[理學(xué)]線性代數(shù)作業(yè)答案.doc

第一章 行列式1.1 二階、三階行列式一、計算下列行列式1、2、3、二、解方程1、解：計算行列式得，因此2、解：計算行列式得，得，因此1.2 n階行列式定義及性質(zhì)一、計算下列行列式1、2、3、4、5、 將第2、3、4列乘以-1加到第一列得6、 將第2、3、4行全部加到第1行 將第1行乘以-1加到第2、3、4行二、計算下列行列式1、 第1行加到第2、3行2、 按第1列展開3、 按第4行展開4、 按第1行展開5、 第1列乘以-1加到第2、3、4列 第2列乘以-1加到第3、4列計算下列n階行列式：1、 按第1列展開2、 將第2、3、n行全部加到第1行 第1行乘以-1加到以下各行3、 范德蒙行列式4、已知，計算 和 .解：將上式設(shè)為，此式設(shè)為，可直接計算此行列式結(jié)果為3，也可按以下方法來做：題目中的原行列式設(shè)為由行列式的性質(zhì)得：則：三、解下列方程1、解：第1行乘以-1加到2、3、4行，得將1、2、3列加到第4列得將第2、3行交換，1、4行交換后得上三角形行列式，因此，因此，2、解：此行列式是范德蒙行列式，得因此，3、解：由行列式的加法則，再相加，此行列式為范德蒙行列式得因此1.4 克萊姆法則一、解線性方程組1、解：，解得2、解：，解得二、求一個二次多項式使得解：設(shè)，解得三、已知線性方程組只有零解，求的取值范圍解：系數(shù)行列式為，因此四、設(shè)線性方程組有非零解，則應(yīng)取何值？若線性方程組的右端變?yōu)?，3，2，則為何值時，新的線性方程組有唯一解？解：系數(shù)行列式為則當(dāng)時方程組有非零解；若線性方程組的右端變?yōu)?，3，2，則當(dāng)時方程組有唯一解第二章 矩陣2.1 矩陣定義及其運(yùn)算一、填空題1、設(shè)為三階方陣，且，則.說明：2、的充分必要條件是.二、選擇題1、設(shè)都是階矩陣，則的充分必要條件是（ C ）.(A) (B) (C) AB=BA (D) 2、設(shè)都是階矩陣，則（ C ）.(A) (B) (C) (D) 3、設(shè)為階矩陣，若，則等于（ C ）.(A) (B) (C) (D) 說明：由題意知矩陣與不能交換，因此只有（C）正確4、設(shè)都是階對稱矩陣，則下面四個結(jié)論中不正確的是（ B ）.(A) 也是對稱矩陣(B) 也是對稱矩陣(C)(m為正整數(shù)) 也是對稱矩陣 (D)也是對稱矩陣?yán)碛桑?，因此（B）錯誤三、設(shè),為二階單位陣，滿足, 求.解：由得，即，兩邊取行列式得，而，因此四、1、已知，求結(jié)果為2、已知，求結(jié)果為 3、已知，求，結(jié)果為 4、計算，結(jié)果為0 5、計算 五、設(shè) 證明：當(dāng)且僅當(dāng)證：必要性，已知，即，則，得充分性，已知，則，因此2.2 逆矩陣一、填空題1、設(shè)為三階方陣，且，則 4 ， 4 ，說明：，2、設(shè)為矩陣，為矩陣，則 -8 說明：3、設(shè)為矩陣，則是可逆的 充分必要 條件4、已知，且可逆，則=說明：等式兩邊同時左乘5、為三階方陣，其伴隨陣為，已知，則說明：二、選擇題1、若由必能推出其中為同階方陣，則應(yīng)滿足條件（ B ）（A） （B） （C） （D）2、設(shè)均為階方陣，則必有（ C ）（A） （B） （C） （D）三、計算題1、判斷下列矩陣是否可逆，若可逆，求其逆矩陣.（1），可逆，（2），可逆，2、解矩陣方程：解：，3、利用逆矩陣，解線性方程組解：系數(shù)矩陣為，則，則四、設(shè)方陣滿足方程證明：和都可逆，并求他們的逆矩陣證：因此，和都可逆，且，2.3 初等變換與初等矩陣一、填空題說明：由于，因此二、選擇題：1、設(shè)為階可逆矩陣，則（ B ）（A）若，則；（B）總可以經(jīng)過初等變換化為；（C）.