六年級(jí)奧林匹克數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程 17 操作問題

小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程 操作問題所謂操作問題，實(shí)際上是對(duì)某個(gè)事物按一定要求進(jìn)行的一種變換，這種變換可以具體執(zhí)行。例如，對(duì)任意一個(gè)自然數(shù)，是奇數(shù)就加1，是偶數(shù)就除以2。這就是一次操作，是可以具體執(zhí)行的。操作問題往往是求連續(xù)進(jìn)行這種操作后可能得到的結(jié)果。例1 對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù) n，當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，加上121；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，除以2。這算一次操作?，F(xiàn)在對(duì)231連續(xù)進(jìn)行這種操作，在操作過程中是否可能出現(xiàn)100？為什么？討論：同學(xué)們碰到這種題，可能會(huì)“具體操作”一下，得到這個(gè)過程還可以繼續(xù)下去，雖然一直沒有得到100，但也不能肯定得不到100。當(dāng)然，連續(xù)操作下去會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)字一旦重復(fù)出現(xiàn)后，這一過程就進(jìn)入循環(huán)，這時(shí)就可以肯定不會(huì)出現(xiàn)100。因?yàn)檫@一過程很長，所以這不是好方法。解：因?yàn)?31和121都是11的倍數(shù)，2不是11的倍數(shù)，所以在操作過程中產(chǎn)生的數(shù)也應(yīng)當(dāng)是11的倍數(shù)。100不是11的倍數(shù)，所以不可能出現(xiàn)。由例1看出，操作問題不要一味地去“操作”，而要找到解決問題的竅門。例2 對(duì)任意兩個(gè)不同的自然數(shù)，將其中較大的數(shù)換成這兩數(shù)之差，稱為一次變換。如對(duì)18和42可進(jìn)行這樣的連續(xù)變換：18， 42 18， 24 18， 6 12， 6 6， 6。直到兩數(shù)相同為止。問：對(duì)12345和54321進(jìn)行這樣的連續(xù)變換，最后得到的兩個(gè)相同的數(shù)是幾？分析與解：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是a，那么這兩個(gè)數(shù)之差與這兩個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)的最大公約數(shù)也是a。因此在每次變換的過程中，所得兩數(shù)的最大公約數(shù)始終不變，所以最后得到的兩個(gè)相同的數(shù)就是它們的最大公約數(shù)。因?yàn)?2345和54321的最大公約數(shù)是3，所以最后得到的兩個(gè)相同的數(shù)是3。注：這個(gè)變換的過程實(shí)際上就是求兩數(shù)最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法。例3 右圖是一個(gè)圓盤，中心軸固定在黑板上。開始時(shí)，圓盤上每個(gè)數(shù)字所對(duì)應(yīng)的黑板處均寫著0。然后轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤，每次可以轉(zhuǎn)動(dòng)90°的任意整數(shù)倍，圓盤上的四個(gè)數(shù)將分別正對(duì)著黑板上寫數(shù)的位置，將圓盤上的數(shù)加到黑板上對(duì)應(yīng)位置的數(shù)上。問：經(jīng)過若干次后，黑板上的四個(gè)數(shù)是否可能都是999？解：不可能。因?yàn)槊看渭由系臄?shù)之和是 1234=10，所以黑板上的四個(gè)數(shù)之和永遠(yuǎn)是10的整數(shù)倍。 999×4=3996，不是10的倍數(shù)，所以黑板上的四個(gè)數(shù)不可都是999。例4 在左下圖中，對(duì)任意相鄰的上下或左右兩格中的數(shù)字同時(shí)加1或減1，這算作一次操作。經(jīng)過若干次操作后，左下圖變?yōu)橛蚁聢D。問：右下圖中A格中的數(shù)字是幾？分析與解：每次操作都是在相鄰的兩格，我們將相鄰的兩格染上不同的顏色（見右圖）。因?yàn)槊看尾僮骺偸且粋€(gè)黑格與一個(gè)白格的數(shù)字同時(shí)加1或減1，所以所有黑格內(nèi)的數(shù)字之和與所有白格內(nèi)的數(shù)字之和的差保持不變。因?yàn)樵}左圖的這個(gè)差是13，所以原題右圖的這個(gè)差也是13。由（A12）-12=13解得 A=13。例5 將110十個(gè)數(shù)隨意排成一排。如果相鄰兩個(gè)數(shù)中，前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么就交換它們的位置。如此操作下去，直到前面的數(shù)都小于后面的數(shù)為止。當(dāng)110十個(gè)數(shù)如下排列時(shí)，需交換多少次？8，5，2，6，10，7，9，1，4，3。分析與解：為了不打亂仗，我們按照一定的方法來交換。例如，從最大的數(shù)10開始交換，將10交換到它應(yīng)在的位置后，再依次對(duì)9，8，7，實(shí)施交換，直至按從小到大排列為止。