2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破10 數(shù)列求和 理

必考問題10數(shù)列求和1(2012·全國)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a55，S515，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為()A. B. C. D.答案： A設(shè)數(shù)列an的公差為d，則a14d5，S55a1d15，得d1，a11，故an1(n1)×1n，所以，所以S10011，故選A.2(2011·全國)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，則k()A8 B7 C6 D5答案：Dan是等差數(shù)列，a11，d2，an2n1.由已知得Sk2Skak2ak12(k2)2(k1)24k424，所以k5，故選D.3(2010·福建)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a111，a4a66，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于()A6 B7 C8 D9答案：Aan是等差數(shù)列，a4a62a56，即a53，d2得an是首項(xiàng)為負(fù)數(shù)的遞增數(shù)列，所有的非正項(xiàng)之和最小a61，a71，當(dāng)n6時(shí)，Sn取最小故選A.4(2011·江西)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足SnSmSnm，且a11，那么a10_.解析SnSmSnm，且a11，S11，可令m1，得Sn1Sn1，Sn1Sn1，即當(dāng)n1時(shí)，an11，a101.答案1本部分是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，題型有選擇題、填空題和解答題對(duì)于數(shù)列的通項(xiàng)問題，求遞推數(shù)列(以遞推形式給出的數(shù)列)的通項(xiàng)是一個(gè)難點(diǎn)，而數(shù)列的求和問題多從數(shù)列的通項(xiàng)入手，并與不等式證明或求解結(jié)合，有一定難度(1)牢固掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的遞推公式和通項(xiàng)公式，以一階線性的遞推公式求通項(xiàng)的六種方法(觀察法、構(gòu)造法、猜歸法、累加法、累積法、待定系數(shù)法)為依托，掌握常見的遞推數(shù)列的解題方法對(duì)于既非等差又非等比的數(shù)列要綜合運(yùn)用觀察、歸納、猜想、證明等方法進(jìn)行研究，要善于將其轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，這是一種非常重要的學(xué)習(xí)能力(2)對(duì)于數(shù)列求和部分的復(fù)習(xí)要注意以下幾點(diǎn)：熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式及其應(yīng)用，這是數(shù)列求和的基礎(chǔ)；掌握好分組、裂項(xiàng)、錯(cuò)位相減、倒序相加法這幾種重要的求和方法，特別要掌握好裂項(xiàng)與錯(cuò)位相減求和的方法，這是高考考查的重點(diǎn)；掌握一些與數(shù)列求和有關(guān)的綜合問題的解決方法，如求數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，研究前n項(xiàng)和所滿足的不等式等.必備知識(shí)求通項(xiàng)公式的方法(1)觀察法：找項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，然后猜想檢驗(yàn)，即得通項(xiàng)公式an；(2)利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系an(3)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式；(4)累加法：如an1anf(n)，累積法，如f(n)；(5)轉(zhuǎn)化法：an1AanB(A0，且A1)常用公式等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，123n，122232n2.常用裂項(xiàng)方法(1)；(2).必備方法1利用轉(zhuǎn)化，解決遞推公式為Sn與an的關(guān)系式：數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：an通過紐帶：anSnSn1(n2)，根據(jù)題目求解特點(diǎn)，消掉一個(gè)an或Sn.然后再進(jìn)行構(gòu)造成等差或者等比數(shù)列進(jìn)行求解如需消掉Sn，可以利用已知遞推式，把n換成(n1)得到新遞推式，兩式相減即可若要消掉an，只需把a(bǔ)nSnSn1代入遞推式即可不論哪種形式，需要注意公式anSnSn1成立的條件n2.2裂項(xiàng)相消法的基本思想是把數(shù)列的通項(xiàng)an分拆成anbn1bn或者anbnbn1或者anbn2bn等，從而達(dá)到在求和時(shí)逐項(xiàng)相消的目的，在解題中要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列an的通項(xiàng)公式，使之符合裂項(xiàng)相消的條件3錯(cuò)位相減法適用于數(shù)列由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的數(shù)列的求和，乘以等比數(shù)列的公比再錯(cuò)位相減，即依據(jù)是：cnanbn，其中an是公差為d的等差數(shù)列，bn是公比為q(q1)的等比數(shù)列，則qcnqanbnanbn1，此時(shí)cn1qcn(an1an)bn1dbn1，這樣就把對(duì)應(yīng)相減的項(xiàng)變?yōu)榱艘粋€(gè)等比數(shù)列，從而達(dá)到求和的目的.