對施行若干次初等變換，當(dāng)變?yōu)闀r，相應(yīng)地變?yōu)椋唬―）以上都不對說明：（B）為定理，正確；（A）少條件，若加上矩陣可逆，才能正確；（C）將“初等變換”改為“初等行變換”才正確；2、設(shè)，則必有（ C ）（A） （B） （C） （D）利用初等變換求矩陣的逆矩陣1、，逆矩陣為：2、，逆矩陣為：3、，逆矩陣為：4、，其中， 將最后1行調(diào)整到第1行三、已知，求解：由于，則，由，因此四、已知，求矩陣解法1：由得：，即，此式兩邊同時左乘，再右乘，得 （1）再由得：，即，兩邊同時右乘，得，此式與（1）式結(jié)合得：解法2：將變形得，可得，兩邊加得：，即，則，因此五、已知，其中，求矩陣解：由得：，即因此，由，則，六、設(shè)，為三階可逆矩陣,求解：，則因此，2.5 矩陣的秩一、填空題1、 在秩是的矩陣中，所有的階子式都 為0 2、設(shè)是矩陣，則 3 說明：可逆矩陣與其它矩陣相乘，不改變其它矩陣的秩3、從矩陣中劃去一行得到矩陣，則的秩的關(guān)系為4、設(shè), 秩，則 -3 說明： 將2、3、4行加到第一行，再從第一行提出公因子 將第1行乘以-1加到以下各行，因此當(dāng)或時，但時顯然，因此5、設(shè), 秩，則 1 說明：二、求下列矩陣的秩1、，2、，3、，三、設(shè)，1）求；2）求秩（要討論）解：則當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，四、討論矩陣的秩解：當(dāng)且、時，；其它情況，第三章 向量3.1 向量的概念及其運(yùn)算1、已知,求， 及.結(jié)果： 2、已知,滿足 ，求.結(jié)果：3、設(shè)，其中，求結(jié)果：4、寫出向量的線性組合，其中：（1）（2）結(jié)果：1） 2）5、已知向量組，問：向量是否可以由向量線性表示？若可以，寫出其表達(dá)式；解：設(shè)即可得方程組：，用克拉默法則可得：，則向量可以由向量線性表示，3.2 線性相關(guān)與線性無關(guān)1、判斷向量組的線性相關(guān)性，并說明原因.1）線性相關(guān)包含零向量的向量組都是線性相關(guān)的2）線性無關(guān)兩個向量線性無關(guān)的充要條件是對應(yīng)分量不成比例3），因此向量組線性無關(guān)4）線性相關(guān)5）線性相關(guān)向量個數(shù)大于向量維數(shù)，必線性相關(guān)2、填空題1） 設(shè)向量組線性相關(guān)，則 2 說明：，則2） 設(shè)向量組線性無關(guān)，則必滿足關(guān)系式說明：3） 若 維單位向量組可由向量組線性表示，則說明：書72頁推論13、選擇題1）向量組線性無關(guān)的充要條件是（C） 向量組中必有兩個向量的分量對應(yīng)不成比例 向量組中不含零向量 向量組中任意一個向量都不能由其余的個向量線性表示 存在全為零的數(shù)，使得2）設(shè)其中是任意實數(shù)，則（C） 向量組總線性相關(guān) 向量組總線性相關(guān) 向量組總線性無關(guān) 向量組總線性無關(guān)4、已知向量組線性無關(guān)，證明：(1) 線性無關(guān)證明：設(shè)即，由線性無關(guān)得，即，因此線性無關(guān)(2) 線性相關(guān)證法1：設(shè)即，由線性無關(guān)得，當(dāng)時方程組成立，因此線性相關(guān)證法2：由，得線性相關(guān)5、已知 ，問：向量能否由向量組唯一線性表示？解：設(shè)，即方程組系數(shù)行列式，因此可由向量組唯一線性表示，3.3 向量組的秩1、填空題（1）若，則向量組是線性 無關(guān) 說明：由知線性無關(guān)，線性無關(guān)的向量組減少向量個數(shù)還是線性無關(guān)（2）設(shè)向量組的秩為，向量組的秩為，且，則與的關(guān)系為2、選擇題（1）若向量組是向量組的極大線性無關(guān)組，則論斷不正確的是（ B ）可由線性表示可由線性表示可由線性表示可由線性表示（2）設(shè)維向量組的秩，則（ B ） 向量組線性無關(guān) 向量組線性相關(guān) 存在一個向量可以由其余向量線性表示 任一向量都不能由其余向量線性表示（3）若和都是向量組的極大線性無關(guān)組，則（C） 