Z變換(數字信號處理).ppt

3序列的Z變換,3.1Z變換的定義序列x(n)的Z變換定義為,(3.1),式中z是一個復變量，它所在的復平面稱為z平面。注意在定義中，對n求和是在之間求和，可以稱為雙邊Z變換。還有一種稱為單邊Z變換的定義，如下式,(3.2),使(3.3)式成立，Z變量取值的域稱為收斂域。一般收斂域用環(huán)狀域表示,這種單邊Z變換的求和限是從零到無限大，因此對于因果序列，用兩種Z變換定義計算出的結果是一樣的。本書中如不另外說明，均用雙邊Z變換對信號進行分析和變換。(3.1)式Z變換存在的條件是等號右邊級數收斂，要求級數絕對可和，即,(3.3),圖3.1Z變換的收斂域,常用的Z變換是一個有理函數，用兩個多項式之比表示分子多項式P(z)的根是X(z)的零點，分母多項式Q(z)的根是X(z)的極點。在極點處Z變換不存在，因此收斂域中沒有極點，收斂域總是用極點限定其邊界。對比序列的傅里葉變換定義，很容易得到FT和ZT之間的關系，用下式表示：,(3.4),式中z=ej表示在z平面上r=1的圓，該圓稱為單位圓。(3.4)式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。如果已知序列的Z變換，可用(3.4)式，很方便的求出序列的FT，條件是收斂域中包含單位圓。例3.1x(n)=u(n)，求其Z變換。解：X(z)存在的條件是|z-1|1，,|z|>1,由x(z)表達式表明，極點是z=1，單位圓上的Z變換不存在，或者說收斂域不包含單位圓。因此其傅里葉變換不存在，更不能用(3.4)式求FT。該序列的FT不存在，但如果引進奇異函數()，其傅里葉變換可以表示出來(見表2.3.2)。該例同時說明一個序列的傅里葉變換不存在，在一定收斂域內Z變換是存在的。,3.2序列特性對收斂域的影響序列的特性決定其Z變換收斂域。1.有限長序列如序列x(n)滿足下式：x(n)n1nn2x(n)=0其它,即序列x(n)從n1到n2序列值不全為零，此范圍之外序列值為零，這樣的序列稱為有限長序列。其Z變換為,設x(n)為有界序列，由于是有限項求和，除0與兩點是否收斂與n1、n2取值情況有關外，整個z平面均收斂。如果n10，則收斂域不包括z=0點；如果是因果序列，收斂域包括z=點。具體有限長序列的收斂域表示如下：,n10時，00時，0<z例3.2求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域解：,這是一個因果的有限長序列，因此收斂域為0<z。但由結果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的極點，但同時分子多項式在z=1時也有一個零點，極零點對消，X(z)在單位圓上仍存在，求RN(n)的FT，可將z=ej代入X(z)得到，其結果和例題2.2.1中的結果(2.3.5)公式是相同的。,2.右序列右序列是在nn1時，序列值不全為零，而其它n<n1，序列值全為零。ROC：分析：當n10時,第一項為有限長序列，設n1-1，其收斂域為0|z|。第二項為因果序列，其收斂域為Rx-<|z|，Rx-是第二項最小的收斂半徑。將兩收斂域相與，其收斂域為Rx-<|z|<。如果x(n)是因果序列，收斂域定為Rx-n2，序列值全為零的序列。左序列的Z變換表示為,當n20當n2>0第二項為有限長序列，在整個Z平面收斂（z=點不收斂）。第一項根據前式的論述，當時收斂因此左序列的收斂域是半徑為R+的圓內區(qū)域,例3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z變換及其收斂域。,X(z)存在要求|a-1z|<1，即收斂域為|z|Rx-，其收斂域為Rx-<|z|<Rx+，這是一個環(huán)狀域，如果Rx+<Rx-，兩個收斂域沒有公共區(qū)域，X(z)沒有收斂域，因此X(z)不存在。例3.5x(n)=a|n|，a為實數，求x(n)的Z變換及其收斂域。解：,第一部分收斂域為|az|a|。如果|a|<1，兩部分的公共收斂域為|a|<|z|<|a|-1，其Z變換如下式：,|a|<|z|<|a|-1,如果|a|1，則無公共收斂域，因此X(z)不存在。當0<aa，求其Z反變換x(n)。,為了用留數定理求解，先找出F(z)的極點，極點有：z=a;當n<0時z=0共二個極點，其中z=0極點和n的取值有關。n0時，z=0不是極點。n<0時，z=0是一個n階極點。因此分成n0和n<0兩種情況求x(n)。n0時，,n|a-1|，對應的x(n)是右序列；(2)|a|<|z|<|z-1|，對應的x(n)是雙邊序列；(3)|z|a-1|,種收斂域是因果的右序列，無須求n<0時的x(n)。當n0時，圍線積分c內有二個極點z=a和z=a-1，因此,最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收斂域|z|<|a|這種情況原序列是左序列，無須計算n0情況，當n0時，圍線積分c內沒有極點，因此x(n)=0。