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【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 數(shù)學(xué)思想方法】專(zhuān)題10 第45練

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【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 數(shù)學(xué)思想方法】專(zhuān)題10 第45練

第45練數(shù)形結(jié)合思想思想方法解讀數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法,包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面,其應(yīng)用大致可以分為兩種情形:借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系,即以形作為手段,數(shù)作為目的,比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì);借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性,即以數(shù)作為手段,形作為目的,如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)意義,又揭示其幾何直觀,使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫(huà)與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起,充分利用這種結(jié)合,尋找解題思路,使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn),從而得到解決.數(shù)形結(jié)合的思想,其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖象結(jié)合起來(lái),關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化,它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化,幾何問(wèn)題代數(shù)化.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí),要注意三點(diǎn):第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征,對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義;第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參,建立關(guān)系,由數(shù)思形,以形想數(shù),做好數(shù)形轉(zhuǎn)化;第三是正確確定參數(shù)的取值范圍.數(shù)學(xué)中的知識(shí),有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合.如:銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來(lái)定義的;任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來(lái)定義的.??碱}型精析題型一數(shù)形結(jié)合在方程根的個(gè)數(shù)中的應(yīng)用例1方程sin x的解的個(gè)數(shù)是()A.5 B.6 C.7 D.8點(diǎn)評(píng)利用數(shù)形結(jié)合求方程解應(yīng)注意兩點(diǎn)(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點(diǎn))可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題,但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準(zhǔn)確性、全面性,否則會(huì)得到錯(cuò)解.(2)正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵,數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則而采用,不要刻意去數(shù)形結(jié)合.變式訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(4,0) B.(,0C.(4,0 D.(,0)題型二利用數(shù)形結(jié)合解決不等式參數(shù)問(wèn)題例2設(shè)函數(shù)f(x)a和g(x)x1,已知x4,0時(shí),恒有f(x)g(x),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.點(diǎn)評(píng)利用數(shù)形結(jié)合解不等式或求參數(shù)的方法求參數(shù)范圍或解不等式問(wèn)題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象,根據(jù)不等式中量的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù),利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題,往往可以避免煩瑣的運(yùn)算,獲得簡(jiǎn)捷的解答.變式訓(xùn)練2若存在正數(shù)x使2x(xa)<1成立,則a的取值范圍是()A.(,) B.(2,)C.(0,) D.