《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》(謝永欽)課后習(xí)題答案.doc

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案習(xí)題 一4.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）.【解】 P（）=1-P（AB）=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.66.設(shè)A，B，C為三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件發(fā)生的概率.【解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=+-=8.對(duì)一個(gè)五人學(xué)習(xí)小組考慮生日問(wèn)題：（1） 求五個(gè)人的生日都在星期日的概率； （2） 求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五個(gè)人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 設(shè)A1=五個(gè)人的生日都在星期日，基本事件總數(shù)為75，有利事件僅1個(gè)，故 P（A1）=（）（亦可用獨(dú)立性求解，下同）（2） 設(shè)A2=五個(gè)人生日都不在星期日，有利事件數(shù)為65，故P（A2）=()5(3) 設(shè)A3=五個(gè)人的生日不都在星期日 P（A3）=1-P(A1)=1-()510.一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機(jī)地取出n件（n30.如圖陰影部分所示. 22.從（0，1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求：（1） 兩個(gè)數(shù)之和小于的概率； （2） 兩個(gè)數(shù)之積小于的概率.【解】 設(shè)兩數(shù)為x,y，則0 x,y1. （1） x+y. (2) xy=. 23.設(shè)P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（BA）【解】 24.在一個(gè)盒中裝有15個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球，在第一次比賽中任意取出3個(gè)球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個(gè)球，求第二次取出的3個(gè)球均為新球的概率.【解】 設(shè)Ai=第一次取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球，i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均為新球由全概率公式，有 25. 按以往概率論考試結(jié)果分析，努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有90%的可能考試不及格.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有80%的人是努力學(xué)習(xí)的，試問(wèn)：（1）考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人？ （2）考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人？【解】設(shè)A=被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的，則=被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的.由題意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又設(shè)B=被調(diào)查學(xué)生考試及格.由題意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由貝葉斯公式知 （1）即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%(2) 即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.26. 將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來(lái)，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，而B(niǎo)被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為21.若接收站收到的信息是A，試問(wèn)原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】 設(shè)A=原發(fā)信息是A，則=原發(fā)信息是B C=收到信息是A，則=收到信息是B由貝葉斯公式，得 27.在已有兩個(gè)球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球?yàn)榘浊?，試求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的顏色只有黑、白兩種）【解】設(shè)Ai=箱中原有i個(gè)白球（i=0,1,2），由題設(shè)條件知P（Ai）=,i=0,1,2.又設(shè)B=抽出一球?yàn)榘浊?由貝葉斯公式知28.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.02，一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.05，求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】 設(shè)A=產(chǎn)品確為合格品，B=產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品由貝葉斯公式得 29.某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為三類：“謹(jǐn)慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計(jì)資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30；如果“謹(jǐn)慎的”被保險(xiǎn)人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，現(xiàn)知某被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？【解】 設(shè)A=該客戶是“謹(jǐn)慎的”，B=該客戶是“一般的”， C=該客戶是“冒失的”，D=該客戶在一年內(nèi)出了事故則由貝葉斯公式得 30.加工某一零件需要經(jīng)過(guò)四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互獨(dú)立的，求加工出來(lái)的零件的次品率.