n<0時，c內只有一個極點z=0，且是n階極點，改求c外極點留數之和,最后將x(n)表示成x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收斂域|a|<|z|<|a-1|這種情況對應的x(n)是雙邊序列。根據被積函數F(z)，按n0和n<0兩情況分別求x(n)。n0時，c內極點z=ax(n)=ResF(z),a=an,n<0時，c內極點有二個，其中z=0是n階極點，改求c外極點留數，c外極點只有z=a-1，因此x(n)=-ResF(z),a-1=a-n最后將x(n)表示為ann0 x(n)=x(n)=a|n|a-nn<0,2.冪級數法(長除法)按照Z變換定義(3.1)式，可以用長除法將X(z)寫成冪級數形式，級數的系數就是序列x(n)。要說明的是，如果x(n)是右序列，級數應是負冪級數；如x(n)是左序列，級數則是正冪級數。例3.8已知用長除法求其Z反變換x(n)。解由收斂域判定這是一個右序列，用長除法將其展成負冪級數,1-az-1,例3.9已知求其Z反變換x(n)。解：由收斂域判定，x(n)是左序列，用長除法將X(z)展成正冪級數,3.部分分式展開法對于大多數單階極點的序列，常常用這種部分分式展開法求Z反變換。設x(n)的Z變換X(z)是有理函數，分母多項式是N階，分子多項式是M階，將X(z)展成一些簡單的常用的部分分式之和，通過查表(參考表3.1)求得各部分的反變換，再相加即得到原序列x(n)。設X(z)只有N個一階極點，可展開為,觀察上式，X(z)/z在z=0的極點留數就是系數A0，在z=zm的極點留數就是系數Am。,(3.11),(3.12),(3.13),(3.14),求出Am系數(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。,例3.10已知，求Z反變換。,解,因為收斂域為22。第二部分極點z=-3，收斂域應取|z|<3。查表3.1得到x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)一些常見的序列的Z變換可參考表3.1。,表3.1常見序列Z變換,3.4Z變換的性質和定理Z變換有許多重要的性質和定理，下面進行介紹。1.線性設X(z)=ZTx(n),Rx-<|z|<Rx+Y(z)=ZTy(n),Ry-<|z|<Ry+則M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z),Rm-<|z|Rx->Ry+>Ry-時，則M(z)不存在。2.序列的移位設X(z)=ZTx(n),Rx-<|z|<Rx+則ZTx(n-n0)=z-n0X(z),Rx-<|z|<Rx+(3.16),3.乘以指數序列設X(z)=ZTx(n),Rx-<|z|<Rx+y(n)=anx(n),a為常數則Y(z)=ZTanx(n)=X(a-1z)|a|Rx-<|z|<|a|Rx+(3.17),證明,因為Rx-<|a-1z|<Rx+，得到|a|Rx-<|z|<|a|Rx+。,4.序列乘以n設,則,(3.18),證明,5.復序列的共軛設,則,證明,(3.19),6.初值定理設x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n),(3.20),證明,因此,7.終值定理若x(n)是因果序列，其Z變換的極點，除可以有一個一階極點在z=1上，其它極點均在單位圓內，則,(3.21),證明,因為x(n)是因果序列，,因為(z-1)X(z)在單位圓上無極點，上式兩端對z=1取極限,終值定理也可用X(z)在z=1點的留數，因為,(3.22),因此如果單位圓上，X(z)無極點，則x()=0。,8.序列卷積設,則,證明,W(z)的收斂域就是X(z)和Y(z)的公共收斂域。,例3.11已知網絡的單位取樣響應h(n)=anu(n),|a|<1，網絡輸入序列x(n)=u(n)，求網絡的輸出序列y(n)。解：y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用二種方法，一種直接求解線性卷積，另一種是用Z變換法。,由收斂域判定y(n)=0,n<0。n0y(n)=ResY(z)zn-1,1+ResY(z)zn-1,a,將y(n)表示為,9.復卷積定理如果ZTx(n)=X(z)，Rx-<|z|<Rx+ZTy(n)=Y(z),Ry-<|z|<Ry+w(n)=x(n)y(n)則,W(z)的收斂域,(3.24)式中v平面上，被積函數的收斂域為,(3.24),(3.25),(3.26),證明,由X(z)收斂域和Y(z)的收斂域，得到,例3.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)解：,因此,W(z)收斂域為|a|<|z|；被積函數v平面上收斂域為max(|a|,0)<|v|<min(|a-1|,|z|)，v平面上極點：a、a-1和z,c內極點z=a。,10.帕斯維爾(Parseval)定理利用復卷積定理可以證明重要的帕斯維爾定理。