1.1 集合及其運算

集合，指的是具有某種特定性質(zhì)的對象的全體，通常用大寫英文字母A，B，X，Y等表示；集合中的每個對象稱為該集合的元素。一般說來，我們總用小寫字母a,b,x,y表示集合中的元素。集合與元素的關系：屬于或不屬于. 對于集合A，某一對象x如果是A的元素，則稱x屬于A，如果x不是A的元素，則稱x不屬于A。集合的表示方法： 1.列舉法； 2.描述法；|PxxA具有性質(zhì)例如，A是由具有性質(zhì)P的元素全體組成時，記為：其中P可以是一段文字，也可以是某個數(shù)學式子。).(,;)()(;xpExxxxpExpxEE所構成的集合，即滿足的條件中所有使便表示合，則是一個事先給定了的集如果.)()(;)(所構成的集合的大于中那些使就是是一個常數(shù)時，是一個給定的實函數(shù)且例如當xaxfEaxfxEaxf定理1 的充要條件是 且 . BA BAAB .,. 1BABABABABA的子集，記為是或包含于則說，的元素都屬于是兩個集合，如果屬于設集合的子集. 2的真子集是則說，還不等于的子集，但是，即，如果集合的真子集ABABABABAB定理2 若 ， ,則 . BACB CA對于集合族 若對任意 ,A, AA 都有則稱該集合族是互不相交的或兩兩不交的.;,. 3BxAxxBAABBABABA且，因此或記為的交，和，則稱為拿來構成一個新的集合它們所共有的元素是兩個給定的集合，將設集合的交運算.,;稱為指標集其中或記為，它們的總體稱為集合族，這樣得到許多集合，一個集合，都相應地給定了是一集合，對于每一集合族：設AAA類似定義其交集，即 ,|AxxA有對每一, 3 , 2 , 1,110 ;nnxxAn則 nnA1.10 x例2 若 是全體實數(shù)構成的集合， ,;xxA則 AnnnAnnnxnnxA1, 2 , 1,11; 則若練習：11nnA答案：).1,1(),1,1(,11, 1. 1,100001000000nnnnxnnnnxnxNnxxxn即故使則有若即證明：設.1)1,1(),1,1(1,111,1綜上可知命題成立故即恒有又對任意nnnnnnnnnnnnNnn.BxAxBAx或當且僅當,;AxxA使存在A一簇集合 ，可類似定義其并集，即 4. 并運算;BxAxxBA或例1 若 , 3 , 2 , 1,1111;nnxnxAn則 nnA1).1 , 1(例2 若 ,1;RxxA則 AR).,(例 3,11:11NnxxAnnn設nnA1nnA1( ( ) -2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 ) 1 , 2(0 , 1nnnAnxnxA1, 2 , 1,11; 則若練習：) 1 , 0(1nnA答案：).1 , 0(),1 , 0() 1 ,1(,1nnnAnANn故有證明：對任意).1 , 0() 1 ,1() 1 ,1(,) 1 ,1(, 11,),1 , 0(10100000nnAnxxnNnxnnn于是即使存在又對定理3 （1）交換律ABBAABBA;（2）結合律（3）分配律（4）冪等律;)()(CBACBA;)()(CBACBA)()()(CABACBAAAAAAA,定理4（1） .BAABA（2） 若 .),( ,BABA則（3） 若 .),( ,BABA則（4） ).()(BABA）（(5) ).()(BABA.A),(CCA則特別地，若.),(BCBC則特別地，若證明 （2）由并集的定義，若 ,Ax 則存在 .,Ax使而 .,BxBA所以有從而 故 ,Bx .BA （5）若 ),(,)(BAxBA任取由交的定義，.BxAx且再由并的定義可知存在 .Bx使于是 .BAx從而 ).(BAx所以 ).()(BABA再證 ).()(BABA略(6) ).()(BABA5差運算 由所有屬于A但不屬于B的元素組成的集合，稱為A減B的差集，記作A-B。即 .,;BxAxxBA注 .)(ABBA未必等于6. 余集若已知 則 稱為B 相對于A的余集，記為 BA BA.BCA特別地，若考慮的一切集合都是某一給定集合S的子集，集合A相對于S的余集稱為A的余集，簡記為 .cACA或定理5 （1）.,SSCC（2） .,CCAASAA(3) .)(AACC(4) .,CCBABA則若cBABA注：ASACs余：（其中S為全集）,簡記為Ac定理6 De Morgan 公式ccAA )(ccAA )(證明 （1） 若 ,)(cA設 ,)(cAx .AxSx且則,Ax，都有因而對.cAASx所以.cAx都成立，故由于對.)(ccAA 因此反之，當 時，且ccAxA,cAx，有對.AxSx 且即.)(,cAxAxSx即且因而.)(ccAA所以.)(ccAA 因此域或代數(shù)對于一個給定的集合S，若F 是S的一族子集，它滿足下列條件1） ;F2）;cFAFA 時，當3），時，當FBAFBA,則稱F是S的一些子集構成的一個域或代數(shù).代數(shù)域或的一些子集構成的一個稱為則中一串元素時，必有是，）當）改為把上述定義中的SFFAFAAAnn,331n21注. 1域是域一定域，但域不一定2. 一串指的是可排序.;,. 310的全體子集所構成由域最大的域最小的SFSF定理7若 A 是由S的子集構成的集合,則唯一存在一個由S的子集構成的最小 域 使),(AF).