【解】設(shè)Ai=第i道工序出次品（i=1,2,3,4）. 31.設(shè)每次射擊的命中率為0.2，問(wèn)至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?【解】設(shè)必須進(jìn)行n次獨(dú)立射擊. 即為 故 n11至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊.32.證明：若P（AB）=P(A)，則A，B相互獨(dú)立.【證】 即 亦即 因此 故A與B相互獨(dú)立.33.三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為，求將此密碼破譯出的概率.【解】 設(shè)Ai=第i人能破譯（i=1,2,3），則 34.甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7，若只有一人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率.【解】設(shè)A=飛機(jī)被擊落，Bi=恰有i人擊中飛機(jī)，i=0,1,2,3由全概率公式，得 =(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7=0.45835.已知某種疾病患者的痊愈率為25%，為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服用，且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，反之則認(rèn)為無(wú)效，求：（1） 雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%，但通過(guò)試驗(yàn)被否定的概率. （2） 新藥完全無(wú)效，但通過(guò)試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率.【解】（1） (2) 36.一架升降機(jī)開(kāi)始時(shí)有6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率： （1） A=“某指定的一層有兩位乘客離開(kāi)”； （2） B=“沒(méi)有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開(kāi)”； （3） C=“恰有兩位乘客在同一層離開(kāi)”； （4） D=“至少有兩位乘客在同一層離開(kāi)”.【解】 由于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開(kāi)，故所有可能結(jié)果為106種. （1） ，也可由6重貝努里模型： （2） 6個(gè)人在十層中任意六層離開(kāi)，故 （3） 由于沒(méi)有規(guī)定在哪一層離開(kāi)，故可在十層中的任一層離開(kāi)，有種可能結(jié)果，再?gòu)牧酥羞x二人在該層離開(kāi)，有種離開(kāi)方式.其余4人中不能再有兩人同時(shí)離開(kāi)的情況，因此可包含以下三種離開(kāi)方式：4人中有3個(gè)人在同一層離開(kāi)，另一人在其余8層中任一層離開(kāi)，共有種可能結(jié)果；4人同時(shí)離開(kāi)，有種可能結(jié)果；4個(gè)人都不在同一層離開(kāi)，有種可能結(jié)果，故 （4） D=.故 37. n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n個(gè)人并排坐在長(zhǎng)桌的一邊，求上述事件的概率.【解】 （1） (2) (3) 38.將線段0，a任意折成三折，試求這三折線段能構(gòu)成三角形的概率【解】 設(shè)這三段長(zhǎng)分別為x,y,a-x-y.則基本事件集為由 0 xa,0ya,0a-x-y乙反）由對(duì)稱性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反） 因此P(甲正乙正)=46.證明“確定的原則”（Sure-thing）：若P（A|C）P(B|C),P(A|)P(B|)，則P（A）P(B).【證】由P（A|C）P(B|C),得 即有 同理由 得 故 47.一列火車共有n節(jié)車廂，有k(kn)個(gè)旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個(gè)旅客的概率.【解】 設(shè)Ai=第i節(jié)車廂是空的，（i=1,n）,則 其中i1,i2,in-1是1，2，n中的任n-1個(gè). 顯然n節(jié)車廂全空的概率是零，于是 故所求概率為 48.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中，某一事件A出現(xiàn)的概率為0.試證明：不論0如何小，只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則A遲早會(huì)出現(xiàn)的概率為1.【證】在前n次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為 49.袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽）.在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國(guó)徽.試問(wèn)這只硬幣是正品的概率是多少？【解】設(shè)A=投擲硬幣r次都得到國(guó)徽 B=這只硬幣為正品由題知 則由貝葉斯公式知50.巴拿赫（Banach）火柴盒問(wèn)題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時(shí)另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時(shí)（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以B1、B2記火柴取自不同兩盒的事件，則有.（1）發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r根，說(shuō)明已取了2n-r次，設(shè)n次取自B1盒（已空），n-r次取自B2盒，第2n-r+1次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。把取2n-r次火柴視作2n-r重貝努里試驗(yàn)，則所求概率為 式中2反映B1與B2盒的對(duì)稱性（即也可以是B2盒先取空）.（2） 前2n-r-1次取火柴，有n-1次取自B1盒，n-r次取自B2盒，第2n-r次取自B1盒，故概率為 51.求n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】 設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.則由 以上兩式相減得所求概率為 若要求在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得 .52.設(shè)A，B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求P（+B）（A+B）（+）（A+）的值.【解】因?yàn)椋ˋB）（）=AB （B）（A）=AB所求 故所求值為0.53.