,那么,v平面上，c所在的收斂域為,證明令w(n)=x(n)y*(n)按照(3.24)式，得到,按照(3.25)式，Rx-Ry-<|z|<Rx+Ry+，按照假設，z=1在收斂域中，令z=1代入W(z)中。,如果x(n)和y(n)都滿足絕對可和，即單位圓上收斂，在上式中令v=ej，得到,(3.29),令x(n)=y(n)得到,上面得到的公式和在傅里葉變換中所講的帕期維爾定理(2.2.34)式是相同的。(3.28)式還可以表示成下式：,3.5利用Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性,3.5.1頻率響應函數與系統(tǒng)函數設系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，系統(tǒng)對單位脈沖序列(n)的響應，稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)，對h(n)進行傅里葉變換得到H(ej),(3.5.1),一般稱H(ej)為系統(tǒng)的頻率響應函數，它表征系統(tǒng)的頻率特性。,設h(n)進行Z變換，得到H(z)，一般稱H(z)為系統(tǒng)函數，它表征了系統(tǒng)的復頻域特性。對N階差分方程(1.4.2)式，進行Z變換，得到系統(tǒng)函數的一般表示式,(3.5.2),如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，H(ej)與H(z)之間關系如下式：,(3.5.3),3.5.2用系統(tǒng)函數的極點分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果(可實現)系統(tǒng)其單位脈響應h(n)一定滿足當n<0時，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數H(z)的收斂域一定包含點，即點不是極點，極點分布在某個圓的圓內，收斂域在某個圓外。一個穩(wěn)定線性系統(tǒng)的充要條件是H(z)的收斂域包含單位圓。一個線性系統(tǒng)是因果的充要條件是系統(tǒng)函數H(z)的收斂域Z=一個穩(wěn)定因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數H(z)的收斂域1|z|一個穩(wěn)定因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數H(z)的全部極點在單位圓內,例3.5.1已知分析其因果性和穩(wěn)定性.解：H(z)的極點為z=a，z=a-1，如圖3.5所示。(1)收斂域a-1<|z|，對應的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應h(n)=(an-a-n)u(n)(參考例題3.7)，這是一個因果序列，但不收斂。(2)收斂域0|z|a,對應的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(參考例題3.7)，這是一個非因果且不收斂的序列。,(3)收斂域a<|z|<a-1，對應的系統(tǒng)是一個非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應h(n)=a|n|，這是一個收斂的雙邊序列，如圖3.5.1(a)所示。,圖3.5.1,3.5.3利用系統(tǒng)的極零點分布分析系統(tǒng)的頻率特性將(3.5.2)式因式分解，得到,(3.5.4),式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零點，dr是其極點。A參數影響頻率響應函數的幅度大小，影響系統(tǒng)特性的是零點cr和極點dr的分布。下面我們采用幾何方法研究系統(tǒng)零極點分布對系統(tǒng)頻率特性的影響。,在z平面上，ej-cr用一根由零點cr指向單位圓上ej點B的向量表示，同樣ej-dr用內極點指向ej點B的向量表示，如圖3.5.2所示。,和分別稱為零點矢量和極點矢量，將它們用極坐標表,將和表示式代入(3.5.7)式，得到,(3.5.8),(3.5.9),系統(tǒng)的傳輸特性或者信號的頻率特性由(3.5.8)式和(3.5.9)式確定。當頻率從零變化到2時，這些向量的終點B沿單位圓逆時針旋轉一周，按照(3.5.8)式(3.5.9)式，分別估算出系統(tǒng)的幅度特性和相位特性。例如圖3.5.2表示了具有一個零點和二個極點的頻率特性。,圖3.5.2頻響的幾何表示法,3.5.2已知H(z)=z-1，分析其頻率特性解：由H(z)=z-1，極點為z=0，幅度特性|H(ej)|=1,相位特性()=-，頻響如圖3.5.3所示。用幾何方法也容易確定，當=0轉到=2時，極點矢量的長度始終為1。由該例可以得到結論，處于原點處的零點或極點，由于零點矢量長度或者是極點矢量長度始終為1，因此原點處的零極點不影響系統(tǒng)的頻率特性。,圖3.5.3H(z)=z-1的頻響,