極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限PPT課件

第二章 三三 、兩個(gè)重要極限、兩個(gè)重要極限 二、極限存在準(zhǔn)則二、極限存在準(zhǔn)則 2.5 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理定理1 0lim( )xxf xA 的充分必要條件是：的充分必要條件是： 對(duì)任意數(shù)列對(duì)任意數(shù)列xn，xnx0， 當(dāng)當(dāng)xnx0(n)時(shí)，時(shí)， 都有都有 lim().nnf xA 定理定理1經(jīng)常被用于證明某些極限不存在經(jīng)常被用于證明某些極限不存在.例例1. 證明證明01lim sinxx不存在不存在 .證證: 取兩個(gè)趨于取兩個(gè)趨于 0 的數(shù)列的數(shù)列12 nxn 及及212 nxn 顯然當(dāng)顯然當(dāng)n時(shí)，時(shí)，xn0, 1limsinnnx1limsinnnx 由定理由定理 1 知知01limsinxx不存在不存在 .),2, 1(nlimsin2 nn2limsin(2 )nn 0.nx 01(1) ( )( )( );g xf xh x 定理定理2 2(兩邊夾法則兩邊夾法則) 如果函數(shù)如果函數(shù)g(x), f (x), h(x)滿足：滿足：(2) lim ( )lim ( )xXxXg xh xa 二、極限存在準(zhǔn)則二、極限存在準(zhǔn)則 lim( ).xXf xa 則則例例2. 證明證明222111lim12nnnnnn 證證: 利用兩邊夾法則利用兩邊夾法則 .2221112nnnnn 22nnn 22nn 且且22limnnnn 1lim1nn122limnnn 21lim1nn 1limnn2221112nnnn 1 由由g(n)h(n)定理定理3（收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則）定理定理4（收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則） 單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限 單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限單調(diào)遞增（遞減）且有上界（下界）數(shù)列必有極限單調(diào)遞增（遞減）且有上界（下界）數(shù)列必有極限121nnxxxxM 121nnxxxxm lim()nnxaM lim()nnxbm nx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略證明略 )ab例例3 已知數(shù)列已知數(shù)列 nx滿足：滿足： 112,2(2,3).nnxxxn 證明數(shù)列證明數(shù)列 收斂收斂 nx證證 先用數(shù)學(xué)歸納法證明先用數(shù)學(xué)歸納法證明 2,(1,2,).nxn （1）當(dāng)）當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)， 122,x 結(jié)論成立結(jié)論成立 （2）當(dāng)）當(dāng)n=k時(shí)，時(shí)，xk2,則則 12kkxx .222 由數(shù)學(xué)歸納法知由數(shù)學(xué)歸納法知 xn2.再證明該數(shù)列單調(diào)遞增再證明該數(shù)列單調(diào)遞增 2,(1,2,)nxn 21111, (1,2,)24nnnxx 12nnnnxxxx 2112nnxx,1121421,(1,2,)nnxxn 由定理由定理2知數(shù)列收斂知數(shù)列收斂 112,2(2,3).nnxxxn 令令lim,nnxa 則則1limlim2nnnnxx 2aa22aa220aa2a 故極限存在，故極限存在，備用題備用題 1.1.設(shè)設(shè) 11()2nnnaxxx (1, 2,)n 0,a 10,x , 且且求求lim.nnx 解：解：設(shè)設(shè)limnnxA 則由遞推公式有則由遞推公式有1()2aAAAAa 11()2nnnaxxx nxnax a 1nnxx 21(1)2nax 1(1)2aa1 數(shù)列單調(diào)遞減有下界，數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,01x故故axnnlim利用極限存在準(zhǔn)則利用極限存在準(zhǔn)則,0nx 2sinsin(0)cosxxxxx sincos1xxx圓扇形圓扇形AOB的面積的面積0sin1. lim1xxx 證證: 當(dāng)當(dāng)即即12sin x 12x12tan x 亦即亦即2(0,)x 時(shí)，時(shí)，2(0)x0lim cos1,xx 0sinlim1xxx 顯然有顯然有AOB 的面積的面積AOD的面積的面積 1OBAx1DC1sin x同同乘乘以以三、三、 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限sinxx1cos x為了方便地求函數(shù)的極限，可記住下列結(jié)果：為了方便地求函數(shù)的極限，可記住下列結(jié)果：lim( )0 x (1) limcos( )1;x sin( )(2) lim1.