2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 基本不等式(含解析)

2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練基本不等式（含解析）l、（xx山東卷）設(shè)正實(shí)數(shù)X,y,z滿足X23xy+4y2z=0,則當(dāng)xyz212取得最大值時(shí)，x+yz的最xyz大值為A0c4()B1D3解析(1)由X23xy+4y2z=0,得z=X23xy+4y2,.xyxi1°zX23xy+4y2x4y'+3yxx4y又X,y,z為正實(shí)數(shù)，I+-|三4,上式有最大值1.當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào)，此時(shí)z=2y2.答案：B2、22已知x+y=1,(x>0,y>0),則x+y的最小值為xyAB2CD8解析:Vx>0,y>0,.x+y=(x+y)(|+勺=4+2G+X>4+4fX=&xy當(dāng)且僅當(dāng)y=X，即x=y=4時(shí)取等號(hào).yx答案：D3、若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是2428C5D6（2）若正數(shù)x,y滿足4x2+9y2+3xy=30,則xy的最大值是A.45B3yxD4C213解析由x+3y=5xy可得喬+辰=1,.3計(jì)4丫=（3汁4巧（盒+診=|+|+養(yǎng)+栄弟+詐5（當(dāng)且僅當(dāng)詈，即x=1,y=2時(shí)等號(hào)成立），3x+4y的最小值是5.由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy三2X（2x）X（3y）+3xy（當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)等號(hào)成立）,.：12xy+3xyW30，即xyW2,：xy的最大值為2.答案（1）C（2）C334、設(shè)x,y均為正實(shí)數(shù)，且2+x+2+y=1，則旳的最小值為A. 4B.4爲(wèi)C9D16OO解析由2x+2+y=1可化為xy=8+x+y,Vx,y均為正實(shí)數(shù)，：xy=8+x+y28+2jxy（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立），即xy.'xy80,解得：'石三4,即xy±16，故xy的最小值為16.答案D5. （xx泰安一模）若a,bGR，且ab>0,貝V下列不等式中，恒成立的是（）.112A.a+b三2/abB.+r>-;=vab&bbaC.+匚22D.a2+b2>2abab解析因?yàn)閍b>0,即a>0,b>0,所以£+¥上2：¥*=2.答案C6、設(shè)a>0,b>0.若a+b=l,貝吋+*的最小值是（）1A.2B.4C.4D.8L卄宀11a+ba+bba/ba,ba卄，1丹一解析由題意a+b=+=2+a+b22+'axb=4,當(dāng)且僅當(dāng)盯b，即a=b=2時(shí)，取等號(hào),所以最小值為4.答案C7. 已知a>0,b>0,a,b的等比中項(xiàng)是1,且m=b+丄，n=a+£,則m+n的最小值是().abA.3B.4C.5D.6解析由題意知：ab=1,.：m=b+丄=2b,n=a+=2a,ab.m+n=2(a+b)三4；ab=4.答案B98. 已知函數(shù)y=x4+x+1(x>1)，當(dāng)x=a時(shí)，y取得最小值b,則a+b=().A.3B.2C.3D.8999解析y=x4+x+1=x+i+x+15，由x>1,得x+i>o,x+i>0,所以由基本不等式得y99=x+1+x+152x+心+1一5=1，當(dāng)且僅當(dāng)x+1=x+1，即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2時(shí)取等號(hào),所以a=2,b=1,a+b=3.答案C9. 若正實(shí)數(shù)a,b滿足ab=2,則(1+2a)(l+b)的最小值為.解析(1+2a)(1+b)=5+2a+b5+''2ab=9.當(dāng)且僅當(dāng)2a=b，即a=1,b=2時(shí)取等號(hào).答案9xy10. 已知x,yGR+，且滿足3+4=1，則xy的最大值為.xy/xyxy3解析Vx>0,y>0且1=3+422；j2，xyW3.當(dāng)且僅當(dāng)3=4,即當(dāng)x=°,y=2時(shí)取等號(hào).答案311. 函數(shù)y=a(a>0,aM1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny1=0(mn>0)上,貝比+牛的最小值為解析.y=a1恒過(guò)點(diǎn)A(1,1),又TA在直線上，11m+nm+nnm111?.m+n=1.wm+nT+_=2+m+n三2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=§時(shí)，取“=”，m+n的最小值為4.答案412. 已知x>0,y>0,且2x+5y=20.求u=lgx+lgy的最大值；解：Tx。，y>0,.