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A，B和C滿足條件： ABC=F，P(A)=P(B)=P(C) 1/2，且P（ABC）=9/16，求P（A）.【解】由故或,按題設(shè)P（A）,故P（A）=.54.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，求P（A）.【解】 故 故 由A,B的獨(dú)立性，及、式有故 故或（舍去） 即P（A）=.55.隨機(jī)地向半圓0y0,P(A|B)=1,試比較P(AB)與P(A)的大小. (2006研考)解：因?yàn)?所以.習(xí)題二1.一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3只球中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布律.【解】 故所求分布律為X345P0.10.30.62.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個(gè)數(shù)，求：（1） X的分布律；（2） X的分布函數(shù)并作圖； (3) .【解】 故X的分布律為X012P（2） 當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)（x）=P（Xx）=0 當(dāng)0 x1時(shí)，F(xiàn)（x）=P（Xx）=P(X=0)= 當(dāng)1x2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)= 當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)（x）=P（Xx）=1故X的分布函數(shù) (3) 3.射手向目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行了3次射擊，每次擊中率為0.8，求3次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)的分布律及分布函數(shù)，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù).則X=0，1，2，3. 故X的分布律為X0123P0.0080.0960.3840.512分布函數(shù) 4.（1） 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 PX=k=，其中k=0，1，2，0為常數(shù)，試確定常數(shù)a.（2） 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 PX=k=a/N， k=1，2，N，試確定常數(shù)a.【解】（1） 由分布律的性質(zhì)知 故 (2) 由分布律的性質(zhì)知 即.5.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 兩人投中次數(shù)相等的概率; （2） 甲比乙投中次數(shù)多的概率.【解】分別令X、Y表示甲、乙投中次數(shù)，則Xb（3，0.6）,Yb(3,0.7)(1) + (2) =0.2436.設(shè)某機(jī)場(chǎng)每天有200架飛機(jī)在此降落，任一飛機(jī)在某一時(shí)刻降落的概率設(shè)為0.02，且設(shè)各飛機(jī)降落是相互獨(dú)立的.試問(wèn)該機(jī)場(chǎng)需配備多少條跑道，才能保證某一時(shí)刻飛機(jī)需立即降落而沒(méi)有空閑跑道的概率小于0.01(每條跑道只能允許一架飛機(jī)降落)？【解】設(shè)X為某一時(shí)刻需立即降落的飛機(jī)數(shù)，則Xb(200,0.02)，設(shè)機(jī)場(chǎng)需配備N條跑道，則有 即 利用泊松近似 查表得N9.故機(jī)場(chǎng)至少應(yīng)配備9條跑道.7.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過(guò)，設(shè)每輛車在一天的某時(shí)段出事故的概率為0.0001,在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過(guò)，問(wèn)出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】設(shè)X表示出事故的次數(shù)，則Xb（1000，0.0001） 8.已知在五重貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù)X滿足PX=1=PX=2，求概率PX=4.【解】設(shè)在每次試驗(yàn)中成功的概率為p，則 故 所以 .9.設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)， （1） 進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2） 進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，試求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率.【解】（1） 設(shè)X表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X6（5，0.3） (2) 令Y表示7次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則Yb（7，0.3） 10.某公安局在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時(shí)間間隔起點(diǎn)無(wú)關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）.（1） 求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)沒(méi)收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12時(shí)至下午5時(shí)至少收到1次呼救的概率.【解】（1） (2) 11.設(shè)PX=k=, k=0,1,2 PY=m=, m=0,1,2,3,4 分別為隨機(jī)變量X，Y的概率分布，如果已知PX1=，試求PY1.【解】因?yàn)?，? 而故得 即 從而12.某教科書(shū)出版了2000冊(cè)，因裝訂等原因造成錯(cuò)誤的概率為0.001，試求在這2000冊(cè)書(shū)中恰有5冊(cè)錯(cuò)誤的概率.【解】令X為2000冊(cè)書(shū)中錯(cuò)誤的冊(cè)數(shù)，則Xb(2000,0.001).利用泊松近似計(jì)算, 得 13.進(jìn)行某種試驗(yàn)，成功的概率為，失敗的概率為.以X表示試驗(yàn)首次成功所需試驗(yàn)的次數(shù)，試寫(xiě)出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率.【解】 14.有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn).在一年中每個(gè)人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：（1） 保險(xiǎn)公司虧本的概率; （2） 保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來(lái)考慮.