數(shù)列的遞推關(guān)系一直是高考“久考不衰”的考點(diǎn)，具有題型新穎、方法靈活等特點(diǎn)，求通項(xiàng)的常用方法有：定義法、公式法、累加法、累乘法、構(gòu)造轉(zhuǎn)化法等【例1】 已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1，且an1，n1，2，.(1)證明：數(shù)列1是等比數(shù)列；(2)令bn1，試求數(shù)列n·bn的前n項(xiàng)和Sn.審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 對(duì)于第(1)問，由條件利用等比數(shù)列的定義即可證明；對(duì)于第(2)問，求數(shù)列n·bn的前n項(xiàng)和Sn，只需利用錯(cuò)位相減法即可(1)證明由已知，得·，n1,2，11，n1,2，.數(shù)列是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列(2)解由bn1(n1)，得Sn1·b12·b23·b3(n1)·bn1n·bn1·2·3·(n1)·n·.Sn1·2·3·(n1)·n·.Snn·n·.Sn1n·. 對(duì)于由數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)an的問題，一般有以下幾種題型：(1)類型an1cand(c0,1)，可以通過待定系數(shù)法設(shè)an1c(an)，求出后，化為等比數(shù)列求通項(xiàng)；(2)類型an1anf(n)與an1f(n)·an，可以分別通過累加、累乘求得通項(xiàng)；(3)類型an1canrn(c0，r0)，可以通過兩邊除以rn1，得·，于是轉(zhuǎn)化為類型(1)求解【突破訓(xùn)練1】 在數(shù)列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)證明：數(shù)列ann是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；(3)證明：不等式Sn14Sn對(duì)任意nN*皆成立(1)證明由題設(shè)an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以數(shù)列ann是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列(2)解由(1)可知ann4n1，于是數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an4n1n.所以，數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.(3)證明對(duì)任意的nN*，Sn14Sn4(3n2n4)0，所以不等式Sn14Sn對(duì)任意nN*皆成立裂項(xiàng)法求和是近幾年高考的熱點(diǎn)，試題設(shè)計(jì)年年有變、有創(chuàng)新，但變的僅僅是試題的外殼，有效地轉(zhuǎn)化、化歸問題是解題的關(guān)鍵，常與不等式綜合命制解答題【例2】 已知二次函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)6x2，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使得Tn對(duì)所有n(nN*)都成立的最小正整數(shù)m.審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)由f(x)6x2可求f(x)，則可得Sn與n的關(guān)系式，再由anSnSn1(n2)求an.(2)由裂項(xiàng)求和求Tn，再由單調(diào)性求Tn的最大值解(1)設(shè)函數(shù)f(x)ax2bx(a0)，則f(x)2axb，由f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.又因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上，所以Sn3n22n.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5.當(dāng)n1時(shí)，a1S13×122×11，所以，an6n5(nN*)(2)由(1)知bn，故Tnb1b2bn11.因此，要使1(nN*)成立，則m需滿足即可，則m10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10. 使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的【突破訓(xùn)練2】 已知數(shù)列an是首項(xiàng)a1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn中S3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(解(1)若q1，則S3不符合題意，q1.當(dāng)q1時(shí)，由得q.an·n1n1.(2)bnlog|an|logn1，Tn.錯(cuò)位相減法求和作為求和的一種方法在近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，復(fù)習(xí)時(shí)要熟練掌握錯(cuò)位相減法求和的特點(diǎn)【例3】 (2012·淄博一模)已知數(shù)列an中，a15且an2an12n1(n2且nN*)(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an1的前n項(xiàng)和Sn.審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)作差：后，把a(bǔ)n2an12n1代入；(2)求出an1，利用錯(cuò)位相減法求和(1)證明設(shè)bn，b12.bnbn1(an2an1)1(2n1)11.所以數(shù)列為首項(xiàng)是2，公差是1的等差數(shù)列(2)解由(1)知，(n1)×1，an1(n1)·2n.Sn2·213·22n·2n1(n1)·2n，2Sn2·223·23n·2n(n1)·2n1.