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2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo) 第五十講《生活中的數(shù)學(xué)(三)——鏡子中的世界》教案1 北師大版

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2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo) 第五十講《生活中的數(shù)學(xué)(三)——鏡子中的世界》教案1 北師大版

2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)第五十講生活中的數(shù)學(xué)(三)鏡子中的世界教案1北師大版在日常生活中,人們?yōu)榱擞^察自己的服裝儀表是否整潔漂亮,常常要照鏡子.如果鏡面是很平的,那么在鏡子中,人或物體與其像是完全一樣的.而且我們都有這樣的經(jīng)驗(yàn):當(dāng)人走近鏡面,人在鏡中的像也走進(jìn)鏡面;當(dāng)人遠(yuǎn)離鏡面,人在鏡中的像也遠(yuǎn)離鏡面.如果你留心的話,就可以發(fā)現(xiàn):人和像與鏡面的距離保持相等(圖2-155),這種現(xiàn)象叫作面對(duì)稱.如果我們只取一個(gè)側(cè)面,那么鏡面就可用一條直線來表示,人和人在鏡中的像可用一個(gè)平面圖形來表示,這樣,人、像與鏡就成了軸對(duì)稱,也叫直線對(duì)稱(圖2-155).如果實(shí)物是ABC,那么它在鏡中的像就成了圖形AA,BzC'.直線l表示鏡,這時(shí)稱lABC和AA,BzC'的對(duì)稱軸(圖2-156)圖中,A與A,B與Bz,C與C'是對(duì)稱點(diǎn).以對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)所連結(jié)的線段AA,BB,CC,被對(duì)稱軸l垂直平分,因此,如果以直線l為折痕,把AABC翻折過來,它必與AA,B,C,重合,所以成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形必全等.例1設(shè)圖形ABCDEF是半個(gè)蝴蝶形(圖2-157(a),試以直線l為對(duì)稱軸,畫出整個(gè)蝴蝶來.11(a)EJQE(b)圖Z-157解為了畫出整個(gè)蝴蝶,只需要畫出圖形ABCDEF關(guān)于直線l的軸對(duì)稱圖形就可以了.因?yàn)锳點(diǎn)、F點(diǎn)在直線l上,所以它們的對(duì)稱點(diǎn)分別和A,F(xiàn)是同一點(diǎn),這樣,只要畫出B,C,D,E關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)就行了.為此,先分別過B,C,D,E向l作垂線,設(shè)垂足分別為M,N,P,Q,然后在BM,CN,DP,EQ的延長線上取B,C',D'和E'點(diǎn),使得BzM=MB,CzN=NC,DzP=PD,EzQ=QE,最后連結(jié)AB',BC,CzD',D'E',E'F,于是就得到完整的蝴蝶形ABCDEFE'D'CB了(圖2-157(b).例2設(shè)直線L和直線l2平行,且L和l2間的距離為a.如果線段AB在l勺右側(cè),并設(shè)AB關(guān)于l;的對(duì)稱圖形是A'B'',而A'B'關(guān)于l2的對(duì)稱圖形是AB;(圖2-158),那么,線段AB和AB有什么關(guān)系?"簽2-158解因?yàn)長平行于l2,并且AA'A垂直于-當(dāng)然也垂直于打,同理BB'B也垂直于l和l.我們知道:“在平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”,12所以AA'ABB'B.另一方面,因?yàn)锳P=PA',A'P'=P'A,所以AA'A=2PP'=2a,同理BB'B=2a,所以AA'A=BB'B.由,可知,ABB-A卩為平行四邊舷所以a-B擰全血E.通過例2,我們可知,如果在平面上兩條直線互相平行,有一個(gè)圖形以這兩條直線為對(duì)稱軸,連續(xù)作了兩次軸對(duì)稱移動(dòng),那么相當(dāng)于這個(gè)圖形作了一次平行移動(dòng),平行移動(dòng)的距離剛好是這兩個(gè)對(duì)稱軸間距離的2倍.如果我們反復(fù)利用例2的原理,就可以做成帶形的花邊圖案.例如,我們把一張等寬的長紙條像圖2-159那樣折疊起來,并在上面用小刀刻出一個(gè)三角形的洞,然后再展開這張紙條,就會(huì)得到如圖2-160那樣的帶形圖案.I丨丨丨丨iIfa翦S-159如果我們把圖2-160中的m2,mi,mo,巴,巴,巴看成鏡子,Ao看作實(shí)物,那么A1,A2和A-1,A-2就是A0在鏡子中的像了其實(shí),圖中的A1是Ao以mo為對(duì)稱軸作對(duì)稱移動(dòng)的對(duì)稱圖形,也可以把A看作是A作一次平行移到所得到的圖形.由此,怎樣看待A1和A?的關(guān)系以及A2和Ao的關(guān)系呢?請(qǐng)同學(xué)們自己乍出回答.有了上面的知識(shí),同學(xué)們不僅可以自己設(shè)計(jì)一些帶形花邊圖案,還可以了解某些廣告上畫的花邊圖案的原理了.