( )xx (,0)2x 時(shí)，時(shí)，0sinlimxxx xt 0sin()limttt 0sinlim1xxx0sinlim1ttt 例例4. 求求0tanlim.xxx解解: 0tanlimxxx0sin1limcosxxxx 0sinlimxxx 01limcosxx =1111 例例5. 求求0arcsinlim.xxx解解: 令令arcsin,tx 則則sin ,xt 因此因此0limsinttt 01limt sintt1 類(lèi)似可證類(lèi)似可證0arctanlim1.xxx xOt12-12 arcsintx 0arcsinlimxxx12 例例6. 求求201coslim.xxx 解解: 原式原式 =22202sinlimxxx211212 22202sinlim44xxx 2cos212sin 22sin1cos2 2022sinlimxxx2.1lim(1)exxx我們可以通過(guò)列出函數(shù)我們可以通過(guò)列出函數(shù) 11xyx的部分取值列表的部分取值列表 來(lái)觀察該函數(shù)值的變化趨勢(shì)來(lái)觀察該函數(shù)值的變化趨勢(shì) xy102.5941002.70510002.7169100002.718151000002.71827xy-102.88-1002.732-10002.720-100002.7183-1000002.7182811xyx 的值無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù)的值無(wú)限接近于一個(gè)常數(shù) 2.718281828459045e 由此可得由此可得:=1100lim(1)lim(1)ezxzxzx 1lim(1)exxx令令z=1/x,則則x時(shí)，時(shí)， z0，1lim(1)xxxe10lim(1)zzz為了方便地求函數(shù)的極限，可記住下面結(jié)果：為了方便地求函數(shù)的極限，可記住下面結(jié)果：lim( )0 x 1()lim 1( );xxe lim0fxA limg xB ( )lim( )g xf x .BA例例6. 求求1lim(1) .xxx 解解: 令令,tx 則則1lim(1)xxx1lim(1)ttt 1limt 1(1)tt 1e 說(shuō)明說(shuō)明 ：若利用若利用1( )( )0lim (1( )e,xxx 則則 原式原式 111lim (1)exxx limx 11lim(sincos ) .xxxx 解解: 原式原式 =2211lim(sincos ) xxxx 22lim(1sin )xxx2(1sin )x e 2sin2xx21sinx2sinlim12xxx 例例7. 求求例例8 求求 1lim.1xxxx 解解 1lim1xxxx 1lim 1(1)1xxxx 2lim 11xxx 21122lim11xxxxx 122limlim211xxxxx 211212limlim111xxxxxxxxx e2. 的不同數(shù)列的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用(1) 利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在; 法法1 找一個(gè)數(shù)列找一個(gè)數(shù)列:nx,0 xxn)(0nxxn且且使使)(limnnxf法法2 找兩個(gè)趨于找兩個(gè)趨于0 xnx及 ,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在不存在 .(2) 函數(shù)極限存在的兩邊夾法則函數(shù)極限存在的兩邊夾法則;(3)單調(diào)遞增（遞減）且有上界（下界）數(shù)列必有極單調(diào)遞增（遞減）且有上界（下界）數(shù)列必有極限限2. 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限( )0sin( )(1)lim1( )xxx 1( )( )0(2)lim (1( )e.xxx 思考與練習(xí)思考與練習(xí)填空題填空題 ( 14 )sin1.lim_ ;xxx 0sin2.lim_ ;xxx 013.limsin_ ;xxx 14.limsin_;xxx 0101P34,練習(xí)練習(xí)2.42（6）22lim ().xxxxx 解解 原原式式22()xxxxlimx22()xxxx22()xxxx222= xxxxx 222= xxxxxx limxlimx22222= xxxxxx 11112= xx limxlimx2=1.1+1P40,練習(xí)練習(xí)2.52（7）011limln1xxxx 解解 原原式式12011limln1xxxx 1201limln1xxxx 1201limln 1(1)1xxxx 1202limln 11xxxx 1202limln 11xxxxx 11x 1lne =1. P40,練習(xí)練習(xí)2.52（8）2211limsin31xxxx 解解 原原式式21sin121lim(31)xxxxxx 21sin121limlim(31)xxxxxxx 21sin1131 2 limlimxxxxxxx 21sin1112limlim3xxxxxx 221.33 P40,練習(xí)練習(xí)2.52（9）tan24lim(tan )xxx 解解 原原式式22tan1 tan4lim (1(tan1)xxxx 1tan14lim 1(tan1)xxx 22tan (tan1)1tanxxx 1tan14lim1(tan1)xxx 2tan1tanxx 2 1 11 1ee . 30Thank you!