【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)】專題3 第9練

第9練顧全局函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題題型分析高考展望函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題是高考常考題型，一般以選擇題、填空題的形式考查，難度為中檔.其考查點(diǎn)有兩個(gè)方面：一是函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間、零點(diǎn)個(gè)數(shù)；二是由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或取值范圍求解參數(shù)的取值范圍.?？碱}型精析題型一零點(diǎn)個(gè)數(shù)與零點(diǎn)區(qū)間問(wèn)題例1(1)(2014湖北)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x23x，則函數(shù)g(x)f(x)x3的零點(diǎn)的集合為()A.1,3 B.3，1,1,3C.2，1,3 D.2，1,3(2)(2015北京)設(shè)函數(shù)f(x)若a1，則f(x)的最小值為_(kāi)；若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.點(diǎn)評(píng)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法：(1)若方程易求解時(shí)，用解方程判定法；(2)數(shù)形結(jié)合法，在研究函數(shù)零點(diǎn)、方程的根及圖象交點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)，當(dāng)從正面求解難以入手時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為某一易入手的等價(jià)問(wèn)題求解，如求解含有絕對(duì)值、分式、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)式等較復(fù)雜的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為熟悉的兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題求解.變式訓(xùn)練1(2015東營(yíng)模擬)x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如2.92，4.15.已知f(x)xx(xR)，g(x)log4(x1)，則函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.4題型二由函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍問(wèn)題例2(2014天津)已知函數(shù)f(x) 若函數(shù)yf(x)a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi).點(diǎn)評(píng)利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法：(1)利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.變式訓(xùn)練2(2015北京東城區(qū)模擬)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x2)f(x).當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)2x.若在區(qū)間2,3上方程ax2af(x)0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.高考題型精練1.已知x1，x2是函數(shù)f(x)e-x|ln x|的兩個(gè)零點(diǎn)，則()A.<x1x2<1 B.1<x1x2<eC.1<x1x2<10 D.e<x1x2<102.(2015天津)已知函數(shù)f(x)函數(shù)g(x)bf(2x)，其中bR，若函數(shù)yf(x)g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是()A. B.C. D.3.(2015福州模擬)已知函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為()A.，0 B.2,0C. D.04.函數(shù)f(x)2sin xx1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.4 B.5C.6 D.75.設(shè)函數(shù)f(x)4sin(2x1)x，則在下列區(qū)間中函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)的是()A.4，2 B.2,0C.0,2 D.2,46.(2014課標(biāo)全國(guó))已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍是()A.(2，) B.(，2)C.(1，) D.(，1)7.定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)則關(guān)于x的函數(shù)F(x)f(x)a(0<a<1)的所有零點(diǎn)之和為()A.12a B.2a1C.12a D.2a18.(2015北京朝陽(yáng)區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.9.已知函數(shù)f(x)logaxxb(a>0，且a1)，當(dāng)2<a<3<b<4時(shí)，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0(n，n1)，nN*，則n_.10.方程2xx23的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為_(kāi).11.(2015江蘇)已知函數(shù)f(x)|ln x|，g(x)則方程|f(x)g(x)|1實(shí)根的個(gè)數(shù)為_(kāi).12.已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)x，且在1,3內(nèi)，關(guān)于x的方程f(x)kxk1 (kR，k1)有四個(gè)根，則k的取值范圍是_.