高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 平均不等式素材 新人教A版選修4-5（通用）

平均不等式一、引入：1定理1：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）證明：指出定理適用范圍：強調(diào)取“=”的條件。2定理2：如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）證明： 即： 當(dāng)且僅當(dāng)時 注意：（1）這個定理適用的范圍：；（2）語言表述：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。3定理3：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）證明： 上式0 從而指出：這里 就不能保證。推論：如果，那么。（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）證明：4算術(shù)幾何平均不等式：如果 則：叫做這n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)；基本不等式： （）這個結(jié)論最終可用數(shù)學(xué)歸納法，二項式定理證明（這里從略）語言表述：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。的幾何解釋：以為直徑作圓，在直徑AB上取一點C，過C作弦DDAB 則，從而，而半徑。二、典型例題：例1 已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：。證： 以上三式相加：例2 設(shè)為正數(shù)，求證：。例3 設(shè)，為正數(shù)，證明：。例4 若，設(shè) 求證：加權(quán)平均；算術(shù)平均；幾何平均；調(diào)和平均證：即：（俗稱冪平均不等式）由平均不等式即：綜上所述：