第五版運籌學基礎與應用大題模擬試題及答案.doc

計算題一1. 下列線性規(guī)劃問題化為標準型。(10分) 滿足 2. 寫出下列問題的對偶問題 (10分)滿足 3. 用最小元素法求下列運輸問題的一個初始基本可行解(10分) 4某公司有資金10萬元，若投資用于項目問應如何分配投資數(shù)額才能使總收益最大？(15分)5 求圖中所示網(wǎng)絡中的最短路。（15分） 計算題二1、某工廠擁有A,B,C三種類型的設備，生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品在生產(chǎn)中需要使用的機時數(shù)，每件產(chǎn)品可以獲得的利潤，以及三種設備可利用的機時數(shù)見下表：求：（1）線性規(guī)劃模型；（5分）（2）利用單純形法求最優(yōu)解；（15分）4. 如圖所示的單行線交通網(wǎng)，每個弧旁邊的數(shù)字表示這條單行線的長度。現(xiàn)在有一個人要從出發(fā)，經(jīng)過這個交通網(wǎng)到達，要尋求使總路程最短的線路。（15分）5. 某項工程有三個設計方案。據(jù)現(xiàn)有條件，這些方案不能按期完成的概率分別為0.5,0.7,0.9,即三個方案均完不成的概率為0.50.70.9=0.315。為使這三個方案中至少完成一個的概率盡可能大，決定追加2萬元資金。當使用追加投資后，上述方案完不成的概率見下表，問應如何分配追加投資，才能使其中至少一個方案完成的概率為最大。(15分) 追加投資（萬元）各方案完不成的概率1230120.500.300.250.700.500.300.900.700.40計算題三1、某工廠要制作100套專用鋼架，每套鋼架需要用長為2.9m , 2.1m , 1.5m的圓鋼各一根。已知原料每根長7.4m ，現(xiàn)考慮應如何下料，可使所用的材料最省？ 產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙設備能力/h設備A3265設備B2140設備C0375利潤/(元/件)15002500求：（1）寫出線性規(guī)劃模型（10分） （2）將上述模型化為標準型（5分）2、求解下列線性規(guī)劃問題，并根據(jù)最優(yōu)單純形法表中的檢驗數(shù)，給出其對偶問題的最優(yōu)解。（15分） 滿足 3 斷下表中方案是否可作為運輸問題的初始方案，為什么？（10分） 4. 用Dijkstra算法計算下列有向圖的最短路。（15分）5某集團公司擬將6千萬資金用于改造擴建所屬的A、B、C三個企業(yè)。每個企業(yè)的利潤增長額與所分配到的投資額有關，各企業(yè)在獲得不同的投資額時所能增加的利潤如下表所示。集團公司考慮要給各企業(yè)都投資。問應如何分配這些資金可使公司總的利潤增長額最大？（15分） 計算題答案一1、 max(-z)= 2、 寫出對偶問題maxW= 3、解： 4解：狀態(tài)變量為第k階段初擁有的可以分配給第k到底3個項目的資金額；決策變量為決定給第k個項目的資金額；狀態(tài)轉移方程為；最優(yōu)指標函數(shù)表示第k階段初始狀態(tài)為時，從第k到第3個項目所獲得的最大收益，即為所求的總收益。遞推方程為： 當k=3時有 當時，取得極大值2，即： 當k=2時有：令 用經(jīng)典解析方法求其極值點。由 解得： 而 所以 是極小值點。極大值點可能在0，端點取得： ， 當時，解得 當時，此時，當時，此時，當k=1時， 當 時， 但此時 ，與矛盾，所以舍去。當時，令 由 解得： 而 所以 是極小值點。比較0,10兩個端點 時， 時， 所以再由狀態(tài)轉移方程順推： 因為 所以 ，因此 最優(yōu)投資方案為全部資金用于第3個項目，可獲得最大收益200萬元。5. 解：用Dijkstra算法的步驟如下，P（）0T（）（2，37）第一步：因為，且，是T標號，則修改上個點的T標號分別為： = =所有T標號中，T（）最小，令P（）2第二步：是剛得到的P標號，考察，且，是T標號 =所有T標號中，T（）最小，令P（）5第三步：是剛得到的P標號，考察= 所有T標號中，T（）最小，令P（）6第四步：是剛得到的P標號，考察= 所有T標號中，T（），T（）同時標號，令P（）=P（）7第五步：同各標號點相鄰的未標號只有 至此：所有的T標號全部變?yōu)镻標號，計算結束。故至的最短路為10。計算題答案二1. 