由基本不等式，得2x+5y22/1而.T2x+5y=20,2叮10XyW2O,xyWIO，當(dāng)且僅當(dāng)2x=5y時(shí)，等號(hào)成立.因此2x+5y=20,2x=5y,，x=5,解得L=2,此時(shí)xy有最大值10.u=lgx+lgy=lg(xy)Wlg10=1.2113已知x>0,y0,且-+-=1,若x+2y>m2+2m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()xyA. (8,2U4,+)B. (8,4U2,+)C. (2,4)D. (4,2)21解析Vx>0,y>0且x+y=1,/、(21、4yx.x+2y=(x+2y)|-+-1=4+-xyjxy三4+24-=8，當(dāng)且僅當(dāng)翌=-,xyxy即x=4,y=2時(shí)取等號(hào)，.(x+2y)=8,要使x+2ym2+2m恒成立，min只需(x+2y)>m2+2m恒成立，min即8>m2+2m，解得一4m2.答案D14.已知x>0,y>0,x+3y+xy=9，則x+3y的最小值為(x+3y、解析由已知，得xy=9(x+3y),即3xy=273(x+3y)W(2J2，令x+3y=t,則t2+12110820,解得t三6,即x+3y±6.答案615設(shè)x,yGR+，且x+4y=40，則lgx+lgy的最大值是（）A.40B.10C.4D.2解析Vx,yGR+，.40=x+4y三2S-=4寸X-，當(dāng)x=4y=20時(shí)取等號(hào)，/.xy<100,lgx+lgy=lgxyWlg100=2.答案D16某種生產(chǎn)設(shè)備購(gòu)買時(shí)費(fèi)用為10萬(wàn)元，每年的設(shè)備管理費(fèi)共計(jì)9千元，這種生產(chǎn)設(shè)備的維修費(fèi)為第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,而且以后以每年2千元的增量逐年遞增,則這種生產(chǎn)設(shè)備最多使用多少年報(bào)廢最合算（即使用多少年的年平均費(fèi)用最少）（）A.8B.9C.10D.11解析設(shè)使用X年的年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元.0.2x2+0.2x10+0.9x+2io由已知，得y=x，即y=i+x+jo(xwn*).10x10x由基本不等式知y1+,'=3,當(dāng)且僅當(dāng)即x=10時(shí)取等號(hào)因此使用10年報(bào)廢最合算，年平均費(fèi)用為3萬(wàn)元.答案C"3xy6W0,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為12,17. 設(shè)x,y滿足約束條件xy+220,、x±0,y三0.23則a+b的最小值為()-D.425811A.BC.v633解析不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分.當(dāng)直線ax+by=z(a>0,b>0)過(guò)直線xy+2=0與直線3xy6=0的交點(diǎn)(4,6)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即4a+6b=12，即2a+3b=6.所以a+b=a+b)2a+3b613(ba+a+bj13256三石+2=6(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5時(shí)等號(hào)成立).答案A18. 已知向量a=(x1,2),b=(4,y),若a丄b,則9x+3y的最小值為.解析由a丄b得ab=4(x1)+2y=0,即2x+y=2.所以9x+3y三2"/9x3y=2"j32x+y=6.答案62x19已知f(x)=x(1) 若f(x)>k的解集為x|x一3或X>2，求k的值；(2) 若對(duì)任意x>0,f(x)Wt恒成立，求實(shí)數(shù)t的范圍.解(1)f(x)>kkx22x+6k0,由已知其解集為x|x<3或x>2,得x1=3,x2=2是方程kx22x+6k=0的兩根,22所以一23=匸，即k=5.Vx>0,f(x)=2xX2+6旦少66x+x由已知他)®對(duì)任意xo恒成立故實(shí)數(shù)七的取值范圍是|_¥，+T考點(diǎn)：基本不等式的實(shí)際應(yīng)用1. 如圖，書的一頁(yè)的面積為600cm2，設(shè)計(jì)要求書面上方空出2cm的邊，下、左、右方都空出1cm的邊，為使中間文字部分的面積最大，這頁(yè)書的長(zhǎng)、寬應(yīng)分別為解析設(shè)長(zhǎng)為acm，寬為bcm，則ab=600,則中間文字部分的面積S=(a-21)(b2)=606(2a+3b)W6062、6X600=486,當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b，即a=30，b=20時(shí)，S=486.max答案30cm、20cm2. 某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)10萬(wàn)元.