2021屆高三數(shù)學二輪復習 必考問題專項突破8 平面向量線性運算及綜合應用問題 理

必考問題8平面向量線性運算及綜合應用問題1(2012·廣東)若向量(2,3)，(4,7)，則()A(2，4) B(2,4) C(6,10) D(6，10)答案： A抓住向量的起點與終點，用終點坐標減去起點坐標即可由于(2,3)，(4,7)，那么(2,3)(4，7)(2，4)2(2012·四川)設a，b都是非零向量下列四個條件中，使成立的充分條件是()Aab Bab Ca2b Dab且|a|b|答案：C對于A，注意到當ab時，；對于B，注意到當ab時，與可能不相等；對于C，當a2b時，；對于D，當ab，且|a|b|時，可能有ab，此時.綜上所述，使成立的充分條件是a2b.3(2012·浙江)設a，b是兩個非零向量，下列選項正確的是()A若|ab|a|b|，則abB若ab，則|ab|a|b|C若|ab|a|b|，則存在實數(shù)，使得baD若存在實數(shù)，使得ba，則|ab|a|b|答案：C對于A，可得cosa，b1，因此ab不成立；對于B，滿足ab時，|ab|a|b|不成立；對于C，可得cosa，b1，因此成立，而D顯然不一定成立4(2012·新課標全國)已知向量a，b夾角為45°，且|a|1，|2ab|，則|b|_.解析依題意，可知|2ab|24|a|24a·b|b|244|a|b|·cos 45°|b|242|b|b|210，即|b|22|b|60，|b|3(負值舍去)答案31高考一般會以客觀題的形式重點考查向量的線性運算及其應用，向量的垂直、平移、夾角和模的運算，向量的幾何運算等2平面向量作為工具在考查三角函數(shù)、平面解析幾何等內(nèi)容時常用到，屬于中等偏難題1要理解平面向量具有兩個方面的特征：幾何特征和代數(shù)特征，可以認為平面向量是聯(lián)系幾何圖形和代數(shù)運算的紐帶，因此復習時要抓住平面向量的核心特征2由于平面向量在三角函數(shù)、平面解析幾何中的工具作用，所以備考時要熟練掌握平面向量的基礎知識.必備知識向量的概念(1)零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意非零向量都共線，記為0.(2)長度等于1個單位長度的向量叫單位向量，a的單位向量為±.(3)方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量)(4)如果直線l的斜率為k，則a(1，k)是直線l的一個方向向量(5)向量的投影：|b|cosa，b叫做b在向量a方向上的投影向量的運算(1)向量的加法、減法、數(shù)乘向量是向量運算的基礎，應熟練掌握其運算規(guī)律(2)平面向量的數(shù)量積的結果是實數(shù)，而不是向量，要注意運算數(shù)量積與實數(shù)運算律的差異，平面向量的數(shù)量積不滿足結合律與消去律a·b運算結果不僅與a，b的長度有關而且與a與b的夾角有關，即a·b|a|b|cosa，b兩非零向量平行、垂直的充要條件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abab，abx1y2x2y10.aba·b0，abx1x2y1y20.可利用它處理幾何中的兩線平行、垂直問題，但二者不能混淆必備方法1當向量以幾何圖形的形式出現(xiàn)時，要把這個幾何圖形中的一個向量用其余的向量線性表示，就要根據(jù)向量加減法的法則進行，特別是減法法則很容易使用錯誤，向量(其中O為我們所需要的任何一個點)，這個法則就是終點向量減去起點向量2根據(jù)平行四邊形法則，對于非零向量a，b，當|ab|ab|時，平行四邊形的兩條對角線長度相等，此時平行四邊形是矩形，條件|ab|ab|等價于向量a，b互相垂直，反之也成立3兩個向量夾角的范圍是0，在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個向量夾角可能是0或的情況，如已知兩個向量的夾角為鈍角時，不單純就是其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線?？疾槠矫嫦蛄康幕靖拍?、線性運算、加減運算等基礎知識同時，要加強三角形法則、平行四邊形法則應用技巧的訓練和常用結論的記憶，難度以中低檔為主【例1】 (2010·湖北)已知ABC和點M滿足0，若存在實數(shù)m使得m成立，則m()A2 B3 C4 D5審題視點 聽課記錄審題視點 由0, 可知M是ABC的重心B0，點M是ABC的重心3 .m3. (1)在用三角形加法法則時要保證“首尾相接”，結果向量是第一個向量的起點指向最后一個向量終點所在的向量；在用三角形減法法則時要保證“同起點”，結果向量的方向是指向被減向量(2)有的問題可以采用坐標化解決更簡單【突破訓練1】 如圖，平面內(nèi)有三個向量，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且|1，|2，若(，R)，則的值為_解析法一如圖，11，|1|2，|1|4，42.6.法二以O為原點，OA為x軸建立直角坐標系，則A(1,0)，C(2 cos 30°，2sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°)即A(1,0)，C(3，)，B，.由得，6.