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2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第2講 數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用教案

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2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第2講 數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用教案

第2講數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2012·大綱全國卷)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a55,S515,則數(shù)列的前100項(xiàng)和為A. B. C. D.解析利用裂項(xiàng)相消法求和設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d.a55,S515,ana1(n1)dn.,數(shù)列的前100項(xiàng)和為11.答案A2(2012·浙江)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn2n2n,nN,數(shù)列bn滿足an4log2bn3,nN.(1)求an,bn;(2)求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和Tn.解析(1)由Sn2n2n,得當(dāng)n1時(shí),a1S13;當(dāng)n2時(shí),anSnSn14n1.所以an4n1,nN.由4n1an4log2bn3,得bn2n1,nN.(2)由(1)知anbn(4n1)·2n1,nN,所以Tn37×211×22(4n1)·2n1,2Tn3×27×22(4n5)·2n1(4n1)·2n,所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5,nN.考題分析數(shù)列的求和是高考的必考內(nèi)容,可單獨(dú)命題,也可與函數(shù)、不等式等綜合命題,求解的過程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,解答此類題目需重點(diǎn)掌握幾類重要的求和方法,并加以靈活應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一:裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和【例1】(2012·門頭溝一模)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn(nN),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.審題導(dǎo)引(1)運(yùn)用公式an求an,注意n1時(shí)通項(xiàng)公式an;(2)裂項(xiàng)法求和規(guī)范解答(1)由已知,當(dāng)n1時(shí),a1S12,當(dāng)n2時(shí),anSnSn12n1,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(2)由(1)知,bn當(dāng)n1時(shí),T1b1,當(dāng)n2時(shí),Tnb1b2bn,bn的前n項(xiàng)和Tn.【規(guī)律總結(jié)】常用的裂項(xiàng)技巧和方法用裂項(xiàng)相消法求和是最難把握的求和問題之一,其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向突破這類問題的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),掌握一些常見的裂項(xiàng)技巧,如:(1);(2)();(3)CCC;(4)n·n!(n1)!n!等易錯(cuò)提示利用裂項(xiàng)相消法解決數(shù)列求和問題,容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩個(gè)方面:(1)裂項(xiàng)過程中易忽視常數(shù),如容易誤裂為,漏掉前面的系數(shù);(2)裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或添項(xiàng)的問題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤【變式訓(xùn)練】1(2012·大連模擬)已知函數(shù)f(x),數(shù)列an滿足a11,an1f(an)(nN)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;(2)若數(shù)列bn滿足bnanan1·3n,Snb1b2bn,求Sn.解析(1)由已知,an1,1.3,并且,數(shù)列為以為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,·3n1,an.(2)bn,Snb1b2bn.考點(diǎn)二:錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和【例2】(2012·濱州模擬)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知an12Sn2(nN)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)在an與an1之間插入n個(gè)數(shù),使這n2個(gè)數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.審題導(dǎo)引(1)利用遞推式消去Sn可求an;(2)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和規(guī)范解答(1)由an12Sn2(nN),得an2Sn12(nN,n2),兩式相減得an1an2an,即an13an(nN,n2),又a22a12,an是等比數(shù)列,所以a23a1,則2a123a1,a12,an2·3n1.(2)由(1)知an12·3n,an2·3n1.an1an(n1)dn,dn,令Tn,則TnTn得Tn×.