不定積分 (公式大全)

2021/6/301第5章 不定積分5.1 原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分 通過對求導(dǎo)和微分的學(xué)習(xí)，我們可以從一個(gè)函數(shù)yf(x)出發(fā)，去求它的導(dǎo)數(shù)f(x) 那么，我們能不能從一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)出發(fā)，反過來去求它是哪一個(gè)函數(shù)(原函數(shù))的導(dǎo)數(shù)呢?定義 已知f(x)是定義在某區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間上的任何一點(diǎn)x處都有F(x)f(x)，那么稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。2021/6/302例1 求下列函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)： f(x)2x f(x)cosx解：(x2)2x x2是函數(shù)2x的一個(gè)原函數(shù) (sinx)cosx sinx是函數(shù)cosx的一個(gè)原函數(shù) 這里為什么要強(qiáng)調(diào)是一個(gè)原函數(shù)呢?因?yàn)橐粋€(gè)函數(shù)的原函數(shù)不是唯一的。 例如在上面的中，還有(x21)2x， (x21)2x 所以 x2、x21、x21、x2C (C為任意常數(shù))都是函數(shù)f(x)2x的原函數(shù)。2021/6/303定理5.1 設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，C是一個(gè)任意常數(shù)，那么， F(x)C也是f(x) 在該區(qū)間I上的原函數(shù) f(x)該在區(qū)間I上的全體原函數(shù)可以表示為F(x)C證明： F(X)CF(x)(C)f(x) F(x)C也是f(x)的原函數(shù) 略2021/6/304 這說明函數(shù)f(x)如果有一個(gè)原函數(shù)F(x)，那么它就有無窮多個(gè)原函數(shù)，它們都可以表示為F(x)C的形式。定義5.2 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分，記作f(x)dx， 其中叫做積分號，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量。 求函數(shù)f(x)的不定積分就是求它的全體原函數(shù)，因此，f(x)dxF(x)C 其中C是任意常數(shù)，叫做積分常數(shù)。2021/6/305例2 求下列不定積分 x5dx sinxdx解： 是x5的一個(gè)原函數(shù) cosx是sinx的一個(gè)原函數(shù) 661xCxdxx6561Cxxdxcossin2021/6/306二、 不定積分的幾何意義 設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則曲線yF(x)稱為f(x)的一條積分曲線，曲線yF(x)C表示把曲線yF(x)上下平移所得到的曲線族。因此，不定積分的幾何意義是指由f(x)的全體積分曲線組成的積分曲線族。例4 求斜率為2x且經(jīng)過點(diǎn)(1,0)的曲線。解：設(shè)所求曲線為yf(x)，則f(x)2x， 故yx2C， 曲線過點(diǎn)(1,0)以x1、y0代入得012C， 解得C1， 因此，所求曲線為yx21。2021/6/307三、 基本積分公式 由于積分運(yùn)算是求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算，所以由基本求導(dǎo)公式反推，可得基本積分公式 dxxC xdx (-1) exdxexC sinxdxcosxC cosxdxsinxC sec2xdxtanxC csc2xdxcotxCCx111Cxdxx|ln1CaadxaxxlnCaxdxxaarcsin122Caxdxxaarctan1222021/6/308說明：冪函數(shù)的積分結(jié)果可以這樣求，先將被積函數(shù)的指數(shù)加1，再把指數(shù)的倒數(shù)放在前面做系數(shù)。注意 不能認(rèn)為 arcsinxarccosx，他們之間的關(guān)系是 arcsinx2arccosxdxxx215求例Cxdxxdxxx23252321:解dxx2116求例兩式都是本題的解又解CxdxxdxxCxdxxarccos)11(11arcsin11:2222021/6/309四、 不定積分的性質(zhì) f(x)dxf(x) 該性質(zhì)表明，如果函數(shù)f(x)先求不定積分再求導(dǎo)，所得結(jié)果仍為f(x) F(x)dxF(x)C 該性質(zhì)表明，如果函數(shù)F(x)先求導(dǎo)再求不定積分，所得結(jié)果與F(x)相差一個(gè)常數(shù)C kf(x)dxkf(x)dx (k為常數(shù)) 該性質(zhì)表明，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號的前面 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx 該性質(zhì)表明，兩個(gè)函數(shù)的和或差的不定積分等于這兩個(gè)函數(shù)的不定積分的和或差2021/6/3010五、 基本積分公式的應(yīng)用例7 求(9x28x)dx解：(9x28x)dx9x2dx8xdx 33x2dx42xdx3x34x2C例11 求3xexdxdxxx24110求例Cxxxdxxdxxdxxxxdxxxarctan3111) 1(11111:32222424解CeCeedxedxexxxxxx3ln13)3ln()3()3(3:解2021/6/30115.2 不定積分的計(jì)算一、 直接積分法 對被積函數(shù)進(jìn)行簡單的恒等變形后直接用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式即可求出不定積分的方法稱為直接積分法。 