下面的圖2-161和圖2-162是兩個(gè)帶形圖案,你能看出它們是怎樣設(shè)計(jì)的嗎?圖2-161圖2-162如果我們把前面圖2-160中的m,m,m,m,m等看作平行的鏡子,A看作一210-1-20個(gè)人,如果這個(gè)人在鏡子中m和IQ之間反復(fù)映照,那么就會(huì)看到圖2-163的情況.m3叫ftiqm-im-2rn-3m-4九1%A-!-2A-s;1'-2-163可以想象,在鏡子m中的像A,A,A,以及在鏡子m中的像A,A,A,01231-1-2-3是無限多的.還可以知道:A在鏡m中的像是A,A在鏡m中的像是A,A在鏡0011-1-2-2m中的像是A,如此等等.因?yàn)锳和A,A和A是軸對(duì)稱移動(dòng),所以A到A是平03011202行移動(dòng).例3設(shè)直線11和直線12相交,交點(diǎn)為0,其夾角為a.如果線段AB關(guān)于1勺軸對(duì)稱圖形是AzBz,而AB'關(guān)于l的軸對(duì)稱圖形是AB.試問AB和AB2間有什么關(guān)系?(見圖2-164)解因?yàn)橐阎狝B關(guān)于11的對(duì)稱圖形是AzBZ,AZB'關(guān)于12的對(duì)稱圖形是AB,所以AB=AZBz,AzBz=AB,所以AB=AB,0國:2lE4由于ZA0P=ZAz0P,ZAzOP'=ZAOP',所以ZA0A=2ZP0P'=2a.同理ZB0B=2ZP0P'=2a,所以ZA0A=ZB0B=2a.由,可知:在平面上,如果兩條直線相交,一個(gè)圖形以這兩條直線為對(duì)稱軸,連續(xù)作兩次對(duì)稱移動(dòng),那么相當(dāng)于這個(gè)圖形以這兩條直線的交點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,以這兩條直線的交角的2倍為旋轉(zhuǎn)角,作了一個(gè)旋轉(zhuǎn)移動(dòng),在旋轉(zhuǎn)移動(dòng)下,圖形的大小不變.例4同學(xué)們小時(shí)候常常玩萬花筒,它是由三塊等寬、等長的玻璃片圍成的為什么在萬花筒中會(huì)出現(xiàn)美麗奇特的圖案呢?試用前邊的知識(shí)揭開萬花筒的秘密.解萬花筒中所以能呈現(xiàn)千變?nèi)f化、美麗而奇特的圖案,主要是利用了圖形的對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)原理.為具體說明,給出的圖2-165為萬花筒中的一個(gè)圖案,它是用一個(gè)小圓、一個(gè)平行四邊形和一段短線在萬花筒中連續(xù)反射而成的圖形.為了清楚地說明上圖形成的原理,我們?nèi)〕鰣D形中的一部分(圖2-166)加以分析.正厶ABO以O(shè)B為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱移動(dòng),就得到CB0;ACB0以O(shè)C為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱移動(dòng),就得到厶CDO.經(jīng)過這樣兩個(gè)軸對(duì)稱移動(dòng),實(shí)際上相當(dāng)于ABO以0為中心,以120°為旋轉(zhuǎn)角,作了一個(gè)旋轉(zhuǎn)移動(dòng)這樣:點(diǎn)A-點(diǎn)C,邊A0-邊C0,點(diǎn)B-點(diǎn)D,邊AB-邊CD,點(diǎn)0-點(diǎn)0,邊B0-邊D0.在這樣旋轉(zhuǎn)移動(dòng)下ABO中的平行四邊形、小圓和曲線也跟著旋轉(zhuǎn)了120°.經(jīng)多次反復(fù),就形成了圖2-165的綺麗景色.如果同學(xué)們有興趣,可以自己在紙上再現(xiàn)萬花筒中的世界!練習(xí)二十九1. 設(shè)l和l是兩面平行相對(duì)的鏡子,如果把一個(gè)小球放在l和l之間(圖12122-167),試問:11A*:=L*魁Z167(1) 小球A在鏡l1中的像A'在什么位置?(2) 小球A在鏡li中的像A'在鏡l2中的像A又在什么位置?分別畫在圖上;(3) 小球A和像A之間的距離與l和l之間的距離有什么關(guān)系?122. 圖2-168是萬花筒中的一個(gè)圖案,其中菱形FJKG變成菱形FDAC,如果看成經(jīng)過以F點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角為x的旋轉(zhuǎn)移動(dòng)得到的,那么x等于多少度?請(qǐng)從下面的四個(gè)答案中選出一個(gè)正確的答案來.圖2168(A) 60°;(B) 120°;(0180°;(D)以上答案都不對(duì).3. 圖2-169是游樂園中的大型旋轉(zhuǎn)車的簡(jiǎn)圖,游人坐在旋轉(zhuǎn)車的車斗中,任憑旋轉(zhuǎn)車不停地旋轉(zhuǎn),但總是頭朝上,絕不會(huì)掉下來試問車斗所作的移動(dòng)是什么移動(dòng)?請(qǐng)?jiān)谙旅娲鸢钢羞x一個(gè)正確的答案.(A)旋轉(zhuǎn);(B)對(duì)稱;(C) 平移;(D)以上答案都不對(duì).4. 圖2-170表示一張長方形球臺(tái),設(shè)P,Q為兩個(gè)球,若擊P球,使它碰CD邊后,反彈正好擊中Q球.試問P應(yīng)碰撞CD邊的哪一點(diǎn)?

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