蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件正余弦定理.ppt

掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些三角形度量問題,第7課時(shí)正弦定理、余弦定理,1對(duì)解斜三角形的考查在高考試題中時(shí)常出現(xiàn)，主要考查正弦定理、余弦定理、運(yùn)用三角公式進(jìn)行恒等變形及運(yùn)算能力以化簡、求值或判斷三角形的形狀為主來考查有關(guān)的定理的應(yīng)用、三角恒等變形、運(yùn)算能力及轉(zhuǎn)化思想2題目類型有判斷三角形形狀的填空題，求三角形邊角關(guān)系的解答題，三角形中有關(guān)三角變換的解答題，但都以較容易的題目出現(xiàn),【命題預(yù)測(cè)】,1利用正弦定理可將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，應(yīng)注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一特殊關(guān)系的應(yīng)用在ABC中，A>Ba>bsinA>sinB，但要注意命題成立的前提必須是在三角形中，脫離了三角形這個(gè)前提條件，命題是不成立的2判斷三角形的形狀，實(shí)質(zhì)是判斷三角形的三邊或三角具備怎樣的關(guān)系由于正弦定理非常好地描述了三邊與三角的數(shù)量關(guān)系，所以，可利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的統(tǒng)一，便于尋找三邊或三角具備的關(guān)系利用正弦定理判定三角形的形狀常運(yùn)用正弦定理的變形形式，將邊化為角，有時(shí)結(jié)合三角函數(shù)的有關(guān)公式(如誘導(dǎo)公式，和差公式)得出角的大小或等量關(guān)系3已知三角形三邊或三邊之比，可用余弦定理求出這個(gè)三角形的三個(gè)角使用余弦定理求角時(shí)，一般在判斷三條邊的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于60，最小角大于60可知三角形無解,【應(yīng)試對(duì)策】,ABC中的常用結(jié)論(1)tanAtanBtanCtanAtanBtanC；A、B、C成等差數(shù)列的充要條件是B60；ABC是正三角形的充要條件是A、B、C成等差數(shù)列且a、b、c成等比數(shù)列；a>bA>BsinA>sinB；,【知識(shí)拓展】,在ABC中，給定A、B的正弦或余弦值，則C的正弦或余弦有解(即存在)的充要條件是cosAcosB>0.簡證如下：C有解(AB)有解0cos(B)cosA>cosBcosAcosB>0.因此判斷C是否有解，只需考慮cosAcosB的符號(hào)即可,(2)sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，tan(AB)tanC，cossin.(3)三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊(4)等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊,1正弦定理、余弦定理及相關(guān)知識(shí),b2c22bccosA,c2a22cacosB,a2b22abcosC,2RsinA,2RsinB,2RsinC,sinAsinBsinC,2.在ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下,1(蘇州市高三教學(xué)調(diào)研考試)在ABC中，A，B，C對(duì)應(yīng)的三邊長為a，b，c，若a2(bc)2bc，則A的大小等于_解析：根據(jù)余弦定理得cosA，A答案：2(2010東臺(tái)中學(xué)高三診斷)若ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長分別為a、b、c，向量m(ac，ba)，n(ac，b)，若mn，則C等于_答案：60,3在ABC中，如果A60，c4，a2，則此三角形有_個(gè)解解析：A60，c4，a2，由正弦定理得：，即sinC1.又0<C0)，利用余弦定理，有cosAA45.同理可得cosB，B60.C180(AB)75.,這類題型主要是利用正、余弦定理及其變形，把題設(shè)條件中的邊、角關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角或者邊的簡單關(guān)系式，進(jìn)而進(jìn)行判斷【例2】在ABC中，如果lgalgclgsinBlg，且B為銳角，試判斷此三角形的形狀思路點(diǎn)撥：先進(jìn)行對(duì)數(shù)的運(yùn)算，再將邊化角即可,解：由lgalgclgsinBlg，得sinB，又B為銳角，B45.同時(shí)，.sinC2sinA2sin(135C)，即sinCsinCcosC，cosC0，所以C90.故此三角形為等腰直角三角形,變式2：在ABC中，已知sinC2sin(BC)cosB，那么ABC的形狀是_解析：由sinC2sin(BC)cosB，得sinC2sinAcosB.再結(jié)合正、余弦定理得：整理得a2b2，所以ABC一定是等腰三角形也可由sinC2sinAcosB，可得sin(AB)2sinAcosB，sin(AB)0，從而AB.