3、求下列向量組的秩（必須有解題過程）（1）解：由，得向量組的秩為3（2） （要討論）解：當(dāng)，時秩為3；當(dāng)時秩為2；當(dāng)時秩為1；4、利用矩陣的初等變換求下列向量組的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用此極大線性無關(guān)組線性表示（1）解：為極大線性無關(guān)組，且（2）,解：為極大線性無關(guān)組，5、已知向量組的秩為，1）求2）求向量組的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用此極大線性無關(guān)組線性表示解：（1），（2）為極大線性無關(guān)組，6、設(shè)維單位向量可由維向量組線性表出，證明向量組線性無關(guān)證明：由維單位向量可由維向量組線性表出，且維單位向量可由維向量組線性表出，因此這兩個向量組等價，由的秩為，因此的秩為，因此線性無關(guān)7、設(shè)，證明：線性無關(guān)證明：設(shè)，即則由得：，系數(shù)行列式因此線性無關(guān)8、設(shè)，若各向量組的秩分別為：，證明：向量組的秩為4證明：反證法，假設(shè)向量組的秩小于4，由知，線性無關(guān)，根據(jù)書69頁定理5知：可由線性表示，設(shè)為，即 （1）再由，得線性相關(guān)，再由剛才定理知：可由線性表示，設(shè)為，代入（1）得：因此可由線性表示，則線性相關(guān)，與矛盾因此向量組的秩為43.4 向量空間1、設(shè)問是不是向量空間，為什么？解：是向量空間，不是向量空間（大家自己證明）2、向量在基，下的坐標(biāo)是說明：設(shè)方程，解之即可3、略4、試證：由生成的向量空間就是，并求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基證：由，則線性無關(guān)，則為四個三維向量，必線性相關(guān)，且可由線性表示，因此，所生成的向量空間為由施密特正交化法：，單位化得：，為空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基第四章 線性方程組1、填空題1）線性方程組無解，且， 則應(yīng)滿足 4 ； 線性方程組有解，且，則應(yīng)滿足 3 2）設(shè)是方陣，線性方程組有非零解的充要條件是說明：由，得3）設(shè)元線性方程組有解，若，則的解空間維數(shù)為 2 說明：解空間的維數(shù)+結(jié)果為4）設(shè)為四元非齊次線性方程組，是的三個非零解向量，則的通解為說明：由4-31知該方程組對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中應(yīng)包括一個向量，而是的一個解，因此齊次線性方程組的通解為，再由，以上二式相加除以2知，是的一個特解，因此的通解為5）若既是非齊次線性方程組的解，又是的解，則說明：由是非齊次線性方程組的解，可知為非零向量，因此有非零解，則其系數(shù)行列式必為0，推出2、選擇題1）若齊次線性方程組 僅有零解，則（C） 2）線性方程組有唯一解的條件是（B） 只有零解 、都不對 3）若方程組中，方程的個數(shù)少于未知量的個數(shù)，則（B） 一定無解 必有非零解 僅有零解 的解不能確定3、求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系1）解：方程組化為：，設(shè)，解得，基礎(chǔ)解系為：2） 解：方程組化為令，解得：，令，解得：，基礎(chǔ)解系為：，4、求方程組 的特解解：方程組化為，令，得，因此方程組的一個特解為：5、求下列線性方程組的通解1）解：方程組化為：，設(shè)，得，通解為：2）解：方程組化為：選為自由未知量并令，(注意此處特解的取法)解得，于是該方程組的一個特解為其導(dǎo)出組的同解方程組為， 選為自由未知量并令，解得，于是導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系為方程組通解為：（3）四元線性方程組解： 由 知原方程組有無窮多組解 先求原方程組一個特解，選為自由未知量并令，得，于是該方程組的一個特解為在其導(dǎo)出組中選為自由未知量并令得，令 得，于是導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為，其中為任意常數(shù)6、綜合題（1） 已知三元非齊次線性方程組有特解，求方程組的通解.解：因為為三元方程組而，所以的基礎(chǔ)解系中含有兩個解向量，由解的性質(zhì)，均是的解，顯然它們線性無關(guān)，可以構(gòu)成的一個基礎(chǔ)解系由解的結(jié)構(gòu)知的通解為，其中為任意常數(shù)即（2）取何值時，齊次線性方程組 有非零解？