第三章 剛體力學(xué)

第三章剛體力學(xué)本章介紹剛體運(yùn)動狀態(tài)的描述(§3.1-§3.2)以及剛體受力與運(yùn)動狀態(tài)的關(guān)系(§3.3-§3.10)。其內(nèi)容包括：剛體運(yùn)動學(xué)、剛體靜力學(xué)和剛體動力學(xué)，重點(diǎn)掌握剛體運(yùn)動學(xué)和剛體動力學(xué)。剛體是指在任何情況下形狀、大小都不發(fā)生變化的力學(xué)體系，它是一種理想物理模型，只要一個物體中任意兩點(diǎn)的距離不因受力而改變，它就可以稱為剛體。§3.1剛體運(yùn)動的分析一、描述剛體位置的獨(dú)立變量剛體的特性是任意兩點(diǎn)距離不因受力而變。這種特性決定了確定剛體的位置并不需要許多變量，而只要少數(shù)變量就行。能完全確定剛體位置的，彼此獨(dú)立的變量個數(shù)叫剛體的自由度。二、剛體運(yùn)動的分類及其自由度1、平動：自由度3，可用其中任一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z描述；2、定軸轉(zhuǎn)動：自由度1,用對軸的轉(zhuǎn)角©描述；3、平面平行運(yùn)動：自由度3,用基點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)及其對垂直平oo面過基點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)角描述。4、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動：自由度3,用描述軸的方向的0,角和軸線的轉(zhuǎn)角少描述。5、一般運(yùn)動：自由度6,用描述質(zhì)心位置的坐標(biāo)(x,y,z)和通ccc過的定點(diǎn)的軸的三個角(0,描述。§3.2角速度矢量本節(jié)重點(diǎn)是：掌握角位移矢量&、角速度矢量川及其與剛體中任一點(diǎn)的線位移&、線速度卩的相互關(guān)系。理解有限轉(zhuǎn)動時角位移不是矢量,只有無限小角位移才是矢量。0,方向沿轉(zhuǎn)軸方向，轉(zhuǎn)軸的方向與剛體轉(zhuǎn)動方向成右手螺旋，則n稱為角位移矢量。由圖很容易求得Ar=Awxr即線位移角位移An與位矢r的矢量積。角位移和An滿足矢量對易律利用兩次位移的可交換性,可證得Ah+Aw'=Ah;+Ah該式表明：微小轉(zhuǎn)動的合成遵循平行四邊形加法的對易律，從而無限小角位移n是一個矢量。二、角速度矢量1、角速度矢量的定義_7.Ah_角速度矢量3的定義為"!角速度3描述了轉(zhuǎn)動快慢和轉(zhuǎn)動方向，轉(zhuǎn)動方向與轉(zhuǎn)軸方向（即3的方向）成右手螺旋法則。它是描述剛體整體特征的量。2、剛體內(nèi)任一點(diǎn)C位置矢量為r）的線速度v與角速度3關(guān)系為drv=少冥rdt三、線加速度a與角加速度B命血比=空角加速度矢量。的定義為血一般地講，只有定軸轉(zhuǎn)動，B才與3的方向相同或相反。任意一點(diǎn)（位矢r）的加速度a為§3.3歐勒角描述剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，軸在空間的取向和繞這軸線的轉(zhuǎn)角的三個獨(dú)立變化的三個角度叫歐勒角。本節(jié)目的是：掌握歐勒角是如何確定的以及歐勒運(yùn)動學(xué)方程。一、歐勒角的選取如下圖，有定坐標(biāo)系ognZ和動坐標(biāo)系oxyz，其中動系oxyz固定在剛體上并隨剛體一起繞定點(diǎn)o轉(zhuǎn)動，開始時兩坐標(biāo)系重合。顯然，e、©、少就是我們確定的歐勒角，運(yùn)動范圍為n,0<<2n,02n，其中，。叫章動角，描述z軸上下顛e動；©叫進(jìn)動角，描述z軸繞0Z軸的轉(zhuǎn)動；少叫自動角，描述繞自身軸的轉(zhuǎn)動。