高等數(shù)學(xué)經(jīng)管類下、林偉初郭安學(xué)主編、復(fù)旦大學(xué)出版社、課后習(xí)題答案.doc

習(xí)題7-11. 指出下列各點所在的坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面或卦限： A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7).解：A在V卦限，B在y軸上，C在xOz平面上，D在VIII卦限。2. 已知點M(-1，2，3)，求點M關(guān)于坐標(biāo)原點、各坐標(biāo)軸及各坐標(biāo)面的對稱點的坐標(biāo).解：設(shè)所求對稱點的坐標(biāo)為(x，y，z)，則(1) 由x-1=0，y+2=0，z+3=0，得到點M關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點的坐標(biāo)為：(1，-2，-3).(2) 由x=-1，y+2=0，z+3=0，得到點M關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為：(-1，-2，-3).同理可得：點M關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為：(1， 2，-3)；關(guān)于z軸的對稱點的坐標(biāo)為：(1，-2，3).(3)由x=-1，y=2，z+3=0，得到點M關(guān)于xOy面的對稱點的坐標(biāo)為：(-1， 2，-3).同理，M關(guān)于yOz面的對稱點的坐標(biāo)為：(1， 2，3)；M關(guān)于zOx面的對稱點的坐標(biāo)為：(-1，-2，3).3. 在z軸上求與兩點A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距離的點.解:設(shè)所求的點為M(0，0，z)，依題意有|MA|2=|MB|2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z=11，故所求的點為M(0，0，).4. 證明以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.解：由兩點距離公式可得， 所以以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.5. 設(shè)平面在坐標(biāo)軸上的截距分別為a=2,b=3,c=5,求這個平面的方程.解：所求平面方程為。6. 求通過x軸和點(4,3,1)的平面方程.解：因所求平面經(jīng)過x軸，故可設(shè)其方程為Ay+Bz =0.又點(4,3,1)在平面上，所以-3A-B =0.即B=-3 A代入并化簡可得 y-3z =0.7. 求平行于y軸且過M1(1,0,0)，M2(0,0,1)兩點的平面方程.解：因所求平面平行于y軸，故可設(shè)其方程為Ax+Cz+D=0.又點M1和M2都在平面上，于是可得關(guān)系式：A=C=D,代入方程得：DxDz+D=0.顯然D0,消去D并整理可得所求的平面方程為x+z1=0.8. 方程x2+y2+z22x+4y=0表示怎樣的曲面？解：表示以點（1，-2，0）為球心，半徑為的球面方程。9. 指出下列方程在平面解析幾何與空間解析幾何中分別表示什么幾何圖形？(1) x2y=1；(2) x2+y2=1；(3) 2x2+3y2=1；(4) y=x2. 解：(1)表示直線、平面。(2)表示圓、圓柱面。(3)表示橢圓、橢圓柱面。 (4)表示拋物線、拋物柱面。習(xí)題7-21. 下列各函數(shù)表達(dá)式:(1) 已知f(x,y)=x2+y2,求；(2) 已知求f(x,y).解：（1） （2） 所以2. 求下列函數(shù)的定義域，并指出其在平面直角坐標(biāo)系中的圖形：(1) ；(2) ;(3) ；(4) 解：（1）由可得 故所求定義域為D=(x,y)| 表示xOy平面上不包含圓周的區(qū)域。 （2）由 可得 故所求的定義域為D=(x,y)| ，表示兩條帶形閉域。 （3）由 可得 故所求的定義域為D=(x,y)| ，表示xOy平面上直線y=x以下且橫坐標(biāo)的部分。 （4）由 可得 故所求的定義域為D=(x,y)| 。3. 說明下列極限不存在： (1) ；(2) .解：（1）當(dāng)點P(x,y)沿直線y=kx趨于點(0,0)時，有 。顯然，此時的極限值隨k的變化而變化。 因此，函數(shù)f(x,y)在(0,0)處的極限不存在。（2）當(dāng)點P(x,y)沿曲線趨于點(0,0)時，有 。顯然，此時的極限值隨k的變化而變化。 因此，函數(shù)f(x,y)在(0,0)處的極限不存在。4. 計算下列極限：(1) ；(2);(3) ；(4) .解：（1）因初等函數(shù)在(0,1)處連續(xù)，故有 （2）（3）（4）。5. 究下列函數(shù)的連續(xù)性：(1) (2) 解：(1) 所以f(x,y)在(0,0)處連續(xù). (2) 該極限隨著k的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)處不連續(xù).6. 下列函數(shù)在何處間斷？(1) ；(2) .解：(1)z在(x,y)| 處間斷. (2)z在(x,y)| 處間斷.習(xí)題7-31. 求下列函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)：(1) z=x3+3xy+y3； (2) ;(3) ； (4) (5) ； (6) 解：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. 