【規(guī)律總結(jié)】錯(cuò)位相減法的應(yīng)用技巧(1)設(shè)數(shù)列an為等差數(shù)列,數(shù)列bn為等比數(shù)列,求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)需注意:(2)給數(shù)列和Sn的等式兩邊所乘的常數(shù)應(yīng)不為零,否則需討論;在轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和后,求其和時(shí)需看準(zhǔn)項(xiàng)數(shù),不一定為n.【變式訓(xùn)練】2已知等差數(shù)列an滿足:an1an(nN),a11,該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1、1、3后順次成為等比數(shù)列bn的前三項(xiàng)(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)Tn(nN),若Tnc(cZ)恒成立,求c的最小值解析(1)設(shè)d、q分別為數(shù)列an的公差、數(shù)列bn的公比由題意知,a11,a21d,a312d,分別加上1、1、3得2、2d、42d,(2d)22(42d),d±2.an1an,d0,d2,an2n1(nN),由此可得b12,b24,q2,bn2n(nN)(2)Tn,Tn.由得Tn.Tn133,Tn33.使Tnc(cZ)恒成立的c的最小值為3.考點(diǎn)三:數(shù)列與不等式的綜合問題【例3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sna(Snan1)(a為常數(shù),且a0,a1)(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bnaSn·an,若數(shù)列bn為等比數(shù)列,求a的值;(3)在滿足條件(2)的情形下,設(shè)cn,數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn2n.審題導(dǎo)引第(1)問先利用anSnSn1(n2)把Sn與an的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為an與an1之間的關(guān)系,判斷數(shù)列的性質(zhì),求其通項(xiàng)公式;(2)根據(jù)第(1)問,求出數(shù)列bn的前三項(xiàng),利用bb1×b3列出方程即可求得a的值;(3)先求出數(shù)列cn的通項(xiàng)公式,根據(jù)所求證問題將其放縮,然后利用數(shù)列求和公式證明規(guī)范解答(1)當(dāng)n1時(shí),S1a(S1a11),得a1a.當(dāng)n2時(shí),Sna(Snan1),Sn1a(Sn1an11),兩式相減得ana·an1,得a.即an是等比數(shù)列所以ana·an1an.(2)由(1)知bn(an)2an,bn,若bn為等比數(shù)列,則有bb1b3,而b12a2,b2a3(2a1),b3a4(2a2a1),故a3(2a1)22a2·a4(2a2a1),解得a,再將a代入bn,得bnn,結(jié)論成立,所以a.(3)證明由(2),知ann,所以cn2.所以cn2.Tnc1c2cn2n2n.結(jié)論成立【規(guī)律總結(jié)】數(shù)列與不等式綜合問題的解題方法(1)在解決與數(shù)列有關(guān)的不等式問題時(shí),需注意應(yīng)用函數(shù)與方程的思想方法,如函數(shù)的單調(diào)性、最值等(2)在數(shù)列的恒成立問題中,有時(shí)需先求和,為了證明的需要,需合理變形,常用到放縮法,常見的放縮技巧有:;2()2();利用(1x)n的展開式進(jìn)行放縮【變式訓(xùn)練】3已知數(shù)列bn滿足:bn1bn,且b1,Tn為bn的前n項(xiàng)和(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求bn的通項(xiàng)公式;(2)如果對(duì)任意nN,不等式2n7恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍解析(1)證明對(duì)任意nN,都有bn1bn,所以bn1,則是等比數(shù)列,首項(xiàng)為b13,公比為,所以bn3×n1,即bn3×n1.(2)因?yàn)閎n3×n1,所以Tn36.因?yàn)椴坏仁?n7,化簡,得k,對(duì)任意nN恒成立,設(shè)cn,則cn1cn,當(dāng)n5時(shí),cn1cn,數(shù)列cn為單調(diào)遞減數(shù)列;當(dāng)1n5時(shí),cn1cn,數(shù)列cn為單調(diào)遞增數(shù)列而c4c5,所以n5時(shí),cn取得最大值.所以要使k對(duì)任意nN恒成立,k.名師押題高考【押題1】在數(shù)列an中,an,又bn,則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn_.解析an(123n),bn8數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn88.答案押題依據(jù)求數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列的前n項(xiàng)和都是高考的熱點(diǎn)本題綜合考查了以上兩點(diǎn)及等差數(shù)列的求和公式,考查數(shù)列知識(shí)全面,綜合性較強(qiáng),故押此題【押題2】已知數(shù)列an是首項(xiàng)a11的等比數(shù)列,且an0,bn是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,又a5b321,a3b513.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解析(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q,bn的公差為d,則由已知條件得:,解之得:.an2n1,bn1(n1)×22n1.(2)由(1)知.Sn.Sn.得:Sn1n1.Sn3.押題依據(jù)數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減法因運(yùn)算量較大,結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜能夠較好地考查考生的運(yùn)算能力,有很好的區(qū)分度,而備受命題者青睞本題綜合考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及錯(cuò)位相減法求和,難度中等,故押此題 - 9 -

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