解：（1） 滿足 （2）150025000000653210032.5040210104007503001250150025000000153010-2/350152001-1/37.525002501001/3_-625001500000-2500/3-15005101/30-2/9_0500-2/311/9_25002501001/3_-7000000-5000-500最優(yōu)解 最優(yōu)目標值 = 70000元2. 解：此規(guī)劃存在可行解，其對偶規(guī)劃 滿足： 對偶規(guī)劃也存在可行解，因此原規(guī)劃存在最優(yōu)解。3、解：可以作為初始方案。理由如下： （1）滿足產(chǎn)銷平衡（2）有m+n-1個數(shù)值格（3）不存在以數(shù)值格為頂點的避回路4.解： 5.解：此題目等價于求使各方案均完不成的概率最小的策略。把對第k個方案追加投資看著決策過程的第k個階段，k1，2，3。-第k個階段，可給第k, k+1，3個方案追加的投資額。-對第k個方案的投資額階段指標函數(shù),這里的是表中已知的概率值。過程指標函數(shù)以上的k1，2，3用逆序算法求解k3時， 得表： 最優(yōu)策略：1，=1, =0或0，=2, =0，至少有一個方案完成的最大概率為1-0.135=0.865計算題答案三1. 解 分析：利用7.4m 長的圓鋼截成2.9m , 2.1 m ,1.5m 的圓鋼共有如下表所示的8中下料方案。方案毛胚/m方案1方案2方案3方案4方案5方案6方案7方案82.9211100002.1021032101.510130234合計7.37.16.57.46.37.26.66.0剩余料頭0.10.30.901.10.20.81.4設，分別為上面8中方案下料的原材料根數(shù)。 2. 解 ：引入松弛變量將模型化為標準型，經(jīng)求解后得到其最優(yōu)單純型表： 最優(yōu)單純型表基變量 25253/4 1 0 3/4 1/2 5/4 0 1 1/4 1/2-25010/4 0 0 1/2 2由此表可知，原問題的最優(yōu)解，最優(yōu)值為250.表中兩個松弛變量的檢驗數(shù)分別為1/2 , 2 ,由上面的分析可知，對偶問題的最優(yōu)解為。3.解：不能作為初始方案，因為應該有n+m-1=5+4-1=8有數(shù)值的格。 4.解：P（）0T（）（2，37）第一步：因為，且，是T標號，則修改上個點的T標號分別為： = = =所有T標號中，T（）最小，令P（）2第二步：是剛得到的P標號，考察，且，是T標號 =所有T標號中，T（）最小，令P（）3第三步：是剛得到的P標號，考察 所有T標號中，T（）最小，令P（）4第四步：是剛得到的P標號，考察 所有T標號中，T（）最小，令P（）7第五步：是剛得到的P標號，考察 所有T標號中，T（）最小，令P（）8第6步：是剛得到的P標號，考察 T（）P（）13至此：所有的T標號全部變?yōu)镻標號，計算結束。故至的最短路為13。5. 解：第一步：構造求對三個企業(yè)的最有投資分配，使總利潤額最大的動態(tài)規(guī)劃模型。（1） 階段k ：按A、B、C的順序，每投資一個企業(yè)作為一個階段，k1，2，3，4（2） 狀態(tài)變量：投資第k個企業(yè)前的資金數(shù)。（3） 決策變量：對第k個企業(yè)的投資。（4） 決策允許集合：。（5） 狀態(tài)轉移方程：。（6） 階段指標：見表中所示。（7） 動態(tài)規(guī)劃基本方程： （終端條件） 第二步：解動態(tài)規(guī)劃基本方程，求最有值。 k=4, k=3, 計算結果（一）11044044121044+04722077+0731244+04932177073099+094134404144227707319909401414014k=2, , 計算結果（二）21133+477131233+71010121554941333+9121432255+71231310+41451433+1417171，3，42355+914321010+717411313+417k=1, , 計算結果（三）61522+17192242466+1420331111+1021421515+722第三步：回溯求得最優(yōu)策略最有解即最優(yōu)策略?。海?；，；，；返回原問題的解，即企業(yè)A投資4千萬元，企業(yè)B投資1千萬元，企業(yè)C投資1千萬元，最大效益為22千萬元。14