2021年高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)4.5.3《函數(shù)模型的應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案（含答案）

第五章 函數(shù)的應(yīng)用（二）4.5.3 函數(shù)模型的應(yīng)用1.會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題2.能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題3.了解擬合函數(shù)模型并解決實(shí)際問題4.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)模型的作用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)據(jù)分析的能力重點(diǎn)：利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題 難點(diǎn): 利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問題，并對(duì)給定的函數(shù)模型進(jìn)行簡單的分析評(píng)價(jià)1常見函數(shù)模型常用函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型ykxb(k，b為常數(shù)，k0)(2)二次函數(shù)模擬yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)(3)指數(shù)函數(shù)模型ybaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型ymlogaxn(m，a，n為常數(shù)，m0，a0且a1)(5)冪函數(shù)模型yaxnb(a，b為常數(shù)，a0)2.建立函數(shù)模型解決問題的基本過程我們知道 ， 函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型 ， 不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來刻畫 面臨一個(gè)實(shí)際問題 ， 該如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？典例解析例3.人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題 認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律 ， 可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù) 早在 1978 年 ， 英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯 （ T.R.Malthas ，1766 1834） 就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型y=y0ert ，其中 t 表示經(jīng)過的時(shí)間 ，y0 表示 t 時(shí)的人口數(shù) ， r 表示人口的年平均增長率 下表 是 19501959 年我國的人口數(shù)據(jù)資料 （1） 如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時(shí)期的人口增長率 （ 精確到 0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時(shí)期的具體人口增長模型 ， 并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符 ；（2） 如果按上表 的增長趨勢(shì) ， 那么大約在哪一年我國的人口數(shù)達(dá)到 13 億？ 事實(shí)上 ， 我國 1989年的人口數(shù)為 11.27億 ， 直到 2005年才突破13 億 對(duì)由函數(shù)模型所得的結(jié)果與實(shí)際情況不符 ， 你有何看法 ？ 因?yàn)槿丝诨鶖?shù)較大 ， 人口增長過快 ， 與我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平產(chǎn)生了較大矛盾 ， 所以我國從 世紀(jì) 年代逐步實(shí)施了計(jì)劃生育政策 因此這一階段的人口增長條件并不符合馬爾薩斯人口增長模型的條件 ， 自然就出現(xiàn)了依模型得到的結(jié)果與實(shí)際不符的情況 例4. 2010年 ,考古學(xué)家對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進(jìn)行碳 14年代學(xué)檢測 ，檢測出碳 14的殘留量約為初始量的 55.2 ， 能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？例5.假設(shè)你有一筆資金用于投資 ， 現(xiàn)有三種投資方案供你選擇 ， 這三種方案的回報(bào)如下 ：方案一 ： 每天回報(bào)40元 ；方案二 ： 第一天回報(bào)10元 ， 以后每天比前一天多回報(bào)10元 ；方案三 ： 第一天回報(bào)0.4元 ， 以后每天的回報(bào)比前一天翻一番 請(qǐng)問 ， 你會(huì)選擇哪種投資方案？ 問題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？投資天數(shù)、回報(bào)金額 如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？ 假如某公司每天給你投資1萬元，共投資30天。公司要求你給他的回報(bào)是：第一天給公司1分錢，第二天給公司2分錢，以后每天給的錢都是前一天的2倍，共30天，你認(rèn)為這樣的交易對(duì)你有利嗎？