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2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)題型 課下層級訓(xùn)練49 拋物線(含解析)

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2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)題型 課下層級訓(xùn)練49 拋物線(含解析)

課下層級訓(xùn)練(四十九)拋物線A級基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練1點(diǎn)M(5,3)到拋物線yax2(a0)的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的方程是()Ay12x2By12x2或y36x2Cy36x2Dyx2或yx2【答案】D分兩類a>0,a<0,可得yx2或yx2.2已知AB是拋物線y28x的一條焦點(diǎn)弦,|AB|16,則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是()A3B4C6D8【答案】C設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|x1x2p16,又p4,所以x1x212,所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是6.3(2019·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知拋物線C:x22py(p>0),若直線y2x被拋物線所截弦長為4,則拋物線C的方程為()Ax28yBx24yCx22yDx2y【答案】C由得或即兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(4p,8p),則4,得p1(舍去負(fù)值),故拋物線C的方程為x22y.4(2019·山東聊城模擬)過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線l交該拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,若|AF|3,則直線l的斜率為()A1BCD2【答案】D根據(jù)|AF|3可知A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3,故A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,故縱坐標(biāo)為2,由AF的坐標(biāo)解出直線l的斜率k2.5直線l過拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn),且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若線段AB的長是6,AB的中點(diǎn)到x軸的距離是1,則此拋物線方程是_【答案】x28y設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|y1y2p2p6,p4.即拋物線方程為x28y.6(2019·山東威海模擬)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y24x的準(zhǔn)線為l,焦點(diǎn)為F,過F且斜率為的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),且|AF|>|BF|,若直線AO與l相交于D,則_【答案】過F且斜率為的直線方程為y(x1),與拋物線C:y24x聯(lián)立解得A(3,2),B,則直線AO方程為yx與準(zhǔn)線l:x1的交點(diǎn)D,因此.7(2018·全國卷)已知點(diǎn)M(1,1)和拋物線C:y24x,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn)若AMB90°,則k_【答案】2方法一設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則yy4(x1x2),k設(shè)AB中點(diǎn)M(x0,y0),拋物線的焦點(diǎn)為F,分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線x1的垂線,垂足為A,B,則|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0,y0)為AB中點(diǎn),M為AB的中點(diǎn),MM平行于x軸,y1y22,k2方法二由題意知,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),設(shè)直線方程為yk(x1),直線方程與y24x聯(lián)立,消去y,得k2x2(2k24)xk20設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x21,x1x2由M(1,1),得(1x1,1y1),(1x2,1y2)由AMB90°,得·0,(x11)(x21)(y11)(y21)0,x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10又y1y2k(x11)·k(x21)k2x1x2(x1x2)1,y1y2k(x1x22),11k2k10,整理得10,解得k2.8已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4,且位于x軸上方的點(diǎn),A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M(1)求拋物線的方程;(2)若過M作MNFA,垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo)【答案】解(1)拋物線y22px的準(zhǔn)線為x,于是45,p2,拋物線方程為y24x(2)由(1)知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4),由題意得B(0,4),M(0,2)又F(1,0),kFAMNFA,kMNFA的方程為y(x1),MN的方程為yx2,聯(lián)立解方程組得x,y,點(diǎn)N的坐標(biāo)為9(2019·河南鄭州月考)已知過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且|AB|9(1)求該拋物線的方程;(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若,求的值【答案】解(1)直線AB的方程是y2,與y22px聯(lián)立,從而有4x25pxp20由題易知,方程必有兩個不等實(shí)根所以x1x2,由拋物線定義得|AB|x1x2pp9,所以p4,從而拋物線方程為y28x(2)由于p4,則4x25pxp20,即x25x40,從而x11,x24,于是y12,y24,從而A(1,2),B(4,4)設(shè)C(x3,y3),則(x3,y3)(1,2)(4,4)(41,42)又y8x3,即2(21)28(41),整理得(21)241,解得0或2B級能力提升訓(xùn)練10若動圓的圓心在拋物線yx2上,且與直線y30相切,則此圓恒過定點(diǎn)()A(0,2)B(0,3)C(0,3)D(0,6)【答案】C直線y30是拋物線x212y的準(zhǔn)線,由拋物線的定義知拋物線上的點(diǎn)到直線y3的距離與到焦點(diǎn)(0,3)的距離相等,所以此圓恒過定點(diǎn)(0,3)11(2019·山東濱州模擬)如圖,過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A,B,C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,則拋物線的方程為()Ay2xBy23xCy2xDy29x【答案】B如圖,分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線,交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,D,設(shè)|BF|a,則|BC|2a,由拋物線的定義得,|BD|a,故BCD30°,在直角三角形ACE中,因?yàn)閨AE|AF|3,|AC|33a,2|AE|AC|,所以633a,從而得a1,因?yàn)锽DFG,所以.即,解得p,因此拋物線方程為y23x.12已知直線ya交拋物線yx2于A,B兩點(diǎn)若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得ACB為直角,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_【答案】1,)如圖,設(shè)C(x0,x)(xa),A(,a),B(,a),則(x0,ax),(x0,ax)CACB,·0,即(ax)(ax)20,(ax)(1ax)0.xa10,a1.13(2017·全國卷)已知F是拋物線C:y28x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|_【答案】6如圖,不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi),拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A,過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)P,PMOF由題意知,F(xiàn)(2,0),|FO|AO|2點(diǎn)M為FN的中點(diǎn),PMOF,|MP|FO|1又|BP|AO|2,|MB|MP|BP|3由拋物線的定義知|MF|MB|3,故|FN|2|MF|6.14如圖,已知拋物線C:y22px(p0),焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)G(p,0)作直線l交拋物線C于A,M兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),M(x2,y2)(1)若y1y28,求拋物線C的方程;(2)若直線AF與x軸不垂直,直線AF交拋物線C于另一點(diǎn)B,直線BG交拋物線C于另一點(diǎn)N.求證:直線AB與直線MN斜率之比為定值【答案】(1)解設(shè)直線AM的方程為xmyp,代入y22px得y22mpy2p20,則y1y22p28,得p2拋物線C的方程為y24x(2)證明設(shè)B(x3,y3),N(x4,y4)由(1)可知y3y42p2,y1y3p2又直線AB的斜率kAB,直線MN的斜率kMN,2故直線AB與直線MN斜率之比為定值15(2018·浙江卷)如圖,已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn),拋物線C:y24x上存在不同的兩點(diǎn)A,B滿足PA,PB的中點(diǎn)均在C上(1)設(shè)AB中點(diǎn)為M,證明:PM垂直于y軸;(2)若P是半橢圓x21(x<0)上的動點(diǎn),求PAB面積的取值范圍. 【答案】(1)證明設(shè)P(x0,y0),A,B因?yàn)镻A,PB的中點(diǎn)在拋物線上,所以y1,y2為方程24·即y22y0y8x0y0的兩個不同的實(shí)根所以y1y22y0,因此,PM垂直于y軸(2)解由(1)可知,所以|PM|(yy)x0y3x0,|y1y2|2因此,PAB的面積SPAB|PM|·|y1y2|(y4x0)因?yàn)閤1(x0<0),所以y4x04x4x044,5,因此,PAB面積的取值范圍是 7

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