（1） 在1月1日，保險(xiǎn)公司總收入為250012=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則Xb(2500,0.002)，則所求概率為 由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有 (2) P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10000) 即保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率在98%以上 P（保險(xiǎn)公司獲利不少于20000） 即保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元的概率約為62%15.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=Ae-|x|, -x+, 求：（1）A值；（2）P0X1; (3) F(x).【解】（1） 由得 故 . (2) (3) 當(dāng)x0時(shí)， 當(dāng)x0時(shí)， 故 16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為 f(x)=求：（1） 在開(kāi)始150小時(shí)內(nèi)沒(méi)有電子管損壞的概率； （2） 在這段時(shí)間內(nèi)有一只電子管損壞的概率； （3） F（x）.【解】（1） (2) (3) 當(dāng)x100時(shí)F（x）=0 當(dāng)x100時(shí) 故 17.在區(qū)間0，a上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)這質(zhì)點(diǎn)落在0，a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這小區(qū)間長(zhǎng)度成正比例，試求X的分布函數(shù).【解】 由題意知X0,a，密度函數(shù)為 故當(dāng)xa時(shí)，F(xiàn)（x）=1 即分布函數(shù) 18.設(shè)隨機(jī)變量X在2，5上服從均勻分布.現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率.【解】XU2,5，即 故所求概率為 19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分鐘計(jì)）服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過(guò)10分鐘他就離開(kāi).他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，試寫(xiě)出Y的分布律，并求PY1.【解】依題意知，即其密度函數(shù)為 該顧客未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率為 ,即其分布律為 20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時(shí)間X服從N（40，102）；第二條路程較長(zhǎng)，但阻塞少，所需時(shí)間X服從N（50，42）.（1） 若動(dòng)身時(shí)離火車開(kāi)車只有1小時(shí)，問(wèn)應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？ （2） 又若離火車開(kāi)車時(shí)間只有45分鐘，問(wèn)應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1） 若走第一條路，XN（40，102），則 若走第二條路，XN（50，42），則 + 故走第二條路乘上火車的把握大些.（2） 若XN（40，102），則 若XN（50，42），則 故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設(shè)XN（3，22）， （1） 求P2X5，P-4X10，PX2，PX3; （2） 確定c使PXc=PXc.【解】（1） (2) c=322.由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（cm）XN（10.05,0.062）,規(guī)定長(zhǎng)度在10.050.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.【解】 23.一工廠生產(chǎn)的電子管壽命X（小時(shí)）服從正態(tài)分布N（160，2），若要求P120X2000.8，允許最大不超過(guò)多少？【解】 故 24.設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為 F（x）= （1） 求常數(shù)A，B； （2） 求PX2，PX3； （3） 求分布密度f(wàn)（x）.【解】（1）由得 （2） (3) 25.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 f（x）= 求X的分布函數(shù)F（x），并畫(huà)出f（x）及F（x）.【解】當(dāng)x0時(shí)F（x）=0 當(dāng)0 x1時(shí) 當(dāng)1x0; (2) f(x)= 試確定常數(shù)a,b，并求其分布函數(shù)F（x）.【解】（1） 由知 故 即密度函數(shù)為 當(dāng)x0時(shí) 當(dāng)x0時(shí) 故其分布函數(shù) (2) 由 得 b=1 即X的密度函數(shù)為 當(dāng)x0時(shí)F（x）=0 當(dāng)0 x1時(shí)當(dāng)1x0時(shí)， 故 (2)當(dāng)y1時(shí) 當(dāng)y1時(shí)故 (3) 當(dāng)y0時(shí) 當(dāng)y0時(shí)故31.設(shè)隨機(jī)變量XU（0,1），試求：（1） Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)； （2） Z=-2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】（1） 故 當(dāng)時(shí)當(dāng)1ye時(shí) 當(dāng)ye時(shí)即分布函數(shù) 故Y的密度函數(shù)為 （2） 由P（0X0時(shí)，即分布函數(shù) 故Z的密度函數(shù)為 32.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 f(x)= 試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】 當(dāng)y0時(shí)，當(dāng)0y1時(shí)， 當(dāng)y1時(shí)，故Y的密度函數(shù)為 33.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)如下： 試填上(1),(2),(3)項(xiàng).【解】由知填1。 由右連續(xù)性知，故為0。從而亦為0。即 34.同時(shí)擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，求拋擲次數(shù)X的分布律.