為了增加企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出x(xGN*)名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)為10(a贏丿萬(wàn)元(a>0)，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可以提高0.2x%.(1) 若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？(2) 在(1)的條件下，若調(diào)整出的員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，貝臨的取值范圍是多少？解(1)由題意得:10(1000x)(1+0.2x%)三10X1000，即X2500XW0,又x>0，所以0xW500.即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè).(2)從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)為1oa5£|x萬(wàn)元，從事原來(lái)產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤(rùn)(3x3x2為10(1000x)(1+0.2x%)萬(wàn)元，則10(a500jxW10(1000x)(1+0.2x%),所以ax<10002xx500X2,2x22x1000所以ax<+1000+x，即亦而+丁+1恒成立'因?yàn)?500x+當(dāng)且僅當(dāng)翥=詈，即x=500時(shí)等號(hào)成立所以aW5,又a0,所以0aW5，即a的取值范圍為(0,5.3. (xx北京)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)x件，則平均x倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為8天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品().A.60件B.80件C.100件D.120件解析若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是8：0,存儲(chǔ)費(fèi)用是1，總的費(fèi)用是8：0+8_2x8=20，當(dāng)且僅當(dāng)x=8時(shí)取等號(hào)，即x=80.答案B4、已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3,2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求AABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程.審題路線根據(jù)截距式設(shè)所求直線l的方程n把點(diǎn)P代入，找出截距的關(guān)系式n運(yùn)用基本不等式求運(yùn)用取等號(hào)的條件求出截距n得出直線l的方程.ABOxy解設(shè)A(a,0)，B(0,b)，(a>0,b>0)，則直線l的方程為+b=1，32l過(guò)點(diǎn)P(3,2),：a+b=13261=a+b$2ab，即卩ab224.132:SAABo=2ab$12當(dāng)且僅當(dāng)a=b，即a=6，b=4ABO的面積最小，最小值為12.xy此時(shí)直線l的方程為：6+4=1即2x3y12=0.5、小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本為W(x)萬(wàn)元，在年產(chǎn)量不足8萬(wàn)件時(shí)，W(x)=|x2+x(萬(wàn)元).在年產(chǎn)量不小于8萬(wàn)件時(shí)，w(x)=6x+孕一38(萬(wàn)元).每件產(chǎn)品售價(jià)為5元.通3x過(guò)市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完.(1) 寫出年利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤(rùn)=年銷售收入一固定成本一流動(dòng)成本)(2) 年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解(1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為5元，則x萬(wàn)件商品銷售收入為5x萬(wàn)元，依題意得，當(dāng)0<x<8時(shí)，L(x)=5xgx2+J3=3x2+4x3；當(dāng)x±8時(shí)L(x)=5x6x10038x.所以3=35L(x)=x2+4x3,0VxV8,3(,100)135-(x+-7-J8.(2)當(dāng)0VxV8時(shí)，L(x)=3(x6)2+9.此時(shí)，當(dāng)x=6時(shí)，L(x)取得最大值L(6)=9萬(wàn)元,當(dāng)x±8時(shí)，L(x)=35Ix+100=3520=15,x此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=100x時(shí),即x=10時(shí)，L(x)取得最大值15萬(wàn)元.