求下列函數(shù)在指定點處的偏導(dǎo)數(shù)：(1) f(x,y)=x2xy+y2，求fx(1,2)，fy(1,2);(2) ;求(3) ; 求； (4) , 求.解：(1) (2) 因此 (3) 因此所以. (4) 故3設(shè)，證明：(1) ;(2) ;(3) .證明：利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，可推斷得到：(1) (2) 利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，可推斷得到：(3) 利用函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，可推斷得到：.4. 求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù),：(1) ； (2) .解：(1) (2) 5. 某水泥廠生產(chǎn)A,B兩種標(biāo)號的水泥，其日產(chǎn)量分別記作x,y(單位：噸)，總成本(單位：元)為C(x,y)=20+30 x2+10 xy+20y2,求當(dāng)x=4,y=3時，兩種標(biāo)號水泥的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟含義.解：經(jīng)濟含義:當(dāng)A,B兩種標(biāo)號的水泥日產(chǎn)量分別4噸和3噸時，如果B水泥產(chǎn)量不變，而A水泥的產(chǎn)量每增加1噸，成本將增加270元；如果A水泥產(chǎn)量不變，而B水泥的產(chǎn)量每增加1噸，成本將增加160元。6. 設(shè)某商品需求量Q與價格為p和收入y的關(guān)系為Q=4002p+0.03y.求當(dāng)p=25,y=5000時，需求Q對價格p和收入y的偏彈性，并解釋其經(jīng)濟含義.解：經(jīng)濟含義: 價格為25和收入為5000時，如果價格不變，而收入增加1個單位，商品的需求量將增加0.03；如果收入不變，而價格增加1個單位，商品的需求量將減少2.習(xí)題7-41. 求下列函數(shù)的全微分：(1) z=4xy3+5x2y6； (2) (3) u=ln(xyz)； (4) 解：(1) 所以 (2) 所以 (3) 所以 (4) 所以 2. 計算函數(shù)z=xy在點(3，1)處的全微分.解：所以 3. 求函數(shù)z=xy在點(2，3)處，關(guān)于x=0.1，y=0.2的全增量與全微分.解：所以4. 計算 (1.04)2.02的近似值.設(shè)函數(shù)f(x,y)=xy.x=1,y=2,x=0.04,y=0.02.f(1,3)=13=1,fx(x,y)=yxy-1,fy(x,y)=xylnx,fx(1,2)=2,fy(1,2)=0.由二元函數(shù)全微分近似計算公式(7-18)，得(1.05)3.021+20.04+00.02=1.08.5. 設(shè)有一個無蓋圓柱形玻璃容器，容器的內(nèi)高為20 cm，內(nèi)半徑為4 cm，容器的壁與底的厚度均為0.1 cm，求容器外殼體積的近似值.解：解設(shè)圓柱的直徑和高分別用x，y表示，則其體積為.于是，將所需的混凝土量看作當(dāng)x+x=8+20.1，y+y=20+0.1與x=8，y=20時的兩個圓柱體的體積之差V(不考慮底部的混凝土)，因此可用近似計算公式VdV=fx(x,y)x+fy(x,y)y.又，代入x=8，y=20，x=0.2，y=0.1，得到(m3).因此，大約需要55.264m3的混凝土.習(xí)題7-51. 求下列函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：(1) 設(shè)z=e3u+2v，而u=t2,v=cost,求導(dǎo)數(shù)；(2) 設(shè)z=arctan(uv),而u=3x,v=4x3,求導(dǎo)數(shù);(3) 設(shè)z=xy+sint,而x=et,y=cost,求導(dǎo)數(shù)解： (1) (2) (3) 2. 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))：(1) 設(shè)z=u2vuv2，而u=xsiny,v=xcosy，求和；(2) 設(shè)z=(3x2+y2)4x+2y，求和；(3) 設(shè)u=f(x,y,z)=ex+2y+3z,z=x2cosy，求和；(4) 設(shè)w=f(x，x2y，xy2z)，求,.解：(1) (2) 令.(3) 3. 應(yīng)用全微分形式的不變性，求函數(shù)的全微分.解：令而故 4. 已知sinxy2z+ez=0,求和.解：兩同時對x求偏導(dǎo)，可得故兩邊同時對y求偏導(dǎo)，可得故5. 若f的導(dǎo)數(shù)存在，驗證下列各式：(1) 設(shè)u=yf(x2y2)，則；(2) 設(shè)，則.證：(1) ,所以.(2) ,所以.6. 求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)(其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))：(1) ；(2) z=ylnx；(3) z=f(xy,x2y2).解：(1)由第3題可知故.(2) 故,.(3) 故7. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)：(1) x2+y2+z24z=0；(2) z33xyz=1.解：(1)兩邊同時對x求偏導(dǎo)得故兩邊同時對y求偏導(dǎo)得故(2) 兩邊同時對x求偏導(dǎo)得故兩邊同時對y求偏導(dǎo)得故習(xí)題7-61. 求下列函數(shù)的極值：(1) f(x,y)=x2+y36xy+18x39y+16；(2) f(x,y)=3xyx3y3+1.解：(1) 先解方程組得駐點為(-6,1),(6,5).在點(-6，1)處，=AC-B2=26-360，又A0，所以函數(shù)在(6，5)處有極小值f(6，5)=-90.(2) 先解方程組得駐點為(0,0),(1,1).在點(0，0)處，=AC-B2=-90,又A0，y0)下，函數(shù)C(x,y)=1000+8x2xy+12y2(元)的條件極值問題.令由得x=25,y=17.根據(jù)問題本身的意義及駐點的唯一性知，當(dāng)投入兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為25件和17件時，可使成本最低.7. 某公司通過電視和報紙兩種媒體做廣告，已知銷售收入R(單位:萬元)與電視廣告費x(單位:萬元)和報紙廣告費y(單位:萬元)之間的關(guān)系為R(x,y)=15+14x+32y8xy2x210y2，(1) 若廣告費用不設(shè)限，求最佳廣告策略.(2) 若廣告費用總預(yù)算是2萬元，分別用求條件極值和無條件極值的方法求最佳廣告策略. 解：(1)得唯一駐點(1.5,1).由此可知，當(dāng)電視廣告費為1.5萬元，報紙廣告費為1萬元時，廣告策略最佳。(2) 問題是在約束條件x+y=2(x0，y0)下，函數(shù)R(x,y)=15+14x+32y8xy2x210y2的條件極值問題.令由解得x=0.75,y=1.25. 由此可知，當(dāng)電視廣告費為0.75萬元，報紙廣告費為1.25萬元時，廣告策略最佳。由x+y=2，可得y =2-x,代入R得 R(x,y)=-4 x2+6x+39令.因此y=1.25.復(fù)習(xí)題7（A）1. 設(shè)，且已知y=1時，z=x則,. 解：由y=1時，z=x，得令，.2. 設(shè)，則 1 , 0 .解： 3. 設(shè),則 .解：令而故 4. 設(shè),其中f,g具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則 .解： 所以0.5. 若函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則在該點處函數(shù) ( D ) A有極限 B連續(xù)C可微 D以上三項都不成立解：因為偏導(dǎo)數(shù)存在，不能推出極限存在，所以ABC三項不一定正確. 6. 偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)連續(xù)的( D ) A充分條件 B必要條件C充要條件 D即非充分也非必要條件解：同5.7. 設(shè)函數(shù)f(x,y)=1x2+y2,則下列結(jié)論正確的是( D ) A點(0,0)是f(x,y)的極小值點 B點(0,0)是f(x,y)的極大值點C點(0,0)不是f(x,y)的駐點 Df(0,0)不是f(x,y)的極值8. 求下列極限：(1) ；(2) .解：(1) 因為所以 (2) =09. 設(shè)u=e3xy，而x2+y=t2,xy=t+2,求.解：由x2+y=t2,xy=t+2,可得所以.因此，.令故10. 設(shè)z=f(x,y)由方程xy+yz+xz=1所確定,求解：兩邊同時對x求偏導(dǎo)，得.11. 設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足，又,試證.證：則所以.12. 求函數(shù)f(x,y)=x2(2+y2)+ylny的極值.解：先解方程組得駐點為(0,1).在點(0，1)處,=AC-B2=61-00,又A0,所以函數(shù)在(0，1)處有極小值f(0，1)=0.（B）1. 設(shè)z=ex+f(x2y)，且已知y=0時，z=x2,則 .解：令所以2. 設(shè)f(x,y,z)=exyz2，其中z=z(x,y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則 . 解：故因此.3. 設(shè),則 . 解：，所以4. 設(shè),其中f,g具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則 . 解： .5. 函數(shù)在點(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)存在的情況是( C ).Afx(0,0)，fy(0,0)都存在Bfx(0,0)存在，fy(0,0)不存在Cfx(0,0)不存在，fy(0,0)存在Dfx(0,0)，fy(0,0)都不存在解：6. 設(shè)f(x,y),g(x,y)均為可微函數(shù)，且gy(x,y)0，已知(x0,y0)是f(x,y)在約束條件g(x,y)=0下的一個極值點，下列結(jié)論正確的是( D ) A若fx(x0,y0)=0,則fy(x0,y0)=0B若fx(x0,y0)=0,則fy(x0,y0)0C若fx(x0,y0)0,則fy(x0,y0)=0D若fx(x0,y0)0,則fy(x0,y0)0解：作拉格朗日函數(shù)，則有 ， .由于gy(x,y)0，所以當(dāng)fx(x0,y0)0，因此，從而fy(x0,y0)0.7. 