【解】設(shè)Ai=第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨(dú)立。再設(shè)C=每次拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)。則 故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。35.隨機(jī)數(shù)字序列要多長(zhǎng)才能使數(shù)字0至少出現(xiàn)一次的概率不小于0.9?【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含n個(gè)數(shù)字，則 Xb(n,0.1) 即 得 n22 即隨機(jī)數(shù)字序列至少要有22個(gè)數(shù)字。36.已知F（x）= 則F（x）是（ ）隨機(jī)變量的分布函數(shù). （A） 連續(xù)型； （B）離散型； （C） 非連續(xù)亦非離散型.【解】因?yàn)镕（x）在（-,+）上單調(diào)不減右連續(xù)，且 ,所以F（x）是一個(gè)分布函數(shù)。 但是F（x）在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F（x）是非連續(xù)亦非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。選（C）37.設(shè)在區(qū)間a,b上，隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx，而在a,b外，f(x)=0，則區(qū)間 a,b等于（ ）(A) 0,/2; (B) 0,; (C) -/2,0; (D) 0,.【解】在上sinx0，且.故f(x)是密度函數(shù)。 在上.故f(x)不是密度函數(shù)。在上，故f(x)不是密度函數(shù)。 在上，當(dāng)時(shí)，sinx0）=1，故01-e-2X1，即P（0Y1）=1 當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y（y）=0當(dāng)y1時(shí)，F(xiàn)Y（y）=1 當(dāng)0y1時(shí)， 即Y的密度函數(shù)為 即YU（0，1）41.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 f(x)= 若k使得PXk=2/3，求k的取值范圍. (2000研考)【解】由P（Xk）=知P（Xk）= 若k0,P(Xk)=0 若0k1,P(Xk)= 當(dāng)k=1時(shí)P（Xk）= 若1k3時(shí)P（Xk）= 若3k6，則P（X6,則P（Xk）=1故只有當(dāng)1k3時(shí)滿足P（Xk）=.42.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 F(x)= 求X的概率分布. （1991研考）【解】由離散型隨機(jī)變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系，可知X的概率分布為X-113P0.40.40.243.設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等.若已知A至少出現(xiàn)一次的概率為19/27，求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P（A）=p,則 Xb(3,p)由P（X1）=知P（X=0）=（1-p）3= 故p=44.若隨機(jī)變量X在（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實(shí)根的概率是多少？ 【解】 45.若隨機(jī)變量XN（2，2），且P2X4=0.3，則 PX0= . 【解】故 因此 46.假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.7可以直接出廠；以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(n2)臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立）.求（1） 全部能出廠的概率；（2） 其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率；（3）其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率. 【解】設(shè)A=需進(jìn)一步調(diào)試，B=儀器能出廠，則=能直接出廠，AB=經(jīng)調(diào)試后能出廠由題意知B=AB，且 令X為新生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，則X6（n，0.94）, 故 47.某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?2分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率.【解】設(shè)X為考生的外語(yǔ)成績(jī)，則XN（72，2） 故 查表知 ,即=12從而XN（72，122） 故 48.在電源電壓不超過(guò)200V、200V240V和超過(guò)240V三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2（假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N（220，252）.試求：（1） 該電子元件損壞的概率; (2) 該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200240V的概率【解】設(shè)A1=電壓不超過(guò)200V，A2=電壓在200240V， A3=電壓超過(guò)240V，B=元件損壞。由XN（220，252）知 由全概率公式有 由貝葉斯公式有 49.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間（1，2）上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度f(wàn)Y(y).【解】 因?yàn)镻（1X2）=1,故P（e2Ye4）=1 當(dāng)ye2時(shí)FY（y）=P(Yy)=0. 當(dāng)e2y1時(shí)，即 故 51.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)=, 求Y=1-的密度函數(shù)fY(y). 【解】 故 52.假設(shè)一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N（t）服從參數(shù)為t的泊松分布.（1） 求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布；（2） 求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作8小時(shí)的情形下，再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.【解】（1） 當(dāng)tt與N(t)=0等價(jià)，有 即 即間隔時(shí)間T服從參數(shù)為的指數(shù)分布。 （2） 53.