能延長借款個月也許是不錯的選擇。對于年長者來說，在能承受的前提下，盡可能壓縮借款個月，以免退休時收入驟減、債個月還遙遙無個月而影響晚年生活質(zhì)量。不同的還款方式，只是為滿足不同收入、不同年齡、不同消費觀念人們的不同需要或消費偏好而設(shè)定。從靜態(tài)看，三種還款方式存在著利息差，但從動態(tài)看，在考慮時間因素情況下，三種還款方式完全不存在差異！正因為忽略了資金的時間價值因素，很多借款人誤以為自己選擇等額本息還款法多付了利息。但是，不管采取哪種貸款還款方式，銀行都沒有做吃虧的買賣；客戶也不存在節(jié)省利息支出的實惠。六、模型的評價及推廣一個好的模型不能由于初始的數(shù)據(jù)的微小誤差而導(dǎo)致結(jié)果的較大改變。我們對最少還款在一定條件下做了隨機的微小波動，分別對模型1、模型2加以檢驗，從檢驗的結(jié)果可以得出兩個模型的穩(wěn)定性比較好。（一）模型的優(yōu)缺點與改進方向1、模型的優(yōu)點：（1）采用的數(shù)學(xué)模型有成熟的理論基礎(chǔ)，可信度較高。（2）本文建立的模型與實際緊密聯(lián)系，考慮現(xiàn)實情況的多樣性，從而使模型更貼近實際，更實用。（3）本文用數(shù)學(xué)工具，嚴(yán)密對模型求解，具有科學(xué)性。2、模型缺點：（1）模型復(fù)雜因素較多，不能對其進行全面考慮。（2）利率的精確度不同可能造成一定誤差（3）經(jīng)濟社會中隨機因素較多，使模型不能將其準(zhǔn)確反應(yīng)出來3、模型的改進（1）考慮通貨膨脹等市場經(jīng)濟中的因素（2）考慮國家政策、重大事件比如加息對人們還貸行為的影響（3）對利率有更準(zhǔn)確的計算方法（4）考慮不同人群的消費觀念和收入水平（二）模型推廣根據(jù)前面模型所建立的還款系統(tǒng)，可以很好的解決人們的房屋貸款問題。在建模過程中，簡化了很多因素，因而與實際問題有所偏差，因此，要想建立更好的還款方案，可以對一個實際的房屋貸款方案進行計算機模擬，將得到的實際數(shù)據(jù)輸入計算機程序，便可以得出更優(yōu)的還款方案。七、參考文獻1 吳建國，數(shù)學(xué)建模案里例精編，北京：中國水利水電出版社,20062 李尚志，數(shù)學(xué)建模競賽教程，南京：江蘇教育出版社，1996 3 馮偉，黃力偉，王勤，尹成義，數(shù)學(xué)建模原理與案例：科學(xué)出版 4 朱道元，數(shù)學(xué)建模案例精選，北京：科學(xué)出版社 ，2003 5 周開利，鄧春暉，MATLAB基礎(chǔ)及其應(yīng)用教程：北京大學(xué)出版社，2007 6 姜啟源，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，19937 冬雪，關(guān)于貸款償還方式的數(shù)學(xué)模型，http:/ ，2013.6.2附件： 等額本息還款法和等額本金還款法的比較1、等額還款法，即借款人每月按相等的金額償還貸款本息，其中每月貸款利息按月初剩余貸款本金計算并逐月結(jié)清。 由于每月的還款額相等，因此，在貸款初個月每月的還款中，剔除按月結(jié)清的利息后，所還的貸款本金就較少；而在貸款后個月因貸款本金不斷減少、每月的還款額中貸款利息也不斷減少，每月所還的貸款本金就較多。 這種還款方式，實際占用銀行貸款的數(shù)量更多、占用的時間更長，同時它還便于借款人合理安排每月的生活和進行理財（如以租養(yǎng)房等），對于精通投資、擅長于“以錢生錢”的人來說，無疑是最好的選擇！ 2、等額本金還款法，即借款人每月按相等的金額（貸款金額/貸款月數(shù)）償還貸款本金，每月貸款利息按月初剩余貸款本金計算并逐月結(jié)清，兩者合計即為每月的還款額。 由于每月所還本金固定，而每月貸款利息隨著本金余額的減少而逐月遞減，因此，等額本金還款法在貸款初個月月還款額大，此后逐月遞減（月遞減額月還本金月利率）。例如同樣是借30萬元、15年個月的公積金貸款，等額本息還款法的月還款額為2866.956115元，而等額本金還款法的首月還款額為3666.666467元（以后每月遞減11.1111元）,比前者高出799.710352元。由于后者提前歸還了部分貸款本金 ，較前者實際上是減少占用和縮短占用了銀行的錢，當(dāng)然貸款利息總的計算下來就少一些（15年下來共計為35052.1186元），而并不是借款人得到了什么額外實惠！ 此種還款方式，適合生活負擔(dān)會越來越重（養(yǎng)老、看病、孩子讀書等）或預(yù)計收入會逐步減少的人使用。 可見，等額本金還款方式，不是節(jié)省利息的選擇。如果真正有什么節(jié)省利息的良方，那就是應(yīng)當(dāng)學(xué)會理智消費，根據(jù)自己的經(jīng)濟實力，量體裁衣、量入為出，盡量少貸款、貸短款，才是唯一可行的方法。 兩種還貸方式比較 1、計算方法不同。 等額本息還款法。即借款人每月以相等的金額償還貸款本息。 等額本金還款法。即借款人每月等額償還本金，貸款利息隨本金逐月遞減， 2、兩種方法支付的利息總額不一樣。在相同貸款金額、利率和貸款年限的條件下，“本金還款法”的利息總額要少于“本息還款法”； 3、還款前幾年的利息、本金比例不一樣。“本息還款法”前幾年還款總額中利息占的比例較大(有時高達90%左右)，“本金還款法”的本金平攤到每一次，利息借一天算一天，所以二者的比例最高時也就各占50%左右。 4、還款前后個月的壓力不一樣。因為“本息還款法”每月的還款金額數(shù)是一樣的，所以在收支和物價基本不變的情況下，每次的還款壓力是一樣的；“本金還款法”每次還款的本金一樣，但利息是由多到少、依次遞減，同等情況下，后個月的壓力要比前個月輕得多。等額本息還款法：本金逐月遞增，利息逐月遞減，月還款數(shù)不變。即借款人每月按相等的金額償還貸款本息，其中每月貸款利息按月初剩余貸款本金計算并逐月結(jié)清。等額本金還款法：本金保持相同，利息逐月遞減，月還款數(shù)遞減。適合于有計劃提前還貸。即借款人每月按相等的金額（貸款金額/貸款月數(shù)）償還貸款本金，每月貸款利息按月初剩余貸款本金計算并逐月結(jié)清，兩者合計即為每月的還款額。按照整個還款個月計算，等額本息還款法支付的利息多于等額本金還款法。兩種還款方式中，等額本金還款法每個月歸還本金的數(shù)額是相等的，而等額本息還款法每個月歸還的本息之和的數(shù)額是相等的，但是銀行都是按當(dāng)年實際占用銀行貸款額和規(guī)定的利率計算應(yīng)收取的利息。- 15 -