運(yùn)用直接積分法可以求出一些簡單函數(shù)的不定積分。2021/6/3012 dxx211求例Cxxxdxxdxdxxdxxxdxx23222312) 12(1:解dxxxx223)3)(1(求再如Cxxxxdxxxxdxxxxxdxxxx1|ln361)113131(3333)3)(1(:2222322解2021/6/3013一、第一換元法(湊微分法) 如果被積函數(shù)的自變量與積分變量不相同，就不能用直接積分法。 例如求cos2xdx，被積函數(shù)的自變量是2x，積分變量是x。 這時(shí)，我們可以設(shè)被積函數(shù)的自變量為u，如果能從被積式中分離出一個(gè)因子u(x)來，那么根據(jù)f(u)u(x)dxf(u)duF(u)C就可以求出不定積分。 這種積分方法叫做湊微分法。2021/6/3014講解例題例2 求2sin2xdx解：設(shè)u2x，則du2dx 2sin2xdxsin2x2dxsinudu cosuCcos2xC注意：最后結(jié)果中不能有u，一定要還原成x。解：設(shè)ux21，則du2xdxdxxx42) 1(3求例CxCuduudxxx323442) 1(616121) 1(2021/6/3015 解：設(shè)ux2，則du2xdx 設(shè)ucosx，則du-sinxdxdxxex225求例CeCeduexdxedxxexuuxx22222xdxtan7求例dxxxxdxcossintan:解CxCuduudxxxxdx|cos|ln|ln1)sin(cos1tan2021/6/3016 當(dāng)計(jì)算熟練后，換元的過程可以省去不寫。 例 求sin3xcosxdx 解：sin3xcosxdxsin3xd(sinx) sin4xC dxxx1求例dxxxxdxxx11) 1(1:解Cxxxdxxdx23252123) 1(32) 1(52) 1() 1() 1() 1(412021/6/3017二、第二換元積分法 例如，求 ，把其中最難處理的部分換元，令 則原式 ，再反解xu21，得dx2udu，代入這就是第二換元積分法。dxx1111 xudxu11duuduuudxx)111 (212111CxxCuu| 11|ln2121ln 22021/6/3018 (1)如果被積函數(shù)含有 ，可以用xasint換元。 (2)如果被積函數(shù)含有 ，可以用xatant換元。dxxxsin求例tdtdxtxtx2,:2則令解CxCttdttdtttdxxxcos2cos2sin22sinsin22xa dxxa22116求例taxatdtadxaxttaxcos,cos,arcsin,sin:22則設(shè)解CaxCtdttatdtadxxaarcsincoscos12222xa 2021/6/3019 (3)如果被積函數(shù)含有 ，可以用xasect換元。dxxa22117求例taxatdtadxtaxsec,sec,tan:222則設(shè)解CxxaCaxaxaCtttdttatdtadxxa221221222lnlntanseclnsecsecsec122ax dxax22118求例taaxtdttadxtaxtan,tansec,sec:22則設(shè)解CaxxCaaxaxCtttdttatdttadxax22122122lnlntanseclnsectantansec12021/6/3020以下結(jié)果可以作為公式使用： tanxdxln|secx|C cotdxln|cscx|C secxdxln|secxtanx|C cscxdxln|cscxcotx|C Caxaxaaxdxln2122Caxxaxdx2222lnCxaxaxadxxa222222arcsin22021/6/30215.3 分部積分法一、分部積分公式考察函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則： u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)兩邊積分得 u(x)v(x)u(x)v(x)dxu(x)v(x)dx于是有 u ( x ) v ( x ) d x u ( x ) v ( x ) u(x)v(x)dx或表示成 u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)這一公式稱為分部積分公式。2021/6/3022二、講解例題例1 求xexdx解:令 u(x)x，v(x)ex 則原式為u(x)v(x)dx的形式 (ex)ex v(x)ex，由分部積分公式有 xexdxxexexdxxexexC例2 求xcos2xdx解：令 u(x)x，v(x)cos2x，則v(x) sin2x 于是xcos2xdx xsin2x sin2xdx xsin2x cos2xC21212121412021/6/3023 有時(shí)，用分部積分法求不定積分需要連續(xù)使用幾次分部積分公式才可以求出結(jié)果。