高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式單元整合素材 新人教A版選修4-5（通用）

第三講 柯西不等式與排序不等式單元整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 專題探究專題一柯西不等式的應(yīng)用利用柯西不等式證明其他不等式或求最值，關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并向著柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，e滿足abcde8，a2b2c2d2e216，求e的取值范圍提示：由a2b2c2d2e2聯(lián)想到應(yīng)用柯西不等式解：4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即4(16e2)(8e)2,644e26416ee2，即5e216e0，e(5e16)0，0e.即e的取值范圍是.若n是不小于2的正整數(shù)，試證：1.提示：注意中間的一列數(shù)的代數(shù)和，其奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，可進(jìn)行恒等變形予以化簡證明：12，所以求證式等價(jià)于.由柯西不等式，有(n1)(n2)2nn2，于是，又由柯西不等式，有.綜上，原不等式成立專題二排序不等式的應(yīng)用應(yīng)用排序不等式可以簡捷地證明一類不等式，其證明的關(guān)鍵是找出兩組有序數(shù)組，通?？梢詮暮瘮?shù)單調(diào)性去尋找在ABC中，試證：.提示：可構(gòu)造ABC的邊和角的序列，應(yīng)用排序不等式來證明證明：不妨設(shè)abc，于是ABC，由排序不等式，得：aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)，得，又由0bca,0abc,0acb，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC)，得.由得原不等式成立專題三利用不等式解決最值問題利用不等式解決最值問題，尤其是含多個(gè)變量的問題，是一種常用方法特別是條件最值問題，通常運(yùn)用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及冪平均不等式等，但要注意取等號(hào)的條件能否滿足設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a2b3c13，求的最大值解：根據(jù)柯西不等式，知(a2b3c)2()2，()2，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)又a2b3c13，a9，b，c時(shí)，有最大值.專題四利用柯西不等式解決實(shí)際問題數(shù)學(xué)知識(shí)服務(wù)于生活實(shí)踐始終是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題，利用柯西不等式解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是從實(shí)際情景中構(gòu)造出這類不等式的模型如圖，等腰直角三角形AOB的直角邊長為1.在此三角形中任取點(diǎn)P，過P分別引三邊的平行線，與各邊圍成以P為頂點(diǎn)的三個(gè)三角形(圖中陰影部分)，求這三個(gè)三角形的面積和的最小值，以及達(dá)到最小值時(shí)P的位置解：分別取OA，OB為x軸、y軸，則AB的方程為xy1，記P點(diǎn)坐標(biāo)P(xP，yP)，則以P為公共頂點(diǎn)的三個(gè)三角形的面積和S為Sxy(1xPyP)2，則2Sxy(1xPyP)2.由柯西不等式，得xy(1xPyP)2(121212)xPyP(1xPyP)2，即2S×36S1，所以S.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即xPyP時(shí)，面積S最小，且最小值為.