(1,)題型三利用數(shù)形結(jié)合求最值例3(2014北京)已知圓C:(x3)2(y4)21和兩點(diǎn)A(m,0),B(m,0)(m>0),若圓C上存在點(diǎn)P,使得APB90,則m的最大值為()A.7 B.6 C.5 D.4點(diǎn)評(píng)利用數(shù)形結(jié)合求最值的方法步驟第一步:分析數(shù)理特征,確定目標(biāo)問(wèn)題的幾何意義.一般從圖形結(jié)構(gòu)、圖形的幾何意義分析代數(shù)式是否具有幾何意義.第二步:轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.第三步:解決幾何問(wèn)題.第四步:回歸代數(shù)問(wèn)題.第五步:回顧反思.應(yīng)用幾何意義數(shù)形結(jié)合法解決問(wèn)題需要熟悉常見(jiàn)的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式,主要有:(1)比值可考慮直線的斜率;(2)二元一次式可考慮直線的截距;(3)根式分式可考慮點(diǎn)到直線的距離;(4)根式可考慮兩點(diǎn)間的距離.變式訓(xùn)練3已知P是直線l:3x4y80上的動(dòng)點(diǎn),PA、PB是圓x2y22x2y10的兩條切線,A、B是切點(diǎn),C是圓心,求四邊形PACB面積的最小值.高考題型精練1.(2014福建)已知函數(shù)f(x)則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)是偶函數(shù)B.f(x)是增函數(shù)C.f(x)是周期函數(shù)D.f(x)的值域?yàn)?,)2.若方程xk有且只有一個(gè)解,則k的取值范圍是()A.1,1) B.kC.1,1 D.k或k1,1)3.已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y滿足則x2y26x9的取值范圍是()A.2,4 B.2,16C.4,10 D.4,164.已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量,若向量c滿足(ac)(bc)0,則|c|的最大值是()A.1 B.2C. D.5.已知函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系:f(x1)f(x1);當(dāng)x1,1時(shí),f(x)x2,則方程f(x)lg x解的個(gè)數(shù)是()A.5 B.7 C.9 D.106.若過(guò)點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x2)2y21有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是()A., B.(,)C., D.(,)7.(2015北京西城區(qū)模擬)設(shè)平面點(diǎn)集A(x,y)|(yx)(y)0,B(x,y)|(x1)2(y1)21,則AB所表示的平面圖形的面積為()A. B.C. D.8.(2014山東)已知函數(shù)yf(x)(xR),對(duì)函數(shù)yg(x)(xI),定義g(x)關(guān)于f(x)的“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”為函數(shù)yh(x)(xI),yh(x)滿足:對(duì)任意xI,兩個(gè)點(diǎn)(x,h(x),(x,g(x)關(guān)于點(diǎn)(x,f(x)對(duì)稱(chēng).若h(x)是g(x)關(guān)于f(x)3xb的“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”,且h(x)>g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_.9.設(shè)關(guān)于的方程cos sin a0在區(qū)間(0,2)內(nèi)有相異的兩個(gè)實(shí)根、.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)求的值.10.已知函數(shù)f(x)logaxxb(a>0,且a1),當(dāng)2<a<3<b<4時(shí),函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0(n,n1),nN*,求n的值.答案精析第45練數(shù)形結(jié)合思想??碱}型精析例1C 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y1sin x和y2的圖象,如下圖:觀察圖象可知y1sin x和y2的圖象在第一象限有3個(gè)交點(diǎn),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知,在第三象限也有3個(gè)交點(diǎn),在加上原點(diǎn),共7個(gè)交點(diǎn),所以方程sin x有7個(gè)解.變式訓(xùn)練1B 當(dāng)x>0時(shí),f(x)ln x與x軸有一個(gè)交點(diǎn),即f(x)有一個(gè)零點(diǎn).依題意,顯然當(dāng)x0時(shí),f(x)kx2也有一個(gè)零點(diǎn),即方程kx20只能有一個(gè)解.令h(x),g(x)kx2,則兩函數(shù)圖象在x0時(shí)只能有一個(gè)交點(diǎn).若k>0,顯然函數(shù)h(x)與g(x)kx2在x0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn),即點(diǎn)A與原點(diǎn)O(如圖所示).顯然k>0不符合題意.若k<0,顯然函數(shù)h(x)與g(x)kx2在x0時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn),即原點(diǎn)O(如圖所示).若k0,顯然函數(shù)h(x)與g(x)kx2在x0時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn),即原點(diǎn)O.