并求出一般解解：因為所給方程組是含三個方程三個未知量的齊次方程組，故可以利用克拉默法則，當(dāng)系數(shù)行列式為0時方程組有非零解由 可得，所以當(dāng)時原方程組有非零解當(dāng)時，原方程組變?yōu)?，選為自由未知量并令并令得， 得于是方程組的一個基礎(chǔ)解系為通解為 ，其中為任意常數(shù)（3）取何值時，齊次線性方程組 有非零解？并求出其通解解：因為所給方程組是含三個方程三個未知量的齊次方程組，故可以利用克拉默法則，當(dāng)系數(shù)行列式為0時方程組有非零解由 可得或時原方程組有非零解 當(dāng)時，原方程組系數(shù)矩陣為，選為自由未知量，取，得， 方程組的一個基礎(chǔ)解系為通解為 ，其中為任意常數(shù) 當(dāng)時，原方程組系數(shù)矩陣為，選為自由未知量，取，得， 方程組的一個基礎(chǔ)解系為通解為 ，其中為任意常數(shù) （4）討論當(dāng)取何值時方程組無解？有唯一解？有無窮多解？在有無窮多解的情況下求出其通解解： 當(dāng) ，即，時，原方程組無解 當(dāng) ，即，時，原方程組有唯一解 當(dāng) ，即，或者時，原方程組有無窮多解當(dāng)時，原方程組中，選為自由未知量，在對應(yīng)的中令得 導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系在中令得 一個特解 于是方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù) 當(dāng)時，原方程組中，選為自由未知量，在對應(yīng)的中令得 導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系在中令得 一個特解 于是方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)（5）已知線性方程組問方程組何時無解？何時有唯一解？何時有無窮多解？在有無窮多解的情況下求出其通解解： 當(dāng) ，即，或時，原方程組無解 當(dāng) ，即，時，原方程組有唯一解 當(dāng) ，即，且時，原方程組有無窮多解當(dāng)且時，原方程組中，選為自由未知量，在對應(yīng)的中令得 導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系在中令得 一個特解 于是方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)（6）若是方程組的基礎(chǔ)解系，證明：也是該方程組的基礎(chǔ)解系證明：由于，同理可以驗證也是的解，由題設(shè)知的一個基礎(chǔ)解系中含3個解向量，下面只需證明是線性無關(guān)的設(shè)整理得由于線性無關(guān)，故有又系數(shù)行列式，故從而線性無關(guān)，是方程組的一個基礎(chǔ)解系（7）設(shè)方程組 證明：此方程組對任意實數(shù)都有解，并且求它的一切解證明： 由于 ，故對任意實數(shù)原方程組都有解 對，選為自由未知量，在對應(yīng)的中令得 ，導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系為在中令得 ，原方程組的一個特解 于是方程組的通解為 ，其中為任意常數(shù)（8）設(shè)是（）的兩個不同的解，的一個非零解，證明：若，則向量組線性相關(guān)證明：因為，所以的基礎(chǔ)解系中只含有一個解向量由解的性質(zhì)，是的非零解，又題設(shè)中是的非零解，顯然它們線性相關(guān)，即存在不全為零的數(shù)滿足 ， 整理得， 從而向量組線性相關(guān)第五章 矩陣的特征值與矩陣的對角化5.1 矩陣的特征值與特征向量1、填空題1) 矩陣的非零特征值是 3 2) 階單位陣的全部特征值為 1 ，全部特征向量為 全體n維非零實向量 3) 已知三階方陣的特征值為，則的特征值為的特征值為，的特征值為，的特征值為4) 已知為二階方陣，且，則的特征值為 0，1 2、選擇題1) 設(shè)是階矩陣，若，則的特征值（ C ） 全是零 全不是零 至少有一個是零 可以是任意數(shù)2) 若是階矩陣是可逆陣，則的特征值（ B ） 全是零 全不是零 至少有一個是零 