*9<15，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大.最大利潤(rùn)為15萬(wàn)元.6、為響應(yīng)國(guó)家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在xx年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷量(即k該廠的年產(chǎn)量)x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用t(t三0)萬(wàn)元滿足x=4骯+jk為常數(shù)).如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬(wàn)件.已知xx年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入12萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分).(1) 將該廠家xx年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用t萬(wàn)元的函數(shù)；(2) 該廠家xx年的年促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家利潤(rùn)最大？k3解(1)由題意有1=41，得k=3，故x=42七+Ay=1.5X6+12xXx(6+12x)tx/318=3+6xt=3+6(42t+1Jt=27?±+t(t三0).t+291當(dāng)且僅當(dāng)十=t+2t+2即t=2.5時(shí)等號(hào)成立,故y=27182t+lt=27.5t+iW27.56=21.5.當(dāng)且僅當(dāng),91可+2時(shí)'等號(hào)成立，即t=2.5時(shí)，y有最大值21.5所以xx年的年促銷費(fèi)用投入2.5萬(wàn)元時(shí),該廠家利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為21.5萬(wàn)元7小王于年初用50萬(wàn)元購(gòu)買一輛大貨車，第一年因繳納各種費(fèi)用需支出6萬(wàn)元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬(wàn)元，假定該車每年的運(yùn)輸收入均為25萬(wàn)元小王在該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售價(jià)格為(25x)萬(wàn)元(國(guó)家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為10年)(1) 大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?，該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出？(2) 在第幾年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤(rùn)最大？(利潤(rùn)=累計(jì)收入銷售收入總支出)解(1)設(shè)大貨車到第x年年底的運(yùn)輸累計(jì)收入與總支出的差為y萬(wàn)元，則y=25x6x+x(x1)50(0VxW10,xWN)，即y=X2+20x50(0VxW10,xGN)，由一X2+20x50>0,解得10,'2<x<10+2.而2<10.'2<3,故從第3年開始運(yùn)輸累計(jì)收入超過(guò)總支出.(2)因?yàn)槔麧?rùn)=累計(jì)收入+銷售收入總支出，所以銷售二手貨車后，小王的年平均利潤(rùn)為一11(25、(25、25y=x】y+(25x)=x(X2+19X25)=19(x+=,而19卜+切0192飛,：x=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)等號(hào)成立，即小王應(yīng)當(dāng)在第5年將大貨車出售，才能使年平均利潤(rùn)最大.8某單位決定投資3200元建一倉(cāng)庫(kù)(長(zhǎng)方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長(zhǎng)造價(jià)40元，兩側(cè)墻砌磚，每米長(zhǎng)造價(jià)45元，頂部每平方米造價(jià)20元，求：倉(cāng)庫(kù)面積S的最大允許值是多少？為使S達(dá)到最大，而實(shí)際投資又不超過(guò)預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？解設(shè)鐵柵長(zhǎng)為x米,一側(cè)磚墻長(zhǎng)為y米，則頂部面積S=xy,依題設(shè)，得40x+2X45y+20xy=3200,由基本不等式，得3200'40x-90y+20xy=12xy+20xy=12'S+20S,則S+6/S160W0,即(10)(/S+16)WO,故0<V§W1O，從而0VSW1OO,所以S的最大允許值是100平方米，取得此最大值的條件是40x=90y且xy=100,解得x=15，即鐵柵的長(zhǎng)應(yīng)設(shè)計(jì)為15米.