解答如下：公司30天內(nèi)為你的總投資為: 30萬元你30天內(nèi)給公司的回報(bào)為:0.01+0.012+0.0122+0.01229=10737418.231074(萬元)上述例子只是一種假想情況 ， 但從中可以看到 ， 不同的函數(shù)增長模型 ， 增長變化存在很大差異例6. 某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y (單位：萬元)隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%?，F(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x,其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？例6涉及了哪幾類函數(shù)模型？一次函數(shù)，對(duì)數(shù)型函數(shù)，指數(shù)函數(shù)。你能用數(shù)學(xué)語言描述符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案的條件嗎?1 一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時(shí)間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是()A分段函數(shù)B二次函數(shù)C指數(shù)函數(shù) D對(duì)數(shù)函數(shù)2若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是() Ay0.957 6 By(0.957 6)100 xCy x Dy10.042 43 若一根蠟燭長20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為()4某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2 000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)40QQ2，則總利潤L(Q)的最大值是_萬元. 5已知A，B兩地相距150 km，某人開汽車以60 km/h的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1小時(shí)后再以50 km/h的速度返回A地(1)把汽車離開A地的距離s表示為時(shí)間t的函數(shù)(從A地出發(fā)時(shí)開始)，并畫出函數(shù)的圖象；(2)把車速v(km/h)表示為時(shí)間t(h)的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖象參考答案：一、 知識(shí)梳理二、 學(xué)習(xí)過程例3. 分析 ： 用馬爾薩斯人口增長模型建立具體人口增長模型 ， 就是要確定其中的初始量y0 和年平均增長率 r解 ：（ 1） 設(shè)19511959 年我國各年的人口增長率分別為 r1,r2，,r9 由 551961+r1=56300,可得 1951年的人口增長率 r10.0200同理可得 ， r20.0210, r30.0229 , r40.0250, r50.0197 ， r60.0223，r70.0276,r80.0222,r90.0154于是 ， 19511959 年期間 ， 我國人口的年平均增長率為:r=(r1+r2+r9)90.0221,令 y0=55196， 則我國在 19501959年期間的人口增長模型為y=55196e0.0221t，t N根據(jù)表 中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖 ， 并畫出函數(shù)y=55196e0.0221t （t N ） 的圖象 由圖 可以看出 ， 所得模型與 19501959 年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合 例4.分析 ： 因?yàn)樗劳錾餀C(jī)體內(nèi)碳 的初始量按確定的衰減率衰減 ， 屬于指數(shù)衰減 ， 所以應(yīng)選擇函數(shù)y=kax（ kR ， 且 k ； a ， 且 a ） 建立數(shù)學(xué)模型 解 ： 設(shè)樣本中碳 的初始量為k ， 衰減率為 p（ p ）， 經(jīng)過 x年后 ， 殘余量為y 根據(jù)問題的實(shí)際意義 ， 可選擇如下模型 ：y=k(1p)x（k R ， 且 k ； p ； x ） 由碳 的半衰期為 5730年 ， 得k(1p)5730=12k于是 1P=573012，所以 y=k(573012)x由樣本中碳14 的殘余量約為初始量的 55.2 可知 ，即 0.552k=k(573012)x 解得 x=log5730120.552由計(jì)算工具得 x4912因?yàn)?2010年之前的 4912年是公元前 2902年 ， 所以推斷此水壩大概是公元前 2902年建成的 例5.分析 ： 我們可以先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型 ， 再通過比較它們的增長情況 ， 為選擇投資方案提供依據(jù)解 ： 設(shè)第x天所得回報(bào)是y元 ， 則方案一可以用函數(shù) y 40(xN) 進(jìn)行描述 ； 方案二可以用函數(shù) y 10 x(xN)進(jìn)行描述 ；方案三可以用函數(shù)y=0.42x1(xN)進(jìn)行描述 三個(gè)模型中 ， 第一個(gè)是常數(shù)函數(shù) ， 后兩個(gè)都是增函數(shù) 要對(duì)三個(gè)方案作出選擇 ， 就要對(duì)它們的增長情況進(jìn)行分析 我們先用信息技術(shù)計(jì)算一下三種方案所得回報(bào)的增長情況三種方案每天回報(bào)表方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù) ， 方案二 、 方案三的函數(shù)都是增函數(shù) ， 但方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長情況很不相同 