可以是任意數(shù)(3) 設(shè)2是可逆矩陣的一個特征值，則矩陣的一個特征值等于（B ） 4) 若為階方陣，則以下結(jié)論中成立的是（ D ）的特征向量即為方程組的全部解向量 ；的特征向量的任一線性組合仍為的特征向量； 與有相同的特征向量； 若可逆，則的對應(yīng)于特征值的特征向量也是的對應(yīng)于特征值的特征向量5) 與階矩陣有相同特征值矩陣為 D 3、求下列矩陣的全部特征值及特征向量1）解：特征方程為 特征植為當(dāng)時，對應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系為，對應(yīng)的特征向量，其中為非零常數(shù)當(dāng)時，對應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系為，對應(yīng)的特征向量，其中為非零常數(shù)2）解：特征方程為 特征植為當(dāng)時，對應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系，對應(yīng)特征向量，其中為非零常數(shù) 當(dāng)時，對應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系，對應(yīng)特征向量，其中為非零常數(shù)當(dāng)時，對應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系，對應(yīng)特征向量，其中為非零常數(shù)3）解：特征方程為 特征植為對，對應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系，對應(yīng)特征向量，其中為不全為零的常數(shù)4）解：特征方程為 特征植為對，對應(yīng)齊次方程組為，基礎(chǔ)解系，對應(yīng)特征向量，其中為非零常數(shù)4、設(shè)為三階方陣，且，其中 是的伴隨矩陣，求的特征值和特征向量解：由于，故的特征植為又，對應(yīng)方程組為，可選一個基礎(chǔ)解系為基本單位向量組，故的特征向量為，其中為不全為零的常數(shù)5.2 相似矩陣、矩陣的對角化1、填空題1) 若四階方陣與相似，矩陣的特征值為，為四階單位矩陣，則 24 說明：由與相似，則的特征值也為，的特征值為，為全部特征值的乘積，因此為24.2) 若矩陣相似于矩陣，則 1 說明：，由于與均可逆，則2、選擇題1) 階方陣具有個互不同的特征值是相似于對角矩陣的（B） 充分必要條件 充分而非必要條件 必要而非充分條件 即非充分也非必要條件2) 階方陣相似于對角矩陣的充要條件是有個（C） 相同的特征值 互不相同的特征值 線性無關(guān)的特征向量 兩兩正交的特征向量3) 設(shè)三階矩陣的特征值分別是，其對應(yīng)的特征向量分別是,設(shè)，則（A） 4) 若，都是階矩陣，且可逆，相似于，則下列說法錯誤的是 C 相似于 相似于 相似于 三者中有一個不正確3、設(shè)三階方陣的特征值為1）2) 設(shè)，求的特征值及其相似對角陣，并說明理由由于，故即，所以的特征值為0，-4，-13) 4、判斷下列矩陣是否相似1） 與 解：特征方程為 特征值為 故可對角化，2） 與 解：特征方程為 特征值為 對，系數(shù)矩陣，秩為2，說明只有一個線性無關(guān)的特征向量，故它不可對角化，不相似與所給的對角矩陣3） 與 解：特征方程為 特征值為 對，系數(shù)矩陣，秩為1，說明有兩個線性無關(guān)的特征向量，故它可對角化，相似與所給的對角矩陣5、判斷下列矩陣能否對角化？若能，則求可逆矩陣，使為對角矩陣1）解：特征方程為 特征值為 對，系數(shù)矩陣，秩為2，說明此時只有一個線性無關(guān)的特征向量，故它不可對角化2）解：特征方程為 特征值為 對，系數(shù)矩陣，秩為1，說明有兩個線性無關(guān)的特征向量，故它可對角化對此齊次方程組取一個基礎(chǔ)解系 對，系數(shù)矩陣，秩為2，說明有一個線性無關(guān)的特征向量，取一個基礎(chǔ)解系 取，有3）解：特征方程為 特征值為對，系數(shù)矩陣，秩為2，說明此時只有一個線性無關(guān)的特征向量，故它不可對角化6、設(shè)階方陣的特征值為，它們對應(yīng)的特征向量依次為，求.