二、歐勒運(yùn)動學(xué)方程用歐勒角及其對時間的導(dǎo)數(shù)血和來表示角速度矢量3在動系oxyz上的分量表示的等式叫歐勒運(yùn)動學(xué)方程。具體是i込=jsinsin刖1+/cos證'少$=sincos戸+sin程少2=cos疔+禹歐勒角及其運(yùn)動學(xué)方程主要應(yīng)用于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動問題。§3.4剛體運(yùn)動方程與平衡方程本節(jié)應(yīng)重點(diǎn)掌握：1、力系簡化所依據(jù)的原理和將力系簡化的步驟；2、剛體運(yùn)動的微分方程；3、剛體平衡方程及其應(yīng)用。一、力系的簡化1、力的可傳性原理實(shí)踐證明：力可沿它的作用線向前或向后移動,而剛體運(yùn)動狀態(tài)不因力沿力的作用線前后移動而變,亦即作用在剛體上的力產(chǎn)生的力學(xué)效果,僅由力的量值與作用線的地位與方向決定,而與力的作用點(diǎn)無關(guān)。這一結(jié)論叫力的可傳性原理.2、平衡力不改變剛體運(yùn)動狀態(tài)的原理實(shí)踐證明：剛體上施以一平衡力（等大反向且作用在同一直線上）剛體的運(yùn)動狀態(tài)不變。3、力系的簡化依據(jù)上述1、2兩條原理可以進(jìn)行力系的簡化。（1）、共點(diǎn)力系的簡化：采用平行四邊形法則，簡化為一個力。（2）、共面非平行力的簡化：利用力的可傳性原理，將兩力沿力的作用線滑移匯集于一點(diǎn)，再用平行四邊形法則簡化為一合力（見圖）（3）、平行力的簡化：若幘卜冋I,按如圖規(guī)則簡化為一力矩,山=心工珂由此確定力的作用點(diǎn)。等大反向的一對平行力（不在同一直線上）組成一力偶矩（4）、空間力系的簡化步驟為: 確定力的簡化中心，將力耳卷遲依次平移至力的作用點(diǎn)，然后按平行四邊形矢量合成，即工罵=月（稱F為主矢）。在簡化中心處依次畫出力月遲相應(yīng)的力矩%込，再由矢量合成平行四邊形法則，得到合力力矩（稱M為主，即矩）。這樣就將力系簡化為一主矩和主矢。（通常取質(zhì)心為簡化中心）例如圖3.4.3,將力系爲(wèi)與碼簡化為主矢F和主矩M簡化步驟：選取O為簡化中心，則月1，碼平移至O再將熱，碼合成得主矢在0點(diǎn)作罵的力矩蚣=04"，作耳的力矩覽=OBF2再將Mi，見合成，得到主矩M總之，作用于剛體上的任意力系均可簡化為一主矢月和主矩M二、剛體的運(yùn)動微分方程剛體是距離不變的質(zhì)點(diǎn)組，由剛體的質(zhì)心運(yùn)動定理,有赫;=工躋=F同樣，由相對質(zhì)心的角動量（動量矩）定理，有dJldt=Ml1）、（2）兩式即為剛體運(yùn)動的基本方程。此外，還有剛體運(yùn)動的動能定理（剛體中各點(diǎn)之間距離不變，內(nèi)力作功為零）:剛體動能的微分等于各外力所作元功之和，即3）三、剛體的平衡方程剛體的平衡條件是受的主矢和主矩同時為零，若主矢F=0,而主矩M工0,則剛體有轉(zhuǎn)動；若主矢F工0,而主矩M=0,則剛體有平動剛體的平衡條件為：F=0,M=0（4）應(yīng)用剛體的平衡條件解題,一般步驟為：1 畫草圖,分析受力,選取坐標(biāo)系；2、寫出F=0的分量形式；3、選取力矩的參數(shù)點(diǎn)，對該點(diǎn)取矩，寫出M=0分量形式；4、解方程組,求出平衡條件。§轉(zhuǎn)動慣量（1）本節(jié)要求：1 、掌握剛體轉(zhuǎn)動慣量的概念和對定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量的計算；2 、掌握回轉(zhuǎn)半徑、慣量橢球、平行軸定理、垂直軸定理、慣量主軸、慣量張量等若干概念；3 、了解剛體動量矩、動能的計算公式的普遍形式,掌握定軸轉(zhuǎn)動這一特殊情況的具體形式。