哈爾濱工程大學(xué)-場論.ppt

第0章場論（FIELD）,目的：場論是描述物理流動的數(shù)學(xué)工具。內(nèi)容：介紹力學(xué)中常用的場論知識。場：具有物理量的空間。流場：充滿流體物理量的空間。,物理量作為空間點(diǎn)位置M和時間t的函數(shù)，t作為參變量。,流體力學(xué)中常見的物理量,density,temperature,pressure,stress,velocity,strain,向量場（函數(shù)）,標(biāo)量場（函數(shù)）,張量場（函數(shù)）,field1:1func.,spacepoint,向量(vector)：3個元素表示的既有大小又有方向的量,0.1標(biāo)量、向量、張量,（1）概念標(biāo)量（scalar）：1個元素表示的只有大小沒有方向的量,二階張量（tensorof2ndorder）：9個元素表示的量,n階張量（tensorofnthorder）：3n個元素表示的量,（2）場的幾何描述,標(biāo)量場的等值線（面）：時刻場中數(shù)值相同的點(diǎn)組成的曲面。,等值線,在某一高度上沿什么方向高度變化最快？,表示標(biāo)量在場中的分布。,向量場的向量線：向量線上每一點(diǎn)處曲線與對應(yīng)于該點(diǎn)的向量相切。,描述向量在場中的分布。,向量線連續(xù)分布，一般互不相交。,l,(1)Einstein求和符號：式子中成對出現(xiàn)的啞指標(biāo)。,0.2向量及張量的基本運(yùn)算,0.2.1向量運(yùn)算符號規(guī)定,式中i,j是自由指標(biāo)，表示坐標(biāo)方向?？蓪懽?,任意兩個正交坐標(biāo)軸單位向量的點(diǎn)積,(2)Kronecker符號：,參與表達(dá)式運(yùn)算的結(jié)果：沖掉一個自由指標(biāo),置換法則：3個自由指標(biāo)順時針排列為正，否則為負(fù)。任意2個自由指標(biāo)對換后差一個負(fù)號，如,式中i,j是自由指標(biāo)，稱為置換符號。,(3)Ricci（置換）符號：任意兩個正交單位向量的叉積,和符號之間有關(guān)系,兩個自由指標(biāo)相同，如,自由指標(biāo)偶次置換，如,自由指標(biāo)奇次置換，如,0.2.2向量運(yùn)算的常用公式,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,0.2.3向量分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,討論新、老坐標(biāo)軸中單位向量及向量分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。,(i,j=1,2,3),或,表0.1坐標(biāo)軸間方向余弦,又,點(diǎn)乘,得,單位向量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：,即可得如下六個關(guān)系式,或,向量分量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：,表0.1坐標(biāo)軸間方向余弦,a與坐標(biāo)系無關(guān)，有,0.2.4二階張量及其基本運(yùn)算,二階張量及其基本運(yùn)算規(guī)則,二階張量的坐標(biāo)變換,(,),(,),eg.,方向?qū)?shù)：,l方向單位向量,03標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度,剃度表示物理量在一點(diǎn)鄰域內(nèi)的變化。,（1）梯度的定義,Hamilton算子（Nabla）,記,則,當(dāng),即與方向一致時,為最大。,注：算子具有微分和向量雙重運(yùn)算性質(zhì)，適用于任意正交坐標(biāo)系，在不同坐標(biāo)系中表達(dá)形式不同。推導(dǎo)或證明公式時用直角坐標(biāo)系簡便。,梯度(Gradient),高度場的梯度,與過該點(diǎn)的等位線垂直；,數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；,梯度垂直于標(biāo)量的等值面，且指向增大的方向。,（3）梯度的應(yīng)用（性質(zhì)）梯度在方向的投影等于標(biāo)量在該方向的方向?qū)?shù),計(jì)算增量,計(jì)算曲面法線,由梯度可計(jì)算物理量沿l方向經(jīng)過dl距離的增量。,（為常數(shù)）,（為常數(shù)）,（5）向量的梯度是一個二階張量,（4）梯度運(yùn)算的基本公式,Example0.2Given:Prove:,Example0.1：求曲面的法線單位向量,Solution:,Solution:（書p4）,稱為向量a通過曲面S的通量。若a為流速v，Q流量。,04向量場的通量和散度,通量：在向量場a中曲面S的法向量為n，則,圖0.4.1通量,物理量的散度可用來判別向量場是否有源。,若向量場中a=0，稱之為有源場，稱為源（強(qiáng)）密度；若向量場中處處a=0，稱之為無源場。,（為常數(shù)）,散度的基本運(yùn)算公式：,（2),(為標(biāo)量）,（3),05向量場的環(huán)量和旋度,物理量的旋度可用來判別向量場是否有旋。,無源無旋的向量場是調(diào)和場,（Laplaceoperator）,（Laplace方程）,滿足Laplace方程,且具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)，這時向量場a稱為調(diào)和場。,Gauss公式JonhanGauss(1777-1855),n為體積V閉邊界面S的單位外法向量，若物理量a或在V+S上一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則有,散度定理,源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，體積分后，為穿出閉合面S的通量,06廣義Gauss公式及Stokes公式,Stokes公式SirGeorgeStokes(1819-1903）,若l為曲面S的邊界線，且可縮，向量a在S+l上一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則,0.7Hamilton算子、梯度、散度、旋度和調(diào)和量在正交曲線坐標(biāo)系中的表示式,向量：（正交曲線坐標(biāo)系）,0.7.2正交曲線坐標(biāo)系中的弧微分和拉梅系數(shù),空間曲線的弧微分：（直角坐標(biāo)系）,曲線坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間有變換關(guān)系:,當(dāng)為坐標(biāo)曲線上的微分弧長時，,坐標(biāo)線的弧微分：,例：,0.7.3正交曲線坐標(biāo)系中常用表示式,