解：由于有3個互不相同的特征值，故它可對角化取，有從而5.3 實對稱矩陣的對角化1、填空題1）任一方陣的屬于不同特征值的特征向量必 線性無關(guān) （填向量之間的關(guān)系）實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量必 正交 （填向量之間的關(guān)系）2）為三階實對稱矩陣，是矩陣的重特征值，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系包含 3 個解向量2、設(shè) ，求正交矩陣，使得解：特征方程為 特征值為 對，系數(shù)矩陣，對應(yīng)的齊次方程組取一個基礎(chǔ)解系 ，系數(shù)矩陣，對應(yīng)的齊次方程組取一個基礎(chǔ)解系正交化：，單位化：，取，有3、設(shè)，求.解：由于相似矩陣有相同的行列式和跡，故 解方程組得4、設(shè)1) 求、2) 求正交矩陣，使得解：1)由于相似矩陣有相同的特征值，的特征值為0，1，2從而有即，解得 2)此時，其一個基礎(chǔ)解系，其一個基礎(chǔ)解系，其一個基礎(chǔ)解系單位化：，有5、設(shè) ，求（為正整數(shù)）解：特征方程為 特征值為 對，系數(shù)矩陣，對應(yīng)的齊次方程組取一個基礎(chǔ)解系 ，系數(shù)矩陣，對應(yīng)的齊次方程組取一個基礎(chǔ)解系，有，故從而6、設(shè)為階非零矩陣，若存在正整數(shù)，使，稱為冪零矩陣.證明：1）冪零矩陣的特征值全為零.2）不能相似于對角矩陣.證明：證明：1）設(shè)為冪零矩陣，有特征值，即， ， 又，帶入上式得，即，又，只有 從而 2）反證法：假設(shè)相似于對角矩陣，由于相似矩陣有相同的特征值，故為零矩陣，且存在可逆矩陣滿足，有，與題設(shè)為非零矩陣矛盾，假設(shè)錯誤不能相似于對角矩陣第六章 二次型6.2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型一、填空題1、二次型的矩陣是2、二次型的矩陣是，該二次型的秩是 3 3、二次型的秩為 2 說明：對應(yīng)矩陣為，該矩陣行列式為0，秩為24、矩陣為二次型的二次型矩陣若該二次型的秩是,則 1 說明：令，求得二、選擇題二次型的矩陣是(D) (A) (B) (C) (D) 說明：本二次型是三元二次型，因此排除A、B，又由于C不是對稱矩陣，排除，因此選D三、設(shè)二次型（1）寫出其矩陣表達(dá)式；（2）用正交變換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換.解：（1）（2）特征方程為 特征值為 對，系數(shù)矩陣，對應(yīng)的齊次方程組取一個基礎(chǔ)解系 ，系數(shù)矩陣，對應(yīng)的齊次方程組取一個基礎(chǔ)解系由于相互正交，只需對它們單位化：單位化：，取，作正交變換，即則將化為標(biāo)準(zhǔn)形四、用配方法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫出所做的實可逆線性變換并指出原二次型的秩：（1）解： 令，顯然它是一個可逆變換，它的逆變換也是可逆線性變換，這個線性變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形該二次型是一個秩為3的二次型（2）解： 令，顯然它是一個可逆變換，它的逆變換也是可逆線性變換，這個線性變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形該二次型是一個秩為3的二次型（3）令，顯然它是一個可逆變換，它的逆變換也是可逆線性變換，這個線性變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形 該二次型是一個秩為3的二次型（4）解：令，顯然它是一個可逆變換，它的逆變換也是可逆線性變換，這個線性變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形 該二次型是一個秩為3的二次型（5）解：令令，它的逆變換，帶入得， 這個線性變換將化為標(biāo)準(zhǔn)形 該二次型是一個秩為3的二次型五、設(shè)二次型經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，求常數(shù).