設(shè)函數(shù)u=f(x,y,z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z=z(x,y)是由xexyey=zez所確定的隱函數(shù)，求du. 解：由xexyey=zez可得.因此 .8. 設(shè)函數(shù)u=f(x,y,z)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且y=y(x),z=z(x)分別由下列兩式確定：，求.解：由由.故.9. 設(shè)z=z(x,y)由方程x2+y2z=g(x+y+z)所確定，其中g(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且g1.(1) 求dz;(2) ,求解：(1),兩邊分別同時對x、y求偏導(dǎo)得因此(2) ,10. 求函數(shù)u=x2+y2+z2在約束條件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小值.解：由.因此，問題轉(zhuǎn)化為求 下的極值問題.令,，.解得: 因此, 又所以最大值為72，最小值為6.習(xí)題8-11. 設(shè)有一平面薄片，在xOy平面上形成閉區(qū)域D，它在點(x,y)處的面密度為(x,y)，且(x,y)在D連續(xù)，試用二重積分表示該薄片的質(zhì)量.解：.2. 試比較下列二重積分的大?。?1) 與，其中D由x軸、y軸及直線x+y=1圍成；(2) 與，其中D是以A(1,0)，B(1,1)，C(2，0）為頂點的三角形閉區(qū)域.解：(1)在D內(nèi)，. (2) 在D內(nèi)，, 習(xí)題8-21. 畫出積分區(qū)域，并計算下列二重積分：(1) ，其中D為矩形閉區(qū)域：；(2) ，其中D是由兩坐標(biāo)軸及直線x+y=2所圍成的閉區(qū)域；(3) ,其中D是由直線y=2,y=x,y=2x所圍成的閉區(qū)域；(4) ,其中D是半圓形閉區(qū)域:x2+y24,x0；(5) ,其中D為:0 x4,1ye；(6) 其中D是由曲線所圍成的閉區(qū)域.解：(1) (2) (3) (4) 因為被積函數(shù)是關(guān)于y的奇函數(shù)，且D關(guān)于x軸對稱，所以 (5) . (6) .2. 將二重積分化為二次積分（兩種次序）其中積分區(qū)域D分別如下：(1) 以點(0,0),(2,0),(1,1)為頂點的三角形；(2) 由直線y=x及拋物線y2=4x所圍成的閉區(qū)域；(3) 由直線y=x,x=2及雙曲線所圍成的閉區(qū)域；(4) 由曲線y=x2及y=1所圍成的閉區(qū)域.解：(1) (2) (3) (4) 3. 交換下列二次積分的積分次序：(1) ； （2）； (3) ； (4) .解：(1) .(2) (3) (4) .4. 求由平面x=0,y=0,x=1,y=1所圍成的柱體被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立體體積.解：5. 求由平面x=0,y=0,x+y=1所圍成的柱體被平面z=0及曲面x2+y2=6z截得的立體體積.解：習(xí)題8-31. 畫出積分區(qū)域，把二重積分化為極坐標(biāo)系下的二次積分,其中積分區(qū)域D是：(1) x2+y2a2(a0)； (2) x2+y22x；(3) 1x2+y24； (4) 0y1x,0 x1.解：(1) (2) (3) (4) 2. 把下列積分化為極坐標(biāo)形式，并計算積分值：(1) ；(2) 解：(1) .(2) 3. 在極坐標(biāo)系下計算下列二重積分：(1),其中D是圓形閉區(qū)域: x2+y21；(2) ,其中D是由圓周x2+y2=1及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；(3) ，其中D是由圓周x2+y2=1,x2+y2=4及直線y=0,y=x所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；(4) 其中D由圓周x2+y2=Rx(R0)所圍成.解：(1) (2) .(3) (4) .4. 求由曲面z=x2+y2與所圍成的立體體積.解：兩條曲線的交線為x2+y2=1，因此，所圍成的立體體積為：習(xí)題8-41. 計算反常二重積分，其中D：x0,yx.2. 計算反常二重積分，其中D：x2+y21.解：1. 所以2. 由，得復(fù)習(xí)題8（A）1. 將二重積分化為二次積分(兩種次序都要)，其中積分區(qū)域D是：(1) x1,y2;(2) 由直線y=x及拋物線y2=4x所圍成.解：(1) (2) 2. 交換下列兩次積分的次序：(1);(2);(3)解：(1) .(2) .(3) .3. 計算下列二重積分：(1) ， D: x1,y1;(2) ,D由直線y=1,x=2及y=x圍成；(3) ,D由y=x和y=x圍成；(4) ，D:x+y1;(5) ，D由與y=x圍成；(6) ，D是圓域x2y2R2；解: (1) .(2) .(3) .(4) .(5) .(6) .4. 已知反常二重積分收斂，求其值其中D是由曲線y=4x2與y=9x2在第一象限所圍成的區(qū)域 解：設(shè)則 .所以.5. 計算解：由第四節(jié)例2以及是偶函數(shù)，可知.6. 求由曲面z=0及z=4-x2-y2所圍空間立體的體積解：曲面z=0和z=4-x2-y2的交線為x2+y2 =4.因此，所圍空間立體的體積為： .7. 