設(shè)隨機(jī)變量X的絕對(duì)值不大于1，PX=-1=1/8，PX=1=1/4.在事件-1X1出現(xiàn)的條件下，X在-1，1內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長(zhǎng)度成正比，試求X的分布函數(shù)F（x）=PXx. (1997研考)【解】顯然當(dāng)x-1時(shí)F（x）=0；而x1時(shí)F（x）=1 由題知 當(dāng)-1x1時(shí)，此時(shí) 當(dāng)x=-1時(shí)， 故X的分布函數(shù) 54. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分N（1,12),Y服從正態(tài)分布N(2,22)，且P|X-1|P|Y-2|1，試比較1與2的大小. 解： 依題意 ，則 ， .因?yàn)?，?， 所以有 ，即.習(xí)題三1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值.試寫(xiě)出X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2紅,2白)=03.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 F（x，y）= 求二維隨機(jī)變量（X，Y）在長(zhǎng)方形域內(nèi)的概率.【解】如圖 題3圖 說(shuō)明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。4.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= 求：（1） 常數(shù)A； （2） 隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)； （3） P0X1，0Y2.【解】（1） 由 得 A=12（2） 由定義，有 (3) 5.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）=（1） 確定常數(shù)k； （2） 求PX1，Y3； （3） 求PX1.5； （4） 求PX+Y4.【解】（1） 由性質(zhì)有 故 （2） (3) (4) 題5圖6.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY（y）= 求：（1） X與Y的聯(lián)合分布密度；（2） PYX.題6圖【解】（1） 因X在（0，0.2）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為 而 所以 (2) 7.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 F（x，y）= 求（X，Y）的聯(lián)合分布密度.【解】8.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求邊緣概率密度.【解】 題8圖 題9圖9.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求邊緣概率密度.【解】 題10圖10.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= （1） 試確定常數(shù)c； （2） 求邊緣概率密度.【解】（1） 得.(2) 11.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求條件概率密度f(wàn)YX（yx），fXY（xy）. 題11圖【解】 所以 12.袋中有五個(gè)號(hào)碼1，2，3，4，5，從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為X，最大的號(hào)碼為Y.（1） 求X與Y的聯(lián)合概率分布；（2） X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1） X與Y的聯(lián)合分布律如下表YX345120300(2) 因 故X與Y不獨(dú)立13.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布； （2） X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因 故X與Y不獨(dú)立.14.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為fY（y）=（1）求X和Y的聯(lián)合概率密度； （2） 設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實(shí)根的概率.【解】（1） 因 故 題14圖(2) 方程有實(shí)根的條件是 故 X2Y，從而方程有實(shí)根的概率為： 15.設(shè)X和Y分別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），并設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率密度為f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù) (1) 當(dāng)z0時(shí)，（2） 當(dāng)0z1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)x=1000時(shí),y=）(如圖a) 題15圖(3) 當(dāng)z1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)y=103時(shí)，x=103z）（如圖b） 即 故 16.設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，202）分布.隨機(jī)地選取4 只，求其中沒(méi)有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則XiN（160，202），從而 17.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為 PX=k=p（k），k=0，1，2， PY=r=q（r），r=0，1，2，.證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為 PZ=i=，i=0，1，2，.【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)， 所以 于是 18.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布.證明Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項(xiàng)分布.【證明】方法一：X+Y可能取值為0，1，2，2n. 方法二：設(shè)1,2,n;1,2,，n均服從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為p），則 X=1+2+n，Y=1+2+n,X+Y=1+2+n+1+2+n, 所以，X+Y服從參數(shù)為（2n,p)的二項(xiàng)分布.20.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X，Y）在屏幕上服從均勻分布.（1） 求PY0YX；（2） 設(shè)M