一、轉(zhuǎn)動慣量1、轉(zhuǎn)動慣量的概念：它是描述轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量對某軸轉(zhuǎn)動慣性的大小用轉(zhuǎn)動慣量I描述，其定義為：I=Smp2ii即轉(zhuǎn)動慣量=各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離平方乘積之和。顯然，I的單位為kgm2對定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣性的大小，由于轉(zhuǎn)軸的方向不斷變化，要用一個張量才能描述。其中I,I,xxyy叫慣量系數(shù)2、轉(zhuǎn)動慣量的計算公式對定軸的轉(zhuǎn)動慣量I,由剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置決定。已知轉(zhuǎn)軸的位置和剛體的質(zhì)量分布，求I的計算公式有：I=Rmp2（p為質(zhì)點(diǎn)i到軸的距離）；iii 對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，I=Jp2dm（p為質(zhì)量元dm到軸之距離）3、回轉(zhuǎn)半徑設(shè)剛體繞軸S的轉(zhuǎn)動慣量為I，若有一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于剛體的質(zhì)量m,它到軸的距離K滿足：I=mk=Jp2dm，貝UK就稱為該剛體繞軸S的2回轉(zhuǎn)半徑.由定義,有4、計算轉(zhuǎn)動慣量及回轉(zhuǎn)半徑的步驟，例一般步驟是：選取坐標(biāo)系和質(zhì)量元dm 由公式I=Jp2dm和m=Jdm求出I以及剛體的總質(zhì)量m由I=mk求出k2計算的關(guān)鍵是確定dm和p計算中常用到下列已知結(jié)果：半徑為r的均質(zhì)球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量I=(2/3)mr2半徑為r的均質(zhì)圓盤繞過圓心且垂直圓面的軸的轉(zhuǎn)動慣I=(l/2)mr2例1(書P2343.8題)求質(zhì)量密度為的非均質(zhì)圓球繞直徑的回轉(zhuǎn)半徑K。解：取半徑為rr+dr的球殼做作質(zhì)量元，它的質(zhì)量dm和對直徑的轉(zhuǎn)動慣量dI分別為：dI=(2/3)r2dm.球體對直徑的轉(zhuǎn)動慣量I和總質(zhì)量m分別為A8-3-所以回轉(zhuǎn)半徑1410仗35-21RNr繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣量有一定的空間分布.我們以定點(diǎn)0為原點(diǎn)，在過O的軸ON上取一點(diǎn)Q,使當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動時，軸ON也隨剛體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動而動，按此規(guī)則，所得到的Q點(diǎn)的集合將在空間形成一個包圍0點(diǎn)的橢球面，曲面包圍的是一個橢球，稱為慣量橢球,它形象的描述了剛體繞定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量的空間分布.曲面方程為二次曲面：1眾+耶尸？+討2Ixy-21X2-21=應(yīng)注意：（1）慣量橢球是形象描述剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)動慣量空間分布而按上述規(guī)則所得到的球，它與剛體無共同之處，它不是剛體，即使剛體為橢球,它們也無共同之處（見圖）（2）慣量橢球是在動坐標(biāo)系中的立體圖形。