已知曲線y=lnx及過此曲線上點(e，1）的切線(1) 求由曲線y=lnx，直線和y=0所圍成的平面圖形D的面積；(2) 求以平面圖形D為底，以曲面z=ey為頂?shù)那斨w的體積解：(1) .(2) .（B）1. 交換積分次序： (1) ； （2）； (3) ； (4) .解：(1) .(2) .(3) .(4) .2. 計算積分.解： .3. 計算積分.解： 令,則原式 .4. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間上連續(xù)，且，求.解：設(shè).5. 計算，其中D是由直線y=0,y=1及雙曲線x2y2=1所圍成的閉區(qū)域.解：.6. 計算.解：.7. 證明，其中n為大于1的正整數(shù).證：習(xí)題9-11. 判定下列級數(shù)的收斂性：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ; (6) 解：（1），則，級數(shù)發(fā)散。（2）由于，因此原級數(shù)是調(diào)和級數(shù)去掉前面三項所得的級數(shù)，而在一個級數(shù)中增加或刪去有限項不改變級數(shù)的斂散性，所以原級數(shù)發(fā)散。（3），則，級數(shù)發(fā)散。（4）因而不存在，級數(shù)發(fā)散。（5）級數(shù)通項為，由于，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散。（6）級數(shù)通項為，而不存在，級數(shù)發(fā)散。2. 判別下列級數(shù)的收斂性，若收斂則求其和：(1) ； (2) ;(3) ; (4) 解：（1）因為所以該級數(shù)的和為即（2）由于，則所以該級數(shù)的和為即（3）級數(shù)的通項為，由于，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，所以原級數(shù)發(fā)散。（4）由于因而不存在，原級數(shù)發(fā)散。習(xí)題9-21. 判定下列正項級數(shù)的斂散性：(1) ; (2) ； (3) (a0); (4) ；(5) ； (6) ; (7) ; (8) ；(9) ； (10) ; (11) ; (12) 解：（1）由于，而級數(shù)收斂，由比較判別法知收斂。（2）因為，而p-級數(shù)收斂，由比較判別法的極限形式知收斂。（3）若，通項，級數(shù)顯然發(fā)散；若，有，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，級數(shù)發(fā)散；若，有，而級數(shù)收斂，由比較判別法知收斂。（4）因為，而p-級數(shù)收斂，由比較判別法的極限形式知收斂。（5）通項，則，所以由比值判別法知，級數(shù)發(fā)散。（6）通項，則，所以由比值判別法知，級數(shù)發(fā)散。（7）通項，則，所以由比值判別法知，級數(shù)收斂。（8）通項，則，所以由比值判別法知，級數(shù)收斂。（9）通項，則，所以由比值判別法知，級數(shù)收斂。（10）通項，則，所以由根值判別法知，級數(shù)收斂。（11）由于，而級數(shù)收斂，由比較判別法推論知級數(shù)收斂。（12）對于級數(shù)，因為，由比值判別法知級數(shù)收斂；由于，而級數(shù)收斂，由比較判別法知，級數(shù)收斂。習(xí)題9-31. 判定下列級數(shù)是否收斂，如果是收斂級數(shù)，指出其是絕對收斂還是條件收斂：(1) ; (2) ; (3) ;() ; (5) ； (6) ;(7) ; (8) (0 x)解：（1）這是一個交錯級數(shù)，,且，由萊布尼茲判別法知收斂但發(fā)散，故條件收斂。（2）由于，而級數(shù)收斂，所以收斂，故絕對收斂。（3）由于，而級數(shù)收斂，所以收斂，故絕對收斂。（4）由于，而級數(shù)收斂，所以收斂，故絕對收斂。（5）由于級數(shù)和級數(shù)都絕對收斂，所以絕對收斂。（6）當(dāng)n充分大時，除去級數(shù)前面有限項，這是一個交錯級數(shù)，,且有，由萊布尼茲判別法知收斂但發(fā)散（），故條件收斂。（7）由于，而級數(shù)收斂，所以收斂，故絕對收斂。（8）因為，當(dāng)時，故得到所以級數(shù)的部分和數(shù)列當(dāng)時有界，而數(shù)列單調(diào)遞減趨于零，由狄利克雷判別法推得級數(shù)收斂。2. 設(shè)級數(shù)及都收斂，證明級數(shù)及也都收斂證：由于級數(shù)及都收斂，則級數(shù)收斂。因為，所以由比較判別法知級數(shù)收斂，即級數(shù)絕對收斂。習(xí)題9-41. 求下列冪級數(shù)的收斂域：(1) ； (2) ；(3) ； (4) (5) ； (6) 解：（1）因為，故收斂半徑當(dāng)時，原級數(shù)顯然發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂域為。（2）因為，故收斂半徑。當(dāng)時，原級數(shù)為，由于，即，級數(shù)不滿足級數(shù)收斂的必要條件，因此原級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，原級數(shù)為，同樣不滿足級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂域為。（3）因為，故收斂半徑。當(dāng)時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)收斂；當(dāng)時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。