(AFA.F(A)(-) 1中也含有所以，中都含有空集域因為FAFF.AF(A).(A-SA)(FFF由定理知，即域，的子集構成的的，由是包含證明：設.-(A)域即可是故只需證明F.)(.-,)()2cccFAFBFBFBFFBFAFB，故，都有由于對任意所以域是而，都有則對任意如果.FA)(,B,F-,F(A),)31i1iin21FBFBFFBBBii是任意的，從而由于于是都有域則對于任意的中的每一個都屬于，若域。確實是一個可見)(AF集合序列的極限1.序列的增減性,1n是一個集合序列設nA則稱該序列單增；若,n21AAA.,n21則稱該序列單減若AAA2.序列的并和交是任意一個集合序列，設1nnA的并；是集合序列稱nkknknAABk.k的交是集合序列稱nkknknAAC .1n1n單增單減，顯然，nnCB3.上極限和下極限.suplimlim11nnknknnnnnnnABAAAB記為的上極限，的交集稱為我們把.inflimlim11nnknknnnnnnnACAAAC記為的下極限，的并集稱為我們把.limnnnnAAA有極限，記為則稱，的上極限和下極限相等若例1 )(lim)(limn:n整數(shù)全體，有理數(shù)全體，證明：是自然數(shù)是整數(shù)，令ZAQAmnmAnnnn證：對一切自然數(shù) ，顯然有 ，所以nZAAQn1ZAAQnnnnlimlim因為對任一有理數(shù) 其中 均為整數(shù)， 對任何 有 所以 這樣,/ pqqp, 0p., 2 , 1,)/()(/knApnqnpqkn.lim/1nnknknAApq.lim,limQAAQnnnn從而1n),(1knknknkAQAQ.limlim.1,n,lim11111ZAZAmmxnmnmxmmAAxAAxnnnnnnnnnnnnknknnn從而，是整數(shù)，這樣由此得使和因此有整數(shù)使必又對任何定理8是一個集合序列，設1nnA,lim)1 (nnnAxNnNAx使，存在對).( ,1nnnAxxA屬于無窮多個集合中有無窮多項包含即,lim)2(nxxnnAxNnNAx有，使對一切存在.1的項只有有限項中不含即xAnnnnnnAAlimlim)3(定理9. )(lim111nnnnnnnnAAAA單增（單減），則若集合序列證明., 1nn11AAAAAknkkkknknn并且有單增，易知對設,lim11111nnkkkknknknnnAAAAA從而.lim,lim111nnnnnnnnknnnAAAAA于是，這樣上極限等于下極限單減如何證？.inflimsuplim, 3 , 2 , 1,-10FAAnFAFnnnnn也都屬于和則域，是一如果定理.suplim, FFn,F., 3 , 2 , 1,-1nFAAAAnFAFnnnkknkknkkn即所以，都有而且對任意故域，是一因為證明：,:nAxNnNx使是一個集合序列設,21nAAA上、下極限集() : :limsuplimnnnnnnnAAx xAxAxA或?qū)儆跓o限多個集合存在無限多個 ，使1NNnnANB例：設A2n=0,1A2n+1=1,2;則上極限集為0,2下極限集() : :limliminfnnnnnnAAxxAxnxA或除去有限個集外，有當 充分大時，有1NNnnA例：設A2n=0,1A2n+1=1,2;則上極限集為0,2,下極限集為111limlimnnnnnnnnAAAA1,:NNnnnAAxNnNx使() :limsuplimnnnnnAAx xA或?qū)儆跓o限多個集合,:nAxNnNx有NB單調(diào)增集列極限分析1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA111nnNNnnnnNnnAAAA當An為單調(diào)增加集列時11NNNNnnNNnnAAAA單調(diào)減集列極限分析1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA 11NNNNnnNNnnAAAA當An為單調(diào)減小集列時111nnNNnnnnNnnAAAA例3111)(:)(:)()(limkNNnknnnaxfxaxfxxfxf，則設knkkaxfNnNaxf111)(, 1,)(, 1有利用極限的保號性知，使得從而aaxfnaxfNnNkknk111)()(, 1, 1取極限，則兩邊關于有則，若111)(:kNNnknaxfxx,)()(lim,)(axfxfaxfxxnn即：反之若a a+1/k f(x) ,: ),(BbAabaBA,2, 1,:),(211niAxxxxAiinii,2, 1,:),(211niAxxxxAiinnii笛卡爾乘積集合的特征函數(shù)(示性函數(shù))設S是一非空集合，A是S的一個子集。., 0, 1)(AxAxxSA當當上的函數(shù)作.的特征函數(shù)）為集合（稱AxA重要性質(zhì); 0)(; 1)() 1xAxSAAA等價于等價于);()();()()2xxBAxxBABABA等價于等價于);(min)();(max)()3xxxxANAANANN).(lim)();(lim)()4limlimxxxxnnnnnnAnAAnA40 結束語結束語