大學物理課件：第四章 剛體的定軸轉動

質心運動定理質心的表示MrmmrmriiiiiiiicMdmrdmdmrrcMxdmdmxdmxcMydmdmydmycMzdmdmzdmzcdxxx1y2yxayaaxdmxcdxyydsdm212xay1dxxay222222dxdxxadxdxxadmdxxaxxc22amsm3axc質心運動定理質點系的動量質心運動定理iiivmpiiivmppdtrdmiidtrdmiiiirmdtdMrmmrmriiiiiiiicciiirMrmdtrdMpcccvMdtrdMcvMpcextaMdtpdF質點系的運動平動（線量）質心描述：轉動（角量）定點轉動：定軸轉動：地球自轉線量和角量物理量物理量線量線量角量角量關系關系位移線位移（長度）s角位移（角度）qds=rdq速度線速度v=ds/dt角速度wdq/dt加速度加速度 a=dv/dt角加速度b=dw/dt動量mvmwrmv力FMMFrvmdtrddtvdmrdtvmrddtLd力矩Pz*OMFrqdMFrMFdFrMqsin0,0iiMF0,0iiMFFFFF角動量定理合外力矩等于角動量的變化率MdtLd2112ttdtMLL沖量距定理 例 一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平面內.一質量為 m 的小球穿在圓環(huán)上,并可在圓環(huán)上滑動.小球開始時靜止于圓環(huán)上的點 A(該點在通過環(huán)心 O 的水平面上),然后從 A 點開始下滑.設小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計.求小球滑到點 B 時對環(huán)心 O 的角動量和角速度.解 小球受重力和支持力作用,支持力的力矩為零,重力矩垂直紙面向里由質點的角動量定理qcosmgRM tLmgRddcosqtLmgRddcosqtmgRLdcosdq考慮到wqw2,ddmRmRLtvqqdcosd32gRmLL得由題設條件積分上式qqq0320dcosdgRmLLL2123)sin2(qgmRL 21)sin2(qwRgw2mRL 質點組的角動量定理內力距和外力距成對的內力，力矩為零角動量守恒iiiFrdtLd外恒量外LFrdtLdiii0上節(jié)課回顧碰撞：彈性，非彈性，部分彈性接觸，非接觸質點系運動的描述平動：質心運動定理轉動：物理量：角量和線量物理定律：質點系的角動量定理，角動量守恒MdtLd2112ttdtMLL角動量定理沖量距定理角速度角速度矢量方向：規(guī)定沿轉軸方向，滿足右手定則大?。航俏灰剖鞘噶棵?？角動量：rvwrvwvmrLO1r矢量有大小，有方向的量是矢量么？繞x軸逆時針90度繞y軸逆時針90繞y軸逆時針90繞x軸逆時針90 xyz開普勒三定律第一定律：每個行星繞太陽軌道是橢圓，太陽處于一個焦點。第二定律：在相等時間內，太陽和運動中的行星的連線（向量半徑）所掃過的面積都是相等的。第三定律：各個行星繞太陽公轉周期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比。rrrrrrS21vrdtrdrdtdS2121.Constpr.ConstdtdSprMvrdtdS2121原子的軌道角動量電磁場的角動量第三章作業(yè)11，14，22，25，33 一 理解描寫剛體定軸轉動的物理量，并掌握角量與線量的關系.二 理解力矩和轉動慣量概念，掌握剛體繞定軸轉動的轉動定理.三 理解角動量概念，掌握質點在平面內運動以及剛體繞定軸轉動情況下的角動量守恒問題.能運用以上規(guī)律分析和解決包括質點和剛體的簡單系統(tǒng)的力學問題.四 理解剛體定軸轉動的轉動動能概念，能在有剛體繞定軸轉動的問題中正確地應用機械能守恒定律剛體的運動特殊類型的質點系：剛體：質點之間的相對位置不發(fā)生改變剛體的運動：平動定點轉動定軸轉動平面平行運動純滾動有滑動的滾動自由運動剛體的動力學力矩轉動慣量剛體運動的描述自由度：確定一個力學系統(tǒng)的位置所需要的獨立坐標數剛體的自由度：自由剛體定點轉動定軸轉動剛體運動的描述物理量角速度角加速度rvwdtdwbdtrddtvdawdtrdrdtdwwrrvrwwbwb切向加速度法向加速度剛體動力學的描述力矩FrMamdtpdFMLb?剛體定軸轉動定律力矩的分解zOkFrzFFqFFFzFrkMzqsin rFMzFFrMzFrFrz剛體定軸轉動單個質點OrmzFqtFnFMbmrmaFttqsinrFM b2tmrrFMb2mrM 剛體定軸轉動定律剛體中質元的合力矩b2iejjjjrmMMOzjmjrjFejFib2iejjjjjjrmMM0jijjiijMMMb)rmMjjjj2e(剛體定軸轉動定律轉動慣量轉動定律b)rmMjjjj2e(2jjjrmImrId2bIM 剛體定軸轉動的對軸的角加速度與它所受的對軸的合外力矩成正比，與剛體對軸的轉動慣量成反比.tqq 0tqdtdqwdtdwb 12ttqqq運運動方程動方程 txx b恒定恒定atVV02021attVxaxVV2202tbww02021ttbwqbqww2202mrIrmIjjjd,22 物理意義：轉動慣性的量度.質量離散分布剛體的轉動慣量2222112rmrmrmIjjj轉動慣性的計算方法 質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量mrrmIjjjd22：質量元md 轉動慣量的大小取決于剛體的質量、形狀及轉軸的位置.注意2 對質量線分布的剛體：質量線密度lmdd2 對質量面分布的剛體：質量面密度Smdd2 對質量體分布的剛體：質量體密度Vmdd：質量元md 質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量mrrmIjjjd22lOO 解 設棒的線密度為 ，取一距離轉軸 OO 為 處的質量元 rrmddlrrI02drd32/02121d2lrrIl231mlrrrmrIddd22 一質量為 、長為 的均勻細長棒，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量.mlrd2l2lOO2121ml如轉軸過端點垂直于棒lmdd22222ddImrrrlrmrr均質薄圓環(huán)的轉動慣量OROR4032d2RrrIRr dr 一質量為 、半徑為 的均勻圓盤，求通過盤中心 O 并與盤面垂直的軸的轉動慣量.mR 解 設圓盤面密度為 ，在盤上取半徑為 ，寬為 的圓環(huán)rrd2 Rm而rrmd2d圓環(huán)質量221mRI 所以rrmrId2dd32圓環(huán)對軸的轉動慣量球體的轉動慣量RrdzdmrdI221dVdmdzrdV2dzrRmdm2334dzzRRmdzrRmdI2223438383RRRRzzRzRRmdzrRmdII53283835324343252mRI 球殼的轉動慣量RrdzdmrdI2dSdmrdzdS2rdzRmdm242dzzRRmdzrRmdI32223222RRdzzRRmdII2222RdsdqqrrdsRmdm242qrdRm2qqqdmRdrRmdI323sin22qRdds qq032sin2dmRdIIqq023cos121cos432mRI232mRI 2mdIICOP 質量為 的剛體，如果對其質心軸的轉動慣量為 ，則對任一與該軸平行，相距為 的轉軸的轉動慣量CImddCOm2221mRmRIP圓盤對P 軸的轉動慣量RmO平行軸定理上節(jié)課回顧角速度，角加速度，角動量剛體的自由度剛體的運動描述剛體定軸轉動的動力學剛體轉動定理:轉動慣量的計算bwzzzzIdtdIdtdLMbwIdtdIdtdLMamdtvdmdtpdFbwIdtdIdtdLMwIL wIL？