（4）令，則，于是，當(dāng)，即時，原級數(shù)絕對收斂；當(dāng)，即時，原級數(shù)發(fā)散；故原級數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)收斂；當(dāng)時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。（5）因為，故收斂半徑。當(dāng)時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。（6）因為，故收斂半徑。當(dāng)時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，原級數(shù)為，此時原級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。2. 求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：(1) ； (2) 解：（1）所給冪級數(shù)收斂半徑為，收斂區(qū)間為。因為，在區(qū)間內(nèi)成立，則所以。（2）3. 求下列級數(shù)的和：(1) ； (2) 解：（1）由于則。所以（2）因為所以。習(xí)題9-51. 將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)：(1) ; (2) ； (3) ;(4) ； (5) (6)解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）因為；而所以2. 將下列函數(shù)在指定點處展開成冪級數(shù)，并求其收斂區(qū)間：(1) ，在x0； (2) cosx, 在x0=;(3) ，在x0=1; (4) ， 在x0解：（1）；（2）（3）（4）因為；所以習(xí)題9-61利用冪級數(shù)的展開式求下列各數(shù)的近似值：(1) (誤差不超過0.0001)； (2) ln3 (誤差不超過10-4)；(3) (誤差不超過10-5).解：（1）由二項展開式，取可得.取前兩項的和作為的近似值，其誤差為故取近似值為（2）由于.令, 解出， 以代入上面的展開式, 得，取前六項作為的近似值，則誤差為所以。（3）由于；則，取前兩項的和作為的近似值，其誤差為，所以。2. 計算的近似值，精確到10. 解：由于，則取前三項的和作為近似值，則其誤差為，故所求近似值為。3假定銀行的年存款利率為 5%，若以年復(fù)利計算利息，某公司應(yīng)在銀行中一次存入多少資金？才能保證從存入之日起，以后每年能從銀行提取300萬元作為職工的福利直至永遠(yuǎn). 解： 第一次福利發(fā)放在創(chuàng)立之日，第一次所需要籌集的資金(單位：百萬元)=3；第二次福利發(fā)放在一年后，第二次所需要籌集的資金(單位：百萬元) ；第三次福利發(fā)放在二年后， 第三次所需要籌集的資金(單位：百萬元) ；一直延續(xù)下去，則總所需要籌集的資金(單位：百萬元)=這是一個公比為的等比級數(shù)，收斂于。因此，以年復(fù)利計算利息時，該公司需要在銀行中一次存入6300萬元資金。復(fù)習(xí)題9（A）1. 判別下列正項級數(shù)的斂散性：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）由于，而調(diào)和級數(shù)發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散；（2）由于，而調(diào)和級數(shù)發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散；（3）由于，而級數(shù)收斂，所以原級數(shù)收斂；（4）因為，所以原級數(shù)收斂。2. 設(shè)正項級數(shù)都收斂，試證明級數(shù)也收斂.證：由于正項級數(shù)收斂，由級數(shù)收斂的必要條件有，那么存在充分大的正整數(shù)，使得當(dāng)時，成立，于是當(dāng)時，。則由比較判別法的推論，可知級數(shù)也收斂。同理，可證得級數(shù)也收斂。由于，而級數(shù)收斂，因此級數(shù)絕對收斂。因為，等式左邊三個級數(shù)都收斂，所以級數(shù)收斂。3. 判別下列級數(shù):是絕對收斂?條件收斂?還是發(fā)散？（1）； （2）； （3）； （4）.解：（1）這是一個交錯級數(shù)，,且，由萊布尼茲判別法知收斂但發(fā)散，故條件收斂。（2）因為，所以原級數(shù)絕對收斂；（3）因為不存在，即原級數(shù)不滿足級數(shù)收斂的必要條件，故原級數(shù)發(fā)散；（4）因為，所以原級數(shù)絕對收斂；4. 求下列冪級數(shù)的收斂域：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.解：（1）由于，則原級數(shù)收斂半徑為，顯然原級數(shù)只在收斂；（2）由于，則原級數(shù)收斂半徑為，顯然原級數(shù)的收斂域為；（3）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。（4）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。