綜上,所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是(,0.故選B.例2解f(x)g(x),即ax1,變形得x1a,令y1,y2x1a.變形得(x2)2y24(y0),即表示以(2,0)為圓心,2為半徑的圓的上半圓;表示斜率為,縱截距為1a的平行直線系.設(shè)與圓相切的直線為AT,其方程為yxb (b>0),則圓心(2,0)到AT的距離為d,由2,得b6或(舍去).當(dāng)1a6,即a5時(shí),f(x)g(x).變式訓(xùn)練2D解析因?yàn)?x>0,所以由2x(xa)<1得xa<2x,在直角坐標(biāo)系中,作出函數(shù)f(x)xa,g(x)2x的圖象,如圖.當(dāng)x>0時(shí),g(x)2x<1,所以如果存在x>0,使2x(xa)<1,則有f(0)<1,即a<1,即a>1,所以選D.例3B解析根據(jù)題意,畫(huà)出示意圖,如圖所示,則圓心C的坐標(biāo)為(3,4),半徑r1,且|AB|2m.因?yàn)锳PB90,連接OP,易知|OP|AB|m.要求m的最大值,即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離.因?yàn)閨OC|5,所以|OP|max|OC|r6,即m的最大值為6.變式訓(xùn)練3解從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問(wèn)題,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x4y80向左上方或右下方無(wú)窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí),直角三角形PAC的面積SRtPAC|PA|AC|PA|越來(lái)越大,從而S四邊形PACB也越來(lái)越大;當(dāng)點(diǎn)P從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí),S四邊形PACB變小,顯然,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置,即CP垂直直線l時(shí),S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值,此時(shí)|PC|3,從而|PA|2.所以(S四邊形PACB)min 2|PA|AC|2.高考題型精練1.D 函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,由圖象知只有D正確.2.D 令y1xk,y2,則x2y21(y0).作出圖象如圖:而y1xk中,k是直線的縱截距,由圖知:方程有一個(gè)解直線與上述半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)k或1k<1.3.B 畫(huà)出可行域如圖,所求的x2y26x9(x3)2y2是點(diǎn)Q(3,0)到可行域上的點(diǎn)的距離的平方,由圖形知最小值為Q到射線xy10(x0)的距離d的平方,最大值為|QA|216.d222.取值范圍是2,16.4.C 如圖,設(shè)Oa,Ob,Oc,則Cac,Cbc.由題意知CC,O、A、C、B四點(diǎn)共圓.當(dāng)OC為圓的直徑時(shí),|c|最大,此時(shí),|O|.5.C 由題意可知,f(x)是以2為周期,值域?yàn)?,1的函數(shù).又f(x)lg x,則x(0,10,畫(huà)出兩函數(shù)圖象,則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù).由圖象可知共9個(gè)交點(diǎn).6.C 設(shè)直線方程為yk(x4),即kxy4k0,直線l與曲線(x2)2y21有公共點(diǎn),圓心到直線的距離小于等于半徑即d|1,得4k2k21,k2.所以k.7.D 因?yàn)閷?duì)于集合A,(yx)0,所以或其表示的平面區(qū)域如圖.對(duì)于集合B,(x1)2(y1)21表示以(1,1)為圓心,1為半徑的圓及其內(nèi)部區(qū)域,其面積為.由題意意知AB所表示的平面圖形為圖中陰影部分,曲線y與直線yx將圓(x1)2(y1)21分成S1,S2,S3,S4四部分.因?yàn)閳A(x1)2(y1)21與y的圖象都關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng),從而S1S2,S3S4,而S1S2S3S4,所以S陰影S2S4.8.(2,)解析由已知得3xb,所以h(x)6x2b.h(x)>g(x)恒成立,即6x2b>,3xb>恒成立.在同一坐標(biāo)系內(nèi),畫(huà)出直線y3xb及半圓y(如圖所示),可得>2,即b>2,故答案為(2,).9.解(1)原方程可化為sin(),作出函數(shù)ysin(x)(x(0,2)的圖象.由圖知,方程在(0,2)內(nèi)有相異實(shí)根,的充要條件是即2a或a2.(2)由圖知:當(dāng)a2,即時(shí),直線y與三角函數(shù)ysin(x)的圖象交于C、D兩點(diǎn),它們中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以,所以.當(dāng)2a,即時(shí),直線y與三角函數(shù)ysin(x)的圖象有兩交點(diǎn)A、B,由對(duì)稱(chēng)性知,所以,綜上所述,或.10.解由于2<a<3<b<4,故f(1)loga11b1b<0,而0<loga2<1,2b(2,1),故f(2)loga22b<0,又loga3(1,2),3b(1,0),故f(3)loga33b>0,因此函數(shù)必在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在零點(diǎn),故n2.

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