數(shù)學(xué) 第一部分 研究 第四章 三角形 第二節(jié) 三角形及其性質(zhì)

第四章第四章 三角形三角形 第二節(jié)第二節(jié) 三角形及其性質(zhì)三角形及其性質(zhì) 考點(diǎn)考點(diǎn)精講精講三角形及三角形及其性質(zhì)其性質(zhì)三角形及其三角形及其邊角關(guān)系邊角關(guān)系三角形的分類三角形的分類三角形邊角關(guān)系三角形邊角關(guān)系三角形中的重要線段三角形中的重要線段特殊三角形的特殊三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)與判定等腰三角形等腰三角形等邊三角形等邊三角形直角三角形直角三角形三角形三角形的分類的分類按邊分按邊分不等邊三角形不等邊三角形: :三條邊都不想等三條邊都不想等 ：有兩條邊相等：有兩條邊相等等邊三角形：三條邊都相等等邊三角形：三條邊都相等按角分按角分銳角三角形：三個角都是銳角銳角三角形：三個角都是銳角 ：有一個角為：有一個角為9090鈍角三角形：有一個角是鈍角鈍角三角形：有一個角是鈍角等腰三角形等腰三角形直角三角形直角三角形角的關(guān)系角的關(guān)系內(nèi)角和等于內(nèi)角和等于任意一個外角任意一個外角 與它不相鄰的與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和兩個內(nèi)角之和任意一個外角任意一個外角大于任何一個大于任何一個和它不相和它不相鄰的內(nèi)角鄰的內(nèi)角三三角角形形邊邊角角關(guān)關(guān)系系三角形兩邊之和三角形兩邊之和 第三邊，兩邊之第三邊，兩邊之差差 第三邊，即第三邊，即a+bc，a-b8，848，能構(gòu)成三角形，符合題意，三角形能構(gòu)成三角形，符合題意，三角形的周長為的周長為88420 cm.練習(xí)練習(xí)2 2 (20162016遵義遵義)如圖，在如圖，在ABC中，中，ABBC，ABC110.AB的垂直平分線的垂直平分線DE交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)D，連接，連接BD，則，則ABD 度度【解析【解析】ABBC，ABC110，AC35，DE垂直平分垂直平分AB，DADB，AABD35.35例例 2 2(2016(2016沈陽沈陽) )如圖，在如圖，在RtABC中，中，C90，B30，AB8，則，則BC的長是的長是()A. B.C. D.4334D二二二二二二二二直角三角形的相關(guān)證明及計算直角三角形的相關(guān)證明及計算3438【解析】【解析】在在RtABC中，中，AB8，B30，AC AB4，由勾股定理得，由勾股定理得，BC 4 .二二二二二二213ACAB221664練習(xí)練習(xí)3 3 (2016(2016東營東營) )在在ABC中，中，AB10，AC ，BC邊上的高邊上的高AD6，則另一邊，則另一邊BC等于等于 ( )A10 B8 C6或或10 D8或或10102C【解析【解析】如解圖如解圖，當(dāng)，當(dāng)ABC是銳角三角形時：在是銳角三角形時：在RtABD中，中，BD 8，同理在，同理在RtACD中，中，DC2，所以，所以BC10；如解圖；如解圖，當(dāng)，當(dāng)ABC是鈍角三角形是鈍角三角形時：在時：在RtABD中，中，BD 8，同理在，同理在RtACD中，中，DC2，所以，所以BC6.ADAB22ADAB22練習(xí)練習(xí)3題解圖題解圖例例 3 (20163 (2016重慶巴蜀中學(xué)期末考試重慶巴蜀中學(xué)期末考試) )如圖所示，在如圖所示，在RtABC中，中，C90，點(diǎn)，點(diǎn)D是線段是線段CA延長線上一延長線上一點(diǎn)，且點(diǎn)，且ADAB.點(diǎn)點(diǎn)F是線段是線段AB上一點(diǎn)，連接上一點(diǎn)，連接DF，以，以DF為斜邊作等腰為斜邊作等腰RtDFE，連接，連接EA，EA滿足條件滿足條件EAAB.(1)若若AEF20，ADE50，AC2，求，求AB的的長度；長度；(2)求證：求證：AEAFBC.(1)(1)【思維教練【思維教練】在在RtABC中，已知中，已知AC的值，要求的值，要求AB的值，由題知的值，由題知AEF20，可想到需求出，可想到需求出BAC的值即可又的值即可又EAAB，只需求，只需求DAE即可根據(jù)已知即可根據(jù)已知條件即可求解條件即可求解解：解：如解圖如解圖，在在RtDEF中中，DEF90，120，2DEF170，EDA23180，360，EAAB，EAB90，3EAB4180，430，C90，cos4 ，AB .ABAC4cosAC232334(2)(2)【思維教練【思維教練】由圖知由圖知AE、AF、BC在兩個三角形中，要想證在兩個三角形中，要想證AEAFBC，需將三條線段轉(zhuǎn)換到一個三角形中且已知，需將三條線段轉(zhuǎn)換到一個三角形中且已知BC、AF均在直角三角形中，想到作輔助線，即過點(diǎn)均在直角三角形中，想到作輔助線，即過點(diǎn)D作作DMAE于點(diǎn)于點(diǎn)M，然后通過運(yùn)用全等三角形的判定及性質(zhì)證明即可，然后通過運(yùn)用全等三角形的判定及性質(zhì)證明即可證明：證明：如解圖如解圖，過過D作作DMAE于點(diǎn)于點(diǎn)M，在在DEM中中，2590，2190，15，DEFE，DMEEAF，在在DEM與與EFA中中， , , DEMEFA(AAS)，AFME，4B90，3EAB4180，EAB90，3490，3B，在在DAM與與ABC中中，EFDEEAFDME15 DAMABC(AAS)，BCAM，AEEMAMAFBC.,3ABADCDMAB練習(xí)練習(xí)4 4 如圖，在等腰如圖，在等腰RtABC中，中，ABC9090，ABBC，D為斜邊為斜邊AC延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作作BC的的垂線交其延長線于點(diǎn)垂線交其延長線于點(diǎn)E，在，在AB的延長線上取一點(diǎn)的延長線上取一點(diǎn)F，使得使得BFCE，連接，連接EF.(1)(1)若若AB2 2，BF3 3，求，求AD的長度；的長度；(2)(2)G為為AC中點(diǎn)，連接中點(diǎn)，連接GF，求證：，求證：AFGBEFGFE.(1)解：解：DEBE，ABBE，DE / AB，ABCDEC，CDE為等腰直角三角形為等腰直角三角形，DECEBF3，CD ，AB2，AC ，ADACCD .252223(2)證明證明：如解圖，連接：如解圖，連接EG、BG，點(diǎn)點(diǎn)G是等腰直角是等腰直角ABC斜邊斜邊AC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BGCG，ABGACB45，GBFGCE135，在在GBF和和GCE中，中， GBF GCE(SAS)，CEBFGCEGBFGCBGGEGF，BGFCGE，AFGBEG，BGFFGC90，CGEFGC90，即，即EGF90，EFG為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，GFEGEF45，GEFBEGBEF，GEFAFGBEF，AFGBEFGFE.