（5）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時，原級數(shù)為，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，原級數(shù)為，級數(shù)發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂域為。（6）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)收斂；當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。5. 求下列冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)：（1）； （2）； （3）； （4）.解：（1）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂域為。級數(shù)的和為（2）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂域為。級數(shù)的和為（3）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂域為。級數(shù)的和為（4）由于，則原級數(shù)收斂半徑為。當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)收斂；當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)收斂。因此，原級數(shù)的收斂域為。由于，而所以6. 將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.解：（1）；（2）；（3）（4）（5）（6）7. 求下列函數(shù)在指定點處的冪級數(shù)展開式：（1）； （2）. 解：（1）（2）(B)1. 討論級數(shù)的斂散性.解：由于，由比值判別法知，原級數(shù)收斂。2. 已知正項級數(shù)收斂，證明級數(shù)也收斂.反之，若收斂，是否一定收斂？證：由于正項級數(shù)收斂，由級數(shù)收斂的必要條件有，那么存在充分大的正整數(shù)，使得當(dāng)時，成立，于是當(dāng)時，。則由比較判別法的推論，可知級數(shù)也收斂。 反之，若收斂，則不一定收斂。例如，級數(shù)收斂，但調(diào)和級數(shù)發(fā)散。3. 已知級數(shù)收斂，證明級數(shù)絕對收斂.證：由柯西不等式，有，亦即，令，分別是級數(shù)、和的部分和。由上式，可知成立。由于級數(shù)和收斂，那么部分和數(shù)列和收斂，因此數(shù)列和有界。而，所以正項級數(shù)的部分和數(shù)列單調(diào)有界。由數(shù)列的單調(diào)有界定理，可知極限存在，所以級數(shù)收斂，亦即級數(shù)絕對收斂。4. 求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域.解：原級數(shù)，則，級數(shù)的收率半徑為。 當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)收斂；當(dāng)時，原級數(shù)為，此時級數(shù)發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂半徑為，收斂域為。5. 將函數(shù)展開為x的冪級數(shù)，并求其收斂域.解：由于，而；所以6. 利用冪級數(shù)展開式求下列級數(shù)的和：（1）； （2）.解：（1）由于；所以（2）由于所以7. 利用級數(shù)斂散性，證明，其中，c1是常數(shù)。證：由于；則對于任意常數(shù)，級數(shù)收斂。由級數(shù)收斂的必要條件，可知。8. 設(shè)數(shù)列有界，證明級數(shù)收斂. 證：由于數(shù)列有界，則存在正數(shù)，使得對于數(shù)列的任意項，成立，亦即。那么對于任意，成立；由于是常數(shù)，顯然級數(shù)收斂。因此，由比較判別法可知級數(shù)收斂。習(xí)題10-11. 指出下列方程的階數(shù)： (1) (2)(3) (4)解：(1)三階(2)二階(3)一階(4)一階2. 驗證下列給出的函數(shù)是否為相應(yīng)方程的解：(1), (2), (3)， (4)， 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可； (3)是，因為 ，滿足； (4)是，代入，顯然滿足.3. 驗證:函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt(k0)是微分方程的通解.解：滿足，所以是解，又因為含有兩個任意常數(shù)，且方程是二階的，故是通解.4. 已知函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt(k0)是微分方程的通解,求滿足初始條件x| t=0 =2, x| t=0 =0的特解.解：上題可知是微分方程通解，且代入初值條件，得，所以特解為習(xí)題10-21. 求下列微分方程的通解：(1)； (2) ；(3) ；(4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) 解：(1)這是可分離變量方程，分離變量得兩端分別積分：這就是方程通解 .(2)這是可分離變量方程，分離變量得兩端分別積分：即這就是方程通解 .(3)這是可分離變量方程，分離變量得兩端分別積分：即這就是方程通解 .