可以看到 ， 盡管方案一 、 方案二在第 天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍 ， 但它們的增長量固定不變 ， 而方案三是 “ 指數(shù)增長 ”，其 “ 增長量 ” 是成倍增加的 ， 從第7天開始 ， 方案三比其他兩個(gè)方案增長得快得多 ， 這種增長速度是方案一 、 方案二所無法企及的 從每天所得回報(bào)看 ，在第 天 ， 方案一最多 ；在第 天 ， 方案一和方案二一樣多 ， 方案三最少 ； 在第 天 ， 方案二最多 ； 第9天開始 ， 方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多 ， 到第30天 ， 所得回報(bào)已超過2億元 下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù) 通過信息技術(shù)列表如下投資16天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資810天，應(yīng)選擇方案二；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇方案三。例6.分析 ： 本例提供了三個(gè)不同增長方式的獎(jiǎng)勵(lì)模型 ， 按要求選擇其中一個(gè)函數(shù)作為刻畫獎(jiǎng)金總數(shù)與銷售利潤的關(guān)系 由于公司總的利潤目標(biāo)為 1000萬元 ， 所以銷售人員的銷售利潤一般不會(huì)超過公司總的利潤 于是 ， 只需在區(qū)間 10 ，1000 上 ， 尋找并驗(yàn)證所選函數(shù)是否滿足兩條要求 ： 第一 ， 獎(jiǎng)金總數(shù)不超過 萬元 ， 即最大值不大于 ；第二 ， 獎(jiǎng)金不超過利潤的 ， 即 Y0.25X 不妨先畫出函數(shù)圖象 ，通過觀察函數(shù)圖象 ， 得到初步的結(jié)論 ， 再通過具體計(jì)算 ， 確認(rèn)結(jié)果 解 ： 借助信息技術(shù)畫出函數(shù) y ， y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x 的圖象 觀察圖象發(fā)現(xiàn) ， 在區(qū)間 10， 1000 上 ， 模型 y=0.25x, y=1.002x的圖象都有一部分在直線 y 的上方 ， 只有模型 y=log7x+1的圖象始終在 y 的下方 ， 這說明只有按模型 y=log7x+1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求 下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷 先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過 萬元 對(duì)于模型 y 0.25x， 它在區(qū)間 10，1000 上單調(diào)遞增 ， 而且當(dāng) x 時(shí) ， y ，因此 ， 當(dāng) x 時(shí) ， y ， 所以該模型不符合要求 ；對(duì)于模型, y=1.002x ， 由函數(shù)圖象 ， 并利用信息技術(shù) ， 可知在區(qū)間 （805 ，806 ） 內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0 滿足 1.002x0 ， 由于它在區(qū)間 10 ，1000 上單調(diào)遞增 ， 因此當(dāng) x x0時(shí) ， y ，所以該模型也不符合要求 ；對(duì)于模型 y=log7x+1， 它在區(qū)間 10 ，1000 上單調(diào)遞增 ， 而且當(dāng) x1000 時(shí) ，y=log71000+14.55 ， 所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過 萬元的要求 再計(jì)算按模型 y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí) ， 獎(jiǎng)金是否不超過利潤的25 ， 即當(dāng) x 10 ，1000 時(shí) ， 是否有 y 0.25x， 即y=log7x+1 0.25x成立 令 f(x) y=log7x+1-0.25x， x 10 ，1000 , 利用信息技術(shù)畫出它的圖象由圖象可知函數(shù) f(x)在區(qū)間10 ，1000 上單調(diào)遞減 ， 因此f(x) f(10)0.3167 ，即y=log7x+10.25x所以 ， 當(dāng) x 10 ，1000 時(shí) ， y 0.25x， 說明按模型y=log7x+1 獎(jiǎng)勵(lì) ， 獎(jiǎng)金不會(huì)超過利潤的 25綜上所述 ， 模型 y=log7x+1確實(shí)能符合公司要求 三、達(dá)標(biāo)檢測1.【答案】A由圖可知，該圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是分段函數(shù)模型2【答案】A由題意可知y(95.76%)，即y0.9576.3.【答案】B由題意h205t(0t4)，其圖象為B.4【答案】2 500每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元，單位產(chǎn)品數(shù)Q時(shí)的總成本為2 00010Q萬元K(Q)40QQ2，利潤L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500，Q300時(shí)，利潤L(Q)的最大值是2 500萬元5 【答案】(1)汽車由A地到B地行駛t h所走的距離s60t(0t2.5)汽車在B地停留1小時(shí)，則汽車到A地的距離s150(2.5t3.5)由B地返回A地，則汽車到A地的距離s15050(t3.5)32550t(3.5t6.5)綜上，s它的圖象如圖(1)所示(1)(2)(2)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系式是v它的圖象如圖(2)所示