例5：求x2e-2xdx解：令u(x)x2，v(x)e-2x，則v(x)于是xe221dxexexdxexxxx)21(22122222)2121(21212222222dxexeexdxxeexxxxxxCexeexxxx22224121212021/6/3024由此可見：作一次分部積分后，被積函數(shù)中冪函數(shù)的次數(shù)可以降低一次。如果所得到的積分式還需要用分部積分法解，那么，可以再用分部積分公式做下去。 為了簡化運(yùn)算過程，下面介紹:三、分部積分法的列表解法例如：求 x2sinxdx x2 sinx 求導(dǎo) + 積分 2x - -cosxx2sinxdx -x2cosx-2x(-cosx)dx2021/6/3025 分部積分法的列表解法例如：求 x2sinxdx x2 sinx求導(dǎo)積分2x-cosxx2sinxdx-x2cosx2xcosxdx-x2cosx2xsinx-2sinxdx求導(dǎo)積分-sinx-x2cosx2xsinx2cosxC求導(dǎo)積分+cosx 2021/6/3026例4：求xlnxdx x lnx 求導(dǎo) 積分 1 ?這說明把lnx放在右邊用分部積分法解不下去。把lnx放在左邊用分部積分法解： lnx x 求導(dǎo) + 積分 - x122xCxxxdxxxxxdxx4ln22ln2ln222則2021/6/3027一般原則對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)應(yīng)放在左邊，指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)應(yīng)放在右邊。 有些單獨(dú)一個(gè)函數(shù)的不定積分也要用分部積分法解。例3：求lnxdx lnx 1 求導(dǎo) + 積分 - xx1= xlnxdx = xlnxxC2021/6/3028例6求arcsinxdx arcsinx 1 求導(dǎo) + 積分 - x例7 1 求導(dǎo) 積分 x211xdxax22求22ax 22axx2021/6/3029例8 求exsin3xdx解：exsin3xdxexsin3x3excos3xdx exsin3x3excos3x9exsin3xdx移項(xiàng)得exsin3xdx ex(si3nx3cos3x)C5.4 有理函數(shù)積分法一、有理函數(shù)的定義 有理函數(shù)是指分子、分母都是多項(xiàng)式的分式函數(shù)，形如101)()()(xQxPxRmn2021/6/3030二、真分式的部分分式分解 設(shè)分子的次數(shù)為n，分母的次數(shù)為m。 當(dāng)nm時(shí)，該分式稱為真分式； 當(dāng)nm時(shí)，該分式稱為假分式。 假分式可以寫成多項(xiàng)式與真分式的和。這里主要講解真分式的部分分式分解。例分解 成部分分式解：因?yàn)榉帜负?x1)的三重因式，所以設(shè)33)1(1xxx3233) 1() 1(1) 1(1xDxCxBxAxxx2021/6/3031等式右邊通分后得 比較等式兩邊分子各項(xiàng)的系數(shù)得 1解得：1 3202 30 1 1 2這種方法稱為待定系數(shù)法323) 1() 1() 1() 1(xxDxxCxxBxxA3233) 1(2) 1(1121) 1(1xxxxxxx則323) 1()3()23()(xxAxDCBAxCBAxBA2021/6/3032幾種簡單分式的積分法一、dxaxk)(1CaxkdxaxdxaxkCaxdxaxkkkk1)(111)()(11ln11時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)Cxxdxxdxxdxxxdxxx222ln)2(1221)2(:)2(1222解求例2021/6/3033二、1.當(dāng)分子不含一次項(xiàng)時(shí)因?yàn)榉帜钢衟2-4q0，所以分母可以配方成(x-m)2+n2，再進(jìn)一步，還可以化成04,22qpdxqpxxNMx其中 1)(22nmxnCxdxxdxxdxxdxx32arctan381)32(32322132134324:32432222解求例2021/6/3034Cxdxxdxxdxxxdxxx21arctan211)21(21212) 1(1321:32142222解求例2021/6/30352.當(dāng)分子含有一次項(xiàng)時(shí)，可將分子湊成分母的導(dǎo)數(shù)與另一常數(shù)之和再分別積分。Cxxxdxxxxdxxdxxdxxxxdxxxxdxxxx32arctan31)134ln(1)32(3131)134(13419)2(11344213452:13452522222222解求例2021/6/3036三、分母可以因式分解的有理函數(shù)1.若被積函數(shù)是假分式，先把它分解成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和,2. 對于真分式，先將分母因式分解，再用待定系數(shù)法化為部分分式之和,3. 對每個(gè)最簡分式分別求不定積分。2021/6/3037 Cxxdxxdxxdxxxxxxxxxdxxxx1ln212ln22112121312512123125:1256222解求例2021/6/3038再如前面舉過的例子求dxxxx33) 1(1Cxxxxdxxdxxdxxdxxdxxxxxxxxxxx232333233) 1(111| 1|ln2|ln) 1(12) 1(11121) 1(1) 1(2) 1(1121) 1(1: 解2021/6/3039作業(yè) P.253 1 ，2 ，4 P.267 2 (23)(25)P.273 1 8 P.279 1 ,4 ,9 若有不當(dāng)之處，請指正，謝謝！若有不當(dāng)之處，請指正，謝謝！