答案6數(shù)量積是平面向量最易考查的知識點，常考查：直接利用數(shù)量積運算公式進行運算；求向量的夾角、模，或判斷向量的垂直關系，試題較容易也常常與解析幾何結合命制解答題【例2】 (2012·臨沂質(zhì)檢)如圖，ABC中，C90°，且ACBC3，點M滿足2，則·()A2 B3C4 D6審題視點 聽課記錄審題視點 用向量、表示B·()·2·2·()23. 平面向量問題的難點就是把平面向量的幾何運算與數(shù)量積運算的結合，這里要充分利用平面向量的幾何運算法則、平面向量的共線向量定理、兩向量垂直的條件以及平面向量數(shù)量積的運算法則，探究解題的思想【突破訓練2】 (2012·重慶)設x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，則|ab|()A. B. C2 D10答案：B由題意可知，解得故ab(3，1)，|ab|，選B.在近年高考中，三角函數(shù)與平面向量相結合來命制綜合問題是高考考查的熱點，三角函數(shù)的變換與求值、化簡及解三角形等問題常以向量為載體，復習時應注意解題的靈活性，難度不大【例3】 (2012·河北衡水調(diào)研)已知向量a(sin x，1)，b.(1)當ab時，求cos2x3sin 2x的值；(2)求f(x)(ab)·b的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間審題視點 聽課記錄審題視點 (1)由向量平行列方程解出tan x的值，所求式子轉(zhuǎn)化成正切單角名稱的三角代數(shù)式，代入可求解；(2)進行向量坐標形式的數(shù)量積運算得到f(x)的解析式，轉(zhuǎn)化為yAsin (x)b的函數(shù)結構解(1)由ab，得sin xcos x0，即tan x，cos2x3sin 2x.(2)因為a(sin x，1)，bcos x，absin xcos x，；f(x)(ab)·b(sin xcos x)cos x(sin 2xcos 2x)sin2x，所以最小正周期為.由2k2x2k，得kxk，故單調(diào)遞增區(qū)間為k，k(kZ) 平面向量與三角函數(shù)結合的這類題目的解題思路通常是將向量的數(shù)量積與模經(jīng)坐標運算后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，然后利用三角函數(shù)基本公式求解【突破訓練3】 在ABC中，角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c，且滿足cos ，·3.(1)求ABC的面積；(2)若bc6，求a的值解(1)因為cos ，所以cos A2cos21，sin A，又由·3，得bccos A3，所以bc5，所以SABCbcsin A2.(2)對于bc5，又bc6，所以b5，c1或b1，c5，由余弦定理得，a2b2c22bccos A20，所以a2.突破平面向量的得分障礙近幾年高考對平面向量的考查突出了“創(chuàng)新性”與“靈活性”，其實質(zhì)可以歸源于平面向量的幾何特征和代數(shù)特征試題常以選擇、填空的形式考查，難度較大平面向量問題的難點就是平面向量的幾何運算與數(shù)量積運算的結合，這里要充分利用向量的幾何運算法則、共線向量定理，下面舉例說明【示例1】 (2012·北京)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則·的值為_；·的最大值為_解析以，為基向量，設(01)，則，所以·()·()·2×011.又，所以·()·2·×101，即·的最大值為1.答案11老師叮嚀：本題考查了平面向量的線性運算、幾何運算和數(shù)量積運算.求·值時，不會利用平面向量的幾何運算法則將其轉(zhuǎn)化為··是造成失分的主要原因.【試一試1】 (2011·新課標全國)已知a與b均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題：p1：|ab|>1；p2：|ab|>1；p3：|ab|>1；p4：|ab|>1.其中的真命題是()Ap1，p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p4答案：A|a|b|1，且0，若|ab|1，則(ab)21，a22a·bb21，即a·b，cos a·b，；若|ab|1，同理求得a·b，cos a·b，故p1，p4正確，應選A.【示例2】 (2011·遼寧)若a，b，c均為單位向量，且a·b0，(ac)·(bc)0，則|abc|的最大值為()A.1 B1 C. D2解析設a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，則x2y21，ac(1x，y)，bc(x，1y)，則(ac)·(bc)(1x)(x)(y)·(1y)x2y2xy1xy0，即xy1.又abc(1x，1y)，|abc| ，法一如圖，c(x，y)對應點在上，而式的幾何意義為P點到上點的距離，其最大值為1.法二|abc|，由xy1，|abc|1，最大值為1.答案B老師叮嚀：解決本題的關鍵是將向量坐標化，利用向量的坐標運算解決問題.其中，不會將向量坐標化是造成失分的主要原因.【試一試2】 (2012·天津)已知ABC為等邊三角形，AB2.設點P，Q滿足，(1)，R，若·，則()A. B. C. D.答案：A|a|b|1，且0，若|ab|1，則(ab)21，a22a·bb21，即a·b，cos a·b，；若|ab|1，同理求得a·b，cos a·b，故p1，p4正確，應選A.8