解：，該二次型的矩陣為，它可經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，故0，1，2是矩陣的三個特征值從而有即，解得六、已知是二次型的矩陣的特征向量,求這個二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.解：該二次型的矩陣為，由題設(shè)是矩陣的特征向量，故存在特征值滿足，即，可得此時，特征方程 解得特征值為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為6.4 正定二次型一、填空題(1)設(shè)，則 不是 正定矩陣;式子 不是 二次型；式子 不是 二次型（填“是”或者“不是”）（2）設(shè)是正定的，則(3)若二次型 是正定的，則t的取值范圍是二、（1）二次型的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)與符號差分別為 A (A) 2,0,2 (B) 2,0,0 (C) 2,1,1 (D) 1,1,0(2) 二次型是 A （A）既不正定也不負(fù)定（B）負(fù)定的（C）正定的 （D）無法確定(3) 如果A是正定矩陣，則 C （A是A的伴隨矩陣） (A) A和A1也正定，但A不一定 （B）A1和A也正定，但A不一定（C）A、A1、A也都是正定矩陣 (D) 無法確定（4）二次型 是正定二次型的充要條件是 C （A）存在維非零向量，使（B）,（C）的正慣性指標(biāo)為 （D）的負(fù)慣性指標(biāo)為 （5）對正定二次型矩陣下列結(jié)論不正確的為（ D ）（A） 合同于一個同階單位陣 （B） 所有特征值都大于0（C）順序主子式都大于0（D） 不能對角化（6）以下命題正確的是 （題目錯，無正確答案） （A） 若階方陣的順序主子式都大于零，則是正定矩陣（B） 若階方陣的特征值都大于零，則是正定矩陣（C） 若階實對稱矩陣不是負(fù)定的，則是正定的 （D） 若階實對稱矩陣的主對角線元素不全為零，則一定不是正定的 三、判斷下列二次型的正定性：（1）解：該二次型的矩陣為，因為，二次型非正定（2）解：該二次型的矩陣為，因為，二次型正定四、求值,使下列二次型為正定二次型（1）解：該二次型的矩陣為，要使得二次型正定，只有：，同時成立，所以二次型正定可得（2）解：該二次型的矩陣為，要使得二次型正定，只有：，同時成立，所以二次型正定可得線性代數(shù)試題（一）一、填空題（每題4分，5小題共20分）1、已知為階方陣，為的伴隨矩陣，若，則=提示：，因此，得2、設(shè)、是三階方陣，是三階單位陣，且，則 -4 提示：由得，則3、向量在基，下的坐標(biāo)為 （1，2，3） 4、若向量組，的秩為2，則 3 5、階方陣，若滿足，則的特征值為 0或1 二、選擇題（每小題3分，共15分）1、設(shè)和都是階方陣，且，是階單位陣，則（ B ）（A） （B）或者（C） （D）且2、維向量組線性無關(guān)的充分必要條件為（ C ）(A)均不為零向量；(B)中任意兩個不成比例(C)中任意一個向量均不能由其余個向量線性表示(D)以上均不對3、設(shè)為矩陣，且,則齊次線性方程組（C）(A)無解 (B)只有唯一解 (C)一定有無窮多解 (D)不能確定4、若是階方陣，則（AD）(A) 1或2是的特征值 (B)若則(C) 若則 (D)若1不是的特征值，則5、設(shè)為階可逆矩陣，則（ B ）（A）若，則；（B）總可以經(jīng)過初等變換化為；（C）則；（D）以上都不對三、（每小題7分，滿分14分）計算行列式1、 2、解：1、 將行列式增加一行、一列 第一行乘以-1加到以下各行 第i+1列乘以加到第1列， 2、 第1列乘以加到第三列 范德蒙行列式四、（本題滿分為10分）設(shè)，其中是的伴隨矩陣，求解： 兩邊同時左乘得，即由，則，即五、（本題滿分為7分）若是方程組的基礎(chǔ)解系，證明也是該方程組的基礎(chǔ)解系證明：由于，同理可以驗證也是的解，由題設(shè)知的一個基礎(chǔ)解系中含3個解向量，下面只需證明是線性無關(guān)的設(shè)整理得由于線性無關(guān)，故有又系數(shù)行列式，故從而線性無關(guān)，是方程組的一個基礎(chǔ)解系六、（本題滿分為12分）設(shè)（1）確定；（2）求一個可逆矩陣，使.