w1r2rvmrLAv1rALBv2rBLL回轉半徑長棒2121mLI 2mrI 22121Lr Lr63竿子長些還是短些較安全？飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣？垂直軸定理薄板狀剛體CmzxyyxzIII疊加原理321IIII123iiII例子例子:R02Rr求剩余部分對求剩余部分對0軸的轉動慣量軸的轉動慣量.疊加原理疊加原理III小圓大圓大圓質量為大圓質量為M2221mrmrI小圓小圓大圓III223mr222RRMmM4122423RM2323MR221MRI大圓23213MR平行軸定理平行軸定理 質量為 的物體 A 靜止在光滑水平面上，和一質量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為 R、質量為 的圓柱形滑輪 C，并系在另一質量為 的物體 B 上.滑輪與繩索間沒有滑動，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計.問：（1）兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體 B 從BmCm 再求線加速度及繩的張力.靜止落下距離 時，其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設它們間的摩擦力矩為fMyAmABCAmBmCmABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1amFgmBT2BbIRFRFT1T2bRa 解 （1）隔離物體分別對物體A、B 及滑輪作受力分析，取坐標如圖，運用牛頓第二定律 、轉動定律列方程.T2FT1FCPCF2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令 ，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2）B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F（3）考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩 ，轉動定律fM結合（1）中其它方程bIMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BbRa bIMRFRFfT1T2T2FBPBmAPT1FNFAmT2FT1FfM2/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FbIMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BbRa 一長為 質量為 勻質細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉動.由于此豎直放置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉動.試計算細桿轉動到與豎直線成 角時的角加速度和角速度.lmq 解 細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力作用，由轉動定律得NFbqImglsin21式中231mlI qwwqqwwbddddddddtt得qbsin23lg由角加速度的定義qqwwdsin23dlg代入初始條件積分 得)cos1(3qwlgbqImglsin21力矩對時間的積累效應角動量wIL mvp wipjp0,0pwwiiiiiiirmrmL)(2v剛體定軸轉動的角動量定理剛體定軸轉動的角動量定理tItLMd)(dddw1221dwwIItMttwOirimivz 角動量守恒定律是自然界的一個基本定律.內力矩不改變系統(tǒng)的角動量.守 恒條件0M若 不變，不變；若 變，也變，但 不變.IwwwILI剛體定軸轉動的角動量定理1221dwwIItMtt 剛體定軸轉動的角動量守恒定律0M常量wIL，則若討論exinMM 在沖擊等問題中L常量 質量很小長度為l 的均勻細桿,可繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內轉動.當細桿靜止于水平位置時,有一只小蟲以速率 垂直落在距點O為 l/4 處,并背離點O 向細桿的端點A 爬行.設小蟲與細桿的質量均為m.問:欲使細桿以恒定的角速度轉動,小蟲應以多大速率向細桿端點爬行?0vw220)4(1214lmmllmvl0712 vw 解 小蟲與細桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)角動量守恒l0712 vw由角動量定理tItItLMddd)(dddwwtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22wwq即考慮到twq)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlgww 一雜技演員 M 由距水平蹺板高為 h 處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員N 彈了起來.設蹺板是勻質的,長度為l,質量為 ,蹺板可繞中部支撐點C 在豎直平面內轉動,演員的質量均為m.假定演員M落在蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問演員N可彈起多高?ll/2CABMNh 解 碰撞前 M 落在 A點的速度21M)2(ghv 碰撞后的瞬間,M、N具有相同的線速度w2lu m 把M、N和蹺板作為一個系統(tǒng),角動量守恒21M)(2gh vw2lu www22M21121222mllmlmuIlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mvw解得演員 N 以 u 起跳,達到的高度hmmmglguh2222)63(82wll/2CABMNh