答案：等腰三角形,1這類題型同一般三角函數(shù)中三角函數(shù)的求值與證明相類似，但也有著不同之處，如涉及到的關(guān)系式中除角外還可能涉及到邊，因而轉(zhuǎn)化方式有角的轉(zhuǎn)化和邊的轉(zhuǎn)化2三角形中三角函數(shù)的證明問題主要是圍繞三角形的邊和角的三角函數(shù)展開的，從某種意義上來看，這類問題就是有了目標(biāo)的含邊和角的式子的化簡問題,【例3】在ABC中，證明：思路點(diǎn)撥：等式左邊有邊也有角，右邊只有邊，故考慮把等式左邊的角轉(zhuǎn)化為邊證明：左邊右邊故原命題得證,【例4】在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊長已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2acbc，求A的大小及的值思路點(diǎn)撥：把已知條件a2c2acbc變形，構(gòu)造余弦定理結(jié)構(gòu)求出A的值，然后再利用正弦定理變形求出的值,解：(1)a、b、c成等比數(shù)列，b2ac，又a2c2acbc，b2c2a2bc.在ABC中，由余弦定理得cosA，A60.(2)在ABC中，由正弦定理sinB，b2ac，A60，,變式3：(2010北京海淀區(qū)高考模擬題)在ABC中，a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，且AB，求證：ABC是直角三角形,證明：由已知得：a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)利用兩角和、差的三角函數(shù)公式可得2a2cosAsinB2b2sinAcosB.由正弦定理得asinBbsinA，acosAbcosB.又由正弦定理得2RsinAa,2RsinBb，2RsinAcosA2RsinBcosB，即sin2Asin2B.AB，2A2B，AB.ABC是直角三角形,變式4：在ABC中，A、B、C所對(duì)的邊的長分別為a，b，c，設(shè)a，b，c滿足條件b2c2bca2和，求A和tanB的值解：b2c2bca2，b2c2a2bc.由余弦定理得cosA又A為三角形一內(nèi)角，A.在ABC中，C(AB)BB.,由已知條件及正弦定理得tanB.,【規(guī)律方法總結(jié)】,1根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換2用正弦(余弦)定理解三角形問題時(shí)可適當(dāng)應(yīng)用向量數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形邊長等3在判斷三角形形狀或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件4注意體會(huì)函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,【高考真題】,【例5】(2009天津卷)在ABC中，BC，AC3，sinC2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin的值分析：根據(jù)正弦定理求AB的值，根據(jù)余弦定理求出A的余弦，根據(jù)倍角公式求出2A的正弦值、余弦值，再根據(jù)兩角和、差的正弦公式求sin的值,規(guī)范解答：(1)在ABC中，根據(jù)正弦定理，于是ABBC2BC2.(2)在ABC中，根據(jù)余弦定理，得cosA于是sinA從而sin2A2sinAcosA，cos2Acos2Asin2A.所以,本題沒有按照常規(guī)出題方式給出三角形中角的大小，而是給出了兩個(gè)角的正弦之間的關(guān)系，根據(jù)正弦定理的特點(diǎn)就可以通過約分的方式將其約掉，達(dá)到解決問題的目的，試題設(shè)計(jì)頗有新意,【命題探究】,【全解密】,三角恒等變換中經(jīng)常用到的角度變換，如：()()，2()()()()，等，通過這些角的變換實(shí)現(xiàn)利用已知條件達(dá)到整體求解的目的,【知識(shí)鏈接】,一般地，已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，可以根據(jù)正弦定理的變式abcsinAsinBsinC，在知道了兩個(gè)角的正弦比值時(shí)也可以使用正弦定理求解三角形，本題就是這種情況；當(dāng)已知三角形三邊時(shí)可以根據(jù)余弦定理求出任意一個(gè)角的余弦值,【方法探究】,正弦定理是一個(gè)連比等式，在使用這個(gè)定理時(shí)不一定要知道其中的三個(gè)量才能求第四個(gè)量，只要知道了其比值或等量關(guān)系就可以通過約分達(dá)到解決問題的目的，在解題中要注意這個(gè)技巧的使用，不要一味地尋找使用正弦定理的具體條件.,【技巧點(diǎn)撥】,1在ABC中，a，b，B45，解此三角形分析：根據(jù)已知條件，此題是已知兩邊和一邊的對(duì)角的題目，要根據(jù)條件先求出A，然后根據(jù)A的值討論解的情況,解：由，得sinAa>b，A>B45，A為銳角或鈍角，A60或A120.當(dāng)A60時(shí)，C180604575，c當(dāng)A120時(shí)，C1801204515，c,2已知方程x2(bcosA)xacosB0的兩根之積等于兩根之和，且a，b為ABC的兩邊，A，B為a，b的對(duì)角，試判斷ABC的形狀分析：要判斷三角形的形狀，就要根據(jù)條件得出三角形中的邊的關(guān)系或角的關(guān)系，由題意，先得到邊角的關(guān)系式，然后再根據(jù)正、余弦定理來判斷解：設(shè)方程的兩根為x1，x2，由根與系數(shù)關(guān)系，得x1x2bcosA，x1x2acosB，由題意，得bcosAacosB，由正弦定理，得2RsinBcosA2RsinAcosB，即sinBcosAsinAcosB0，即sin(AB)0，在ABC中，A，B為其內(nèi)角，<AB<，AB0，ABC為等腰三角形,