2、慣量主軸：慣量橢球的主軸叫慣量主軸，一般而言：凡質(zhì)量密度均勻分布之剛體，其對稱軸就為慣量主軸。例如：球體的任一直徑就是慣量主軸。若定點(diǎn)O為剛體質(zhì)心，則慣量橢球叫中心慣量橢球。§361剛體的平動和繞固定軸的轉(zhuǎn)動（1）本節(jié)重點(diǎn)是掌握剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動規(guī)律和動力學(xué)特征，特別是運(yùn)動規(guī)律及定軸轉(zhuǎn)動的基本定理。一、剛體的平動剛體運(yùn)動時，若剛體中的任一條直線始終保持平行，這種運(yùn)動叫剛體的平動。特點(diǎn)是：各點(diǎn)運(yùn)動情況相同，自由度為3。由于各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動情況相同，所以可用一點(diǎn)（常用質(zhì)心）來描述整體的運(yùn)動，運(yùn)動方程為1)二、剛體定軸轉(zhuǎn)動1、剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點(diǎn)如圖（見書p186，圖）取Z軸作轉(zhuǎn)動軸，剛體定軸轉(zhuǎn)動時有如下特點(diǎn)：（1）剛體中任一點(diǎn)都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動；（2）各點(diǎn)的角位移©，角速度小，角加速度住均相同，且方向都在轉(zhuǎn)軸上；（3）自由度為1,用轉(zhuǎn)角©能描述剛體的運(yùn)動狀態(tài)。如圖3.6.1,取軸上任一點(diǎn)作原點(diǎn)，剛體中任一點(diǎn)P的位置矢量匚,i為則速度其中：耳的方向沿該點(diǎn)圓周切線方向，大小為匕=鈣如第=嘰加速度其中：切向加速度盤“=嘰法向加速度伽="應(yīng)i=小i特例：勻角加速轉(zhuǎn)動情況（a為常數(shù)），則有類似于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)的公式：角速度少G）=少。+創(chuàng),宀=少/+2呼轉(zhuǎn)角3、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的幾個物理量轉(zhuǎn)動慣量八心：0楸角動量=J疋：L動能T：壬=才后動量P:戸=£=燃叫重力勢能E:E=mgZ（Z為質(zhì)心相對于零勢能位置的高度）PPCC4、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的基本定理（1）、動量矩定理（剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程）（a為轉(zhuǎn)動角加速度）2）、質(zhì)心運(yùn)動定理聊話=工為柑嚴(yán)工現(xiàn)（輒為約束力）3）、動能定理dT=dA（剛體動能的增加等于外力作功之和）§3.6.2剛體的平動和繞固定軸的轉(zhuǎn)動（2）三、剛體定軸轉(zhuǎn)動問題解答例已知作用于剛體的力（外力、約束力等），求剛體定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動規(guī)律。由于約束力未知，因此求解定軸轉(zhuǎn)動問題應(yīng)將動力學(xué)方程與質(zhì)心運(yùn)動定理同時求解。例單擺是一種理想模型，實(shí)際物體繞某軸（懸掛點(diǎn)0）的擺動并不嚴(yán)格符合單擺的條件，實(shí)際是復(fù)擺，如圖，物體繞過0點(diǎn)的軸，因重力作用而擺動，設(shè)剛體對0軸的轉(zhuǎn)動慣量為I，質(zhì)心為C,0對質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量I，OC=a。