(4)這是可分離變量方程，分離變量得兩端分別積分：即這就是方程通解 .(5)這是齊次方程，令則代入原方程并整理兩端分別積分：即這就是方程通解 .(6)這是齊次方程，化簡得令則代入原方程并整理，兩端分別積分：即這就是方程通解 .(7)這是齊次方程，化簡得令則代入原方程并整理，兩端分別積分：即這就是方程通解 . (8)這是特殊方程，用換元法，令則代入原方程并整理，兩端分別積分：即這就是方程通解 .2. 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：(1) ， ；(2) ， ；(3) ，；(4) ，解(1)分離變量：兩端分別積分：解得：將代入通解中，求得故所求特解為(2)分離變量：兩端分別積分：將代入通解中，求得故所求特解為(3)這是齊次方程,令則代入原方程并整理兩邊積分得即變量回代得所求通解由代入通解，得，故所求初值問題的解為3. 一曲線在兩坐標(biāo)軸間的任一切線線段均被切點所平分，且通過點(1,2)，求該曲線方程.解：設(shè)曲線方程為：由題意可得方程: ,且，解分離變量方程得：,由得，故所求曲線為：.4. 物體冷卻的數(shù)學(xué)模型在多個領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.例如，警方破案時，法醫(yī)要根據(jù)尸體當(dāng)時的溫度推斷這個人的死亡時間，就可以利用這個模型來計算解決.現(xiàn)設(shè)一物體的溫度為100，將其放置在空氣溫度為20的環(huán)境中冷卻.試求物體溫度隨時間t的變化規(guī)律.解 設(shè)物體的溫度與時間的函數(shù)關(guān)系為建立該問題的數(shù)學(xué)模型: 其中為比例常數(shù).下面來求上述初值問題的解.分離變量,得兩邊積分得(其中為任意常數(shù))，即 (其中).從而再將條件(2)代入,得于是，所求規(guī)律為 習(xí)題10-31. 求下列微分方程的通解：(1) ； (2) ；(3) ；(4) ；(5) ； (6) 解 (1) 這是一階線性非齊次方程，其中首先求出 (積分后，不再加任意常數(shù))，然后用公式(10-6)可得所求通解為 (2) 這是一階線性非齊次方程，其中首先求出 (積分后，不再加任意常數(shù))，然后用公式(10-6)可得所求通解為(3) 這是一階線性非齊次方程，其中首先求出 (積分后，不再加任意常數(shù))，然后用公式(10-6)可得所求通解為(4)將x看作y的函數(shù)，即對進(jìn)行求解，可將原方程化為未知函數(shù)為的線性方程，于是，首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解為 .(5)將x看作y的函數(shù)，即對進(jìn)行求解，可將原方程化為未知函數(shù)為的線性方程，于是，首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解為 .(6)令則代入原方程并整理兩邊積分得變量回代得所求通解2. 求解下列初值問題：(1) ，；(2)，；(3) ，；(4) ，.解(1)這是一個齊次線性方程,整理得，其通解為，將初始條件代入上式，可得，故所求特解為(2) 這是一階線性非齊次方程，其中首先求出 (積分后，不再加任意常數(shù))，然后用公式(10-6)可得所求通解為將初始條件代入上式，可得，故所求特解為(3)將x看作y的函數(shù)，即對進(jìn)行求解，可將原方程化為未知函數(shù)為的線性方程，于是，首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解為 .將初始條件代入上式，可得，故所求特解為(4)這是伯努利方程，以除方程的兩端,得即令則上述方程變?yōu)榻獯司€性微分方程(過程略)，可得，得所求通解為，將初始條件代入上式，可得，故所求特解為3. 通過適當(dāng)變換求下列微分方程的通解：(1) ；(2) .解(1)令則原方程化為.分離變量,得 ，兩端積分得以代入上式,得通解.(2)這是伯努利方程，其中，則有公式得通解 4. 求過原點的曲線，使其每一點的切線斜率等于橫坐標(biāo)的2倍與縱坐標(biāo)之和.解：由題意可得方程，這是一階非齊次線性方程，其中，然后用公式(10-6)可得所求通解為.習(xí)題10-41. 求下列微分方程的通解：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) 解：(1) (2) , (3) 該方程是不顯含y的方程，令，則.原方程化為一階方程分離變量，得.兩邊積分得: 再積分一次即得原方程的通解為(4) 該方程是不顯含y的方程，令，則.原方程化為一階方程整理，得，這是一階非齊次線性方程，解得再積分一次即得原方程的通解為(5)該方程是不顯含x的方程，令，則,原方程化為分離變量得兩邊積分得：再由，解得(6)該方程是不顯含x的方程，令，則,原方程化為得解得：可解得通解為：2. 求解下列初值問題：(1) ,；(2) ；(3) ，.解(1)相繼積分三次得出:，以代入后可得出，于是所求特解為(2)令代入方程并整理,有這是一階線性非齊次方程，代入公式，得由條件得所以兩端再積分,得又由條件得于是所求初值問題的解為(3)令由代入方程并化簡得上式為可分離變量的一階微分方程，解得再分離變量,得由初始條件得出從而得再兩邊積分,得, ，得從而所求特解為.3. 已知平面曲線的曲率為,求具有常曲率的曲線方程.解：由題意得方程，令代入方程,有即解之，得習(xí)題10-51.下列函數(shù)組在其定義區(qū)間內(nèi)哪些是線性無關(guān)的？(