解：（1）由與相似得，即，解得（2）的特征值為1，2，5當(dāng)時，為，基礎(chǔ)解系為當(dāng)時，為，基礎(chǔ)解系為當(dāng)時，為，基礎(chǔ)解系為則，使七、（本題滿分為12分）問為何值時，方程組 無解，有唯一解，有無窮多組解？并在有無窮多組解時求其通解解： 當(dāng)時，方程組無解；當(dāng)時，方程組有唯一解；當(dāng)時，方程組有無窮多解方程組變?yōu)椋?，設(shè)，得即八、（本題滿分為10分）設(shè)二次型 1、寫出二次型的矩陣表達(dá)式2、有配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所做的實可逆線性變換3、判斷是否正定，且說明理由解：1、二次型的矩陣表達(dá)式為：2、做可逆線性變換，即則線性代數(shù)試題（二）一、選擇題（每小題3分，共15分）1、若，則的值為（ B ）(A) 12 (B) 12 (C) 18 (D) 0 提示：2、設(shè)都是n階矩陣，且 , 則下列一定成立的是（ B ）(A) 或 (B)都不可逆(C) 中至少有一個不可逆 (D) 3、向量組線性相關(guān)的充分必要條件是（ D ）(A) 中含有零向量；(B) 中有兩個向量的對應(yīng)分量成比例(C) 中每一個向量都可用其余個向量線性表示(D) 中至少有一個向量可由其余個向量線性表示4. 非齊次線性方程組AX=b中未知量個數(shù)為n，方程個數(shù)為m，系數(shù)矩陣A的秩為r，則（ B ）（A）r=m時，方程組AX= b有解; （B）r=n時，方程組AX=b有唯一解;（C）m=n時方程組AX=b有唯一解;（D）rn時方程組AX= b有無窮多解.5、設(shè)階方陣與相似，則（ D ）(A) (B) 與有相同的特征向量 (C) 與都相似于同一對角陣 (D) 對任意常數(shù),與相似提示：由于與不一定能對角化，因此（C）錯；對于（D），由于，則，因此與相似二、填空題（每空3分，共15分）1、設(shè)為四階矩陣，且，則 32 2、已知非齊次線性方程組，有特解：，且，則線性方程組的通解是提示：說明的基礎(chǔ)解系中應(yīng)有兩個向量，為的兩個線性無關(guān)的解，因此可做為基礎(chǔ)解系，然后從三個向量中任選一個做為的特解即可，因此的通解為（本題結(jié)果不唯一）3、若是階矩陣，且都是不可逆矩陣，則 -2 提示：由題意知有三個特征值，1，-1，2，三個特征值相乘即可4、若向量能由向量唯一線性表示，則應(yīng)該滿足提示：本題就是求線性無關(guān)的條件5、當(dāng)t取，二次型是負(fù)定的三、判斷題（每小題2分，共10分）1、若齊次線性方程組有非零解，則的列向量組線性無關(guān)（ 錯 ）2、若，則的特征值只能是（ 對 ）3、設(shè)為階可逆矩陣，則總可以經(jīng)過初等行變換化為（ 對 ）4、設(shè)均為階方陣，且與合同，則必等價于（ ？ ）5、設(shè)為階方陣，若，則（ 錯 ）四、計算題（每小題5分，共10分）1、 2、 解：1、 將2、3、4行加到第一行，并從第一行提出公因子 將第1行乘以-1加到2、3、4行 2、 按第一行展開得 因此，即得：五、（本題10分）設(shè)向量組、求此向量組的一個極大線性無關(guān)組，將其余向量表示成它們的線性組合解：向量組的一個極大線性無關(guān)組為，六、解答與證明（每小題5分共10分）1解方程：解：，2設(shè) 證明：當(dāng)且僅當(dāng)證明：必要性，已知，即，則，得充分性，已知，則，因此七、（本題10分）問為何值時，方程組 無解、有唯一解、有無窮多組解？并在有無窮多組解時求其通解解：當(dāng)時，方程組無解；當(dāng)時，方程組有唯一解；當(dāng)時，方程組有無窮多解，此時方程組為，令，得，方程組通解為：八、（本題10分）設(shè) ，求一正交變換矩陣使得為對角陣，并寫出相應(yīng)的對角陣解：解得特征值為，對于，得方程組，解得基礎(chǔ)解系為，單位化對于，得方程組，解得基礎(chǔ)解系為，單位化對于，得方程組，解得基礎(chǔ)解系為，單位化可得正交矩陣，使九、（本題10分）用配方法化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)型解： 做可逆線性變換，即使第 42 頁 共 42 頁