C1)求復(fù)擺的周期解：剛體只受重力作用，重力對軸0的力矩峪一枕刖如，設(shè)對0的回轉(zhuǎn)半徑為K,則I=mK200由定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程曲=2，有一険刖如夕=沁孑當(dāng)擺角。很小時，sin0«0:可得令少'=刖/疋'(2)、求懸點(diǎn)的反作用力R的x，y分量R，Rxy解：由質(zhì)心運(yùn)動定理，有mg+R=將它投影于ox，oy方向，得到堆=然応，然g+綺=輕九(A)注意到：x=asin0,y=acos0cc求導(dǎo)數(shù)：=農(nóng)cos怒，心=_/匚恥泯戸+acos陽(B)yc=acos泯歹2-asin侃孑(C)由機(jī)械能守恒，有求出蕪詈m（°）另由（1）的解E）將（B）、（C）、（D）、（E）起代入（A）,解出§剛體的平面平行運(yùn)動（1）本節(jié)要求：（1）掌握剛體平面平行運(yùn)動學(xué)的處理方法，速度、加速度的計算公式，轉(zhuǎn)動瞬心曲線等概念；（2）平面平行運(yùn)動動力學(xué)的主要公式；（3）剛體平面平行運(yùn)動問題的求解方法。一、剛體平面平行運(yùn)動學(xué).剛體平面平行運(yùn)動是指剛體運(yùn)動時，任何一點(diǎn)始終在平行于某一固定平面內(nèi)作運(yùn)動，因此，只須研究任一和固定平面平行的平面運(yùn)動就行，也就是說，可用一薄片來表示剛體的運(yùn)動。1、剛體平面平行運(yùn)動的處理方法和速度、加速度剛體平面平行運(yùn)動可視為在剛體上取一點(diǎn)（稱為基點(diǎn)，而且常取質(zhì)心）的平動和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動這兩種運(yùn)動的合成。如圖3.7.1,選取固定坐標(biāo)系Oxyz，和動系加池',其中動系固定在剛體平面上并隨剛體一起運(yùn)動，原點(diǎn)A（x，y）為基點(diǎn)，剛體繞00過A（x,y）點(diǎn)，且垂直于平面的軸轉(zhuǎn)動（與定軸轉(zhuǎn)動不同，此處轉(zhuǎn)00軸不固定，稱為能夠?yàn)樗矔r軸），剛體中任一點(diǎn)P在Oxyz系位置矢量，在動系中位置矢量r'，基點(diǎn)對定系的位矢為，滿足r=r+r'（1）rrAA設(shè)剛體繞瞬時軸的轉(zhuǎn)動角速度為少（方向垂直于紙面向外），則P點(diǎn)的速度卩譏十莎廠'（2）P點(diǎn)的加速度心八的（3）（2）式表明：P點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度v與繞基點(diǎn)的速度3XAr'的矢量和。（3）式的等式右邊第一項(xiàng)為基點(diǎn)加速度a，第二項(xiàng)為因轉(zhuǎn)動角速A度變化引起的加速度石"（稱為轉(zhuǎn)動加速度），第三項(xiàng)-少F叫向心加速度，（3）式表明：剛體中任一點(diǎn)的加速度為基點(diǎn)的加速度、轉(zhuǎn)動加速度、向心加速度的矢量和。二、轉(zhuǎn)動瞬心（簡稱瞬心）1、轉(zhuǎn)動瞬心的定義和性質(zhì)剛體平面平行運(yùn)動時，速度為零的點(diǎn)叫瞬心，記為C.轉(zhuǎn)動瞬心的性質(zhì)是： 瞬心是唯一的，不同時刻有不同的瞬心； 瞬心的速度為零，但它加速度并不為零.否則剛體為定軸轉(zhuǎn)動. 瞬心可以在剛體上、也可以在剛體外。 對瞬心而言，剛體上任一點(diǎn)P的速度都垂直于瞬心c與該點(diǎn)p的連線CP。2、瞬心的確定方法一：觀察法：凡滾而不滑的剛體與另一物體的接觸點(diǎn)就是瞬心例如：車輪沿地面滾而不滑的沿直線運(yùn)動，接觸點(diǎn)就是瞬心C,輪子運(yùn)動時，接觸點(diǎn)C在地面上留下的軌跡叫定瞬心曲線（或叫空間極跡），而在運(yùn)動物體（輪子）上留下的軌跡叫動瞬心曲線（或叫本體極跡）（見圖）。