，得Sn4(22232n)(n1)·2n1，Sn44(2n11)(n1)·2n1，Snn·2n1. 錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和是一類重要方法在應(yīng)用這種方法時(shí)，一定要抓住數(shù)列的特征即數(shù)列的項(xiàng)可以看作是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得數(shù)列的求和問題所謂“錯(cuò)位”，就是要找“同類項(xiàng)”相減，要注意的是相減后得到部分等比數(shù)列的和，此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù)【突破訓(xùn)練3】 (2012·天津)已知an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)記Tnanb1an1b2a1bn，nN*，證明：Tn122an10bn(nN*)(1)解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由條件，得方程組解得所以an3n1，bn2n，nN*.(2)證明法一由(1)得Tn2an22an123an22na1，2Tn22an23an12na22n1a1.由，得Tn2(3n1)3×223×233×2n2n22n26n210×2n6n10.而2an10bn122(3n1)10×2n1210×2n6n10，故Tn122an10bn，nN*.法二當(dāng)n1時(shí)，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；證明：假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即Tk122ak10bk，則當(dāng)nk1時(shí)有：Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1ak1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112即Tk1122ak110bk1.因此nk1時(shí)等式也成立由和，可知對(duì)任意nN*，Tn122an10bn成立數(shù)列綜合題中的轉(zhuǎn)化與推理數(shù)列是一個(gè)既有相對(duì)獨(dú)立性，又與其他知識(shí)易交匯的知識(shí)點(diǎn)，命題者為體現(xiàn)考查思維的綜合性與創(chuàng)新性，經(jīng)常讓數(shù)列與一些其他知識(shí)交匯，有效地考查考生對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法的深刻理解，以及考生的數(shù)學(xué)潛能與思維品質(zhì)因此，要利用轉(zhuǎn)化與推理將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，降低問題難度【示例】 (2012·湖南)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2，n1,2，.(1)若a11，a25，且對(duì)任意nN*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意nN*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列滿分解答(1)對(duì)任意nN*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)成等差數(shù)列，所以B(n)A(n)C(n)B(n)，即an1a1an2a2，亦即an2an1a2a14.故數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列于是an1(n1)×44n3.(5分)(2)必要性：若數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，則對(duì)任意nN*，有an1anq.由an0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是q，q，即q，所以三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列(8分)充分性：若對(duì)任意nN*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列，則B(n)qA(n)，C(n)qB(n)于是C(n)B(n)qB(n)A(n)，得an2a2q(an1a1)，即an2qan1a2qa1.由n1有B(1)qA(1)，即a2qa1，從而an2qan10.因?yàn)閍n0，所以q.故數(shù)列an是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列綜上所述，數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意nN*，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列(12分)老師叮嚀：本題看似新穎，但揭開面紗卻很平常.它很好地考查了考生的應(yīng)試心理和推理論證的能力，用到的知識(shí)卻很簡單，失去信心是本題失分的主要原因.第(1)問根據(jù)B(n)A(n)C(n)B(n)即可輕松解決；第(2)問需分充分性和必要性分別證明，其依據(jù)完全是非常簡單的等比數(shù)列的定義，其關(guān)鍵是要有較好的推理論證能力.【試一試】 (2012·山東)在等差數(shù)列an中，a3a4a584，a973.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)任意mN*，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列bm的前m項(xiàng)和Sm.解(1)因?yàn)閍n是一個(gè)等差數(shù)列，所以a3a4a53a484，a428.設(shè)數(shù)列an的公差為d，則5da9a4732845，故d9.由a4a13d得，28a13×9，即a11.所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)對(duì)mN*，若9man92m，則9m89n92m8.因此9m11n92m1.故得bm92m19m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1).10