因?yàn)?0后面有5個(gè)比它小的數(shù)，所以對(duì)10連續(xù)交換5次，10到了最右邊，而其它各數(shù)的前后順序沒有改變；再看9，9后面有3個(gè)比它小的數(shù)，需交換3次，9到了右邊第二位，排在10前面；再依次對(duì)8，7，6，實(shí)施這樣的交換。10后面有5個(gè)比它小的數(shù)，我們說10有5個(gè)逆序；9后面有3個(gè)比它小的數(shù)，我們說9有3個(gè)逆序；類似地，8，7，6，5，4，3，2依次有7，3，3，4，1，0，1個(gè)逆序。因?yàn)槊總€(gè)數(shù)要交換的次數(shù)就是它的逆序數(shù)，所以需交換537334101= 27（次）。例6右圖是一個(gè)5×6的方格盤。先將其中的任意5個(gè)方格染黑。然后按以下規(guī)則繼續(xù)染色：如果某個(gè)格至少與兩個(gè)黑格都有公共邊，那么就將這個(gè)格染黑。這樣操作下去，能否將整個(gè)方格盤都染成黑色？分析與解：以一個(gè)方格的邊長為1，開始時(shí)5個(gè)黑格的總周長不會(huì)超過4×5=20。以后每染一個(gè)格，因?yàn)檫@個(gè)格至少與兩個(gè)黑格都有公共邊，所以染黑后所有黑格的總周長不會(huì)增加。左下圖中，A與4個(gè)黑格有公共邊，染黑后，黑格的總周長將減少4；下中圖中，A與3個(gè)黑格有公共邊，染黑后，黑格的總周長將減少2；右下圖中，A與2個(gè)黑格有公共邊，染黑后，黑格的總周長不變。也就是說按照這種方法染色，所有黑格的總周長永遠(yuǎn)不會(huì)超過20，而5×6方格盤的周長是 22，所以不能將整個(gè)方格盤染成黑色。練習(xí)171.黑板上寫著115共15個(gè)數(shù)，每次任意擦去兩個(gè)數(shù)，再寫上這兩個(gè)數(shù)的和減1。例如，擦掉5和11，要寫上15。經(jīng)過若干次后，黑板上就會(huì)只剩下一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是幾？2.在黑板上任意寫一個(gè)自然數(shù)，然后用與這個(gè)自然數(shù)互質(zhì)并且大于1的最小自然數(shù)替換這個(gè)數(shù)，稱為一次操作。問：最多經(jīng)過多少次操作，黑板上就會(huì)出現(xiàn)2？3.口袋里裝有101張小紙片，上面分別寫著1101。每次從袋中任意摸出5張小紙片，然后算出這5張小紙片上各數(shù)的和，再將這個(gè)和的后兩位數(shù)寫在一張新紙片上放入袋中。經(jīng)過若干次這樣的操作后，袋中還剩下一張紙片，這張紙片上的數(shù)是幾？4.在一個(gè)圓上標(biāo)出一些數(shù)：第一次先把圓周二等分，在兩個(gè)分點(diǎn)分別標(biāo)上2和4。第二次把兩段半圓弧分別二等分，在分點(diǎn)標(biāo)上相鄰兩分點(diǎn)兩數(shù)的平均數(shù)3（見右圖）。第三次把四段弧再分別二等分，在四個(gè)分點(diǎn)分別標(biāo)上相鄰兩分點(diǎn)兩數(shù)的平均數(shù)。如此下去，當(dāng)?shù)?次標(biāo)完后，圓周上所有標(biāo)出的數(shù)的總和是多少？5.六個(gè)盤子中各放有一塊糖，每次從任選的兩個(gè)盤子中各取一塊放入另一個(gè)盤子中，這樣至少要做多少次，才能把所有的糖都集中到一個(gè)盤子中？6.將110十個(gè)數(shù)隨意排成一排。如果相鄰兩個(gè)數(shù)中，前面的大于后面的，那么就交換它們的位置。如此操作下去，直到前面的數(shù)都小于后面的數(shù)為止。已知10在這列數(shù)的第4位，那么最少要交換多少次？最多要交換多少次？7.在右圖的方格表中，每次給同一行或同一列的兩個(gè)數(shù)加1，經(jīng)過若干次后，能否使表中的四個(gè)數(shù)同時(shí)都是5的倍數(shù)？為什么？答案與提示練習(xí)171.106。提示：操作一次，黑板上的數(shù)減少1個(gè)，數(shù)字總和減少1。經(jīng)過14次操作，剩下的一個(gè)數(shù)是（1+2+15）-14=106。2.2次。提示：若寫的是奇數(shù)，則只需1次操作；若寫的是大于2的偶數(shù)，則經(jīng)過1次操作變?yōu)槠鏀?shù)，再操作1次變?yōu)?。3.51。提示：口袋中所有紙片的數(shù)字之和的后兩位數(shù)保持不變。4.758。提示：第一次標(biāo)完數(shù)后，以后每次標(biāo)上的數(shù)字之和都等于上次圓周上的所有數(shù)字之和，即每次標(biāo)完數(shù)后，圓周上的所有數(shù)字之和是原來的2倍。第8次標(biāo)完后的總和是6×28-1=6×27=768。5.4次。提示：將各次操作表示如下：（1，1，1，1，1，1）（0，3，1，1，1，0）（2，2，1，1，0，0）（4，1，1，0，0，0）（6，0，0，0，0，0）。6.6次；42次。提示：與例5類似，當(dāng)十個(gè)數(shù)按1，2，3，10，4，5，6，7，8，9排列時(shí)，交換的次數(shù)最少，要交換6次；當(dāng)十個(gè)數(shù)按9，8，7，10，6，5，4，3，2，1排列時(shí)，交換的次數(shù)最多，要交換42次。7.不能。解：要使第一列的兩個(gè)數(shù)1，4都變成5的倍數(shù)，第一行應(yīng)比第二行多變（3+5n）次；要使第二列的兩個(gè)數(shù)2，3都變成5的倍數(shù)，第一行應(yīng)比第二行多變（1+5m）次。因?yàn)椋?+5n）除以5余3，（1+5m）除以5余1，所以上述兩個(gè)結(jié)論矛盾，不能同時(shí)實(shí)現(xiàn)。注：m，n可以是0或負(fù)數(shù)。