方法二：作圖法：已知剛體中兩點(diǎn)A、B的速度V,V,則分別自A、B點(diǎn)作垂直于V,VABAB的直線，其交點(diǎn)C即瞬心（如圖）。方法三：數(shù)學(xué)方法：已知3和基點(diǎn)的位置A（x,y），則可解方程式書P197的（3.7.6）00求出瞬心在定系中的坐標(biāo)孔二和兒二為+衍，或解方程書P197的（3.7.7）求出瞬心在動系中坐標(biāo)：龍二-啊兄二訟,/如剛體的平面平行運(yùn)動（2）3、瞬心法求解剛體平面平行運(yùn)動運(yùn)動學(xué)的一般步驟。一般步驟： 求出（或確定）瞬心C; 確定角速度血； 由公式（2）、（3）求出任一點(diǎn)的速度¥和加速度口。例1半徑為R的圓輪沿直線滾而不滑的運(yùn)動，輪心的速度為旳（常量）（見圖）。4y(UXAP圖3丄斗求：（1）瞬心曲線；2）角速度；（3）輪心和接觸點(diǎn)的加速度；（4）輪上任一點(diǎn)的速度、加速度。解：（1）接觸點(diǎn)速度為零，故為瞬心，顯然，運(yùn)動時，定瞬心曲線為直線，方程為：y=0。動瞬心曲線為圓周，方程為r=R；CC（2）由v=3xAC，且3丄AC,.°.v=3AC,.°.3=v/AC=v/R=常00量（方向垂直紙面向內(nèi)）3）取輪心A為基點(diǎn)，由CL(7?j-；1j戲”=aA+xr0"、，輪心加速度且=°,又3=常量，所以罟宀°宀".接觸點(diǎn)C的加速度ac=O-O-AC，大小為鑫二亦R，方向?yàn)橹赶驁A心。（4）輪緣上任一點(diǎn)P的速度V和加速度a,PP片二S+g眉代其中二比yx肋二窗（方向如圖Vp=+(曲?)2+2溝窗co朋=2v0cos2（方向如圖）將代入得氣Sf,大小為叫=后只，方向由P點(diǎn)指向A點(diǎn)。三、剛體平面平行運(yùn)動動力學(xué)1、剛體平面平行運(yùn)動的基本定理 質(zhì)心運(yùn)動定理：刁耳'-g; 對質(zhì)心的動量矩定理：Mg二/盈國二zza; 動能定理：dT=M特例：當(dāng)受的力為保守力時，機(jī)械能守恒，有2+l/77d?2+卩二E,（常量）2、剛體平面平行運(yùn)動動力學(xué)問題的解答步驟，例：已知條件為：作用于剛體的力和初始情況。求：剛體的運(yùn)動規(guī)律。方法一：解微分方程的方法。步驟：建立坐標(biāo)系，分析力；列方程：包括質(zhì)心運(yùn)動定理、動量矩定理、約束方程；解微分方程；討論結(jié)果。方法二：利用機(jī)械能守恒定律（只適用于保守力）步驟：建立坐標(biāo)系；計算動能T和勢能V;由能量守恒和約束條件求出運(yùn)動規(guī)律。例見書P202。圓柱體半徑、質(zhì)量m滾而不滑地下滾（見圖3.7.5）。求質(zhì)心的速度、約束反力N、摩擦力fo方法一：用機(jī)械能守恒求。剛體的動能為:k為回轉(zhuǎn)半徑）勢能為卩=幗月2（取靜止時的位置為零勢能的位置）約束方程為：譏二刃（滾而不滑條件）由以上三式求得質(zhì)心加速度為：_gsing（用此方法求不出N和f）'方法二：解微分方程的方法由質(zhì)心運(yùn)動定理眈£二颶+N+f（1）和對質(zhì)心的角動量定理：2-（2）其中：約束方程：兀二口刃（3）以及將（1）投影于X,y方向，解（1）、（2）、（3）求出.gsiniz#mgk2sina=gcos"（附注：分別將圓柱體、球體、球殼、圓盤等的回轉(zhuǎn)半徑的值代入上述結(jié)果，就可以得到相同質(zhì)量、相同半徑的這幾種剛體的相應(yīng)值，請讀者自己具體計算并從中總結(jié)出一些規(guī)律。）§3.8剛體繞定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動：本節(jié)只作了解。§3.9、§3.10由讀者自學(xué)。