答案精析第9練顧全局函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題?？碱}型精析例1(1)D(2)12，)解析(1)令x<0，則x>0，所以f(x)(x)23xx23x.因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)f(x).所以當(dāng)x<0時(shí)，f(x)x23x.所以當(dāng)x0時(shí)，g(x)x24x3.令g(x)0，即x24x30，解得x1或x3.當(dāng)x<0時(shí)，g(x)x24x3.令g(x)0，即x24x30，解得x2>0(舍去)或x2.所以函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，故其集合為2，1,3.(2)當(dāng)a1時(shí)，f(x)當(dāng)x<1時(shí)，f(x)2x1(1,1)，當(dāng)x1時(shí)，f(x)4(x23x2)41，f(x)min1.由于f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，分兩種情況討論：當(dāng)f(x)2xa，x<1沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)，a2或a0.當(dāng)a2時(shí)，f(x)4(xa)(x2a)，x1時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)4(xa)(x2a)，x1時(shí)無(wú)零點(diǎn).因此a2滿足題意.當(dāng)f(x)2xa，x<1有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)， 0<a<2.f(x)4(xa)(x2a)，x1有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)a<1, 2a1，因此a<1.綜上知實(shí)數(shù)a的取值范圍是.變式訓(xùn)練1B 函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)f(x)xx與函數(shù)g(x)log4(x1)的大致圖象如圖，由圖可知兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，即函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.例21<a<2解析畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.函數(shù)yf(x)a|x|有4個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y1a|x|的圖象與函數(shù)f(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)(根據(jù)圖象知需a>0).當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y1a|x|的圖象有3個(gè)交點(diǎn).故a<2.當(dāng)ya|x|(x0)與y|x25x4|相切時(shí)，在整個(gè)定義域內(nèi)，f(x)的圖象與y1a|x|的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，由得x2(5a)x40.由0得(5a)2160，解得a1，或a9(舍去)，則當(dāng)1<a<2時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn).故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1<a<2.變式訓(xùn)練2<a<解析由f(x2)f(x)得函數(shù)的周期是2.由ax2af(x)0得f(x)ax2a，設(shè)yf(x)，yax2a，作出函數(shù)yf(x)，yax2a的圖象，如圖，要使方程ax2af(x)0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則直線yax2aa(x2)的斜率滿足kAH<a<kAG，由題意可知，G(1,2)，H(3,2)，A(2,0)，所以kAH，kAG，所以<a<.高考題型精練1. A 在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)yex與y|ln x|的圖象，結(jié)合圖象不難看出，它們的兩個(gè)交點(diǎn)中，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)屬于區(qū)間(0,1)，另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)屬于區(qū)間(1，)，即在x1，x2中，其中一個(gè)屬于區(qū)間(0,1)，另一個(gè)屬于區(qū)間(1，).不妨設(shè)x1(0,1)，x2(1，)，則有ex1|ln x1|ln x1(e1,1)，ex2|ln x2|ln x2(0，e1)，ex2ex1ln x2ln x1ln x1x2(1,0)，于是有e1<x1x2<e0，即<x1x2<1.2.D 方法一當(dāng)x>2時(shí)，g(x)xb4，f(x)(x2)2；當(dāng)0x2時(shí)，g(x)bx，f(x)2x；當(dāng)x<0時(shí)，g(x)bx2，f(x)2x.由于函數(shù)yf(x)g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，所以方程f(x)g(x)0恰有4個(gè)根.當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)x>2時(shí)，方程f(x)g(x)0可化為x25x80，無(wú)解；當(dāng)0x2時(shí)，方程f(x)g(x)0可化為2x(x)0，無(wú)解；當(dāng)x<0時(shí)，方程f(x)g(x)0可化為x2x20，無(wú)解.所以b0，排除答案B.當(dāng)b2時(shí)，當(dāng)x>2時(shí)，方程f(x)g(x)0可化為(x2)2x2，得x2(舍去)或x3，有1解；當(dāng)0x2時(shí)，方程f(x)g(x)0可化為2x2x，有無(wú)數(shù)個(gè)解；當(dāng)x<0時(shí)，方程f(x)g(x)0可化為2x2x2，得x0(舍去)或x1，有1解.所以b2，排除答案A.當(dāng)b1時(shí)，當(dāng)x>2時(shí)，方程f(x)g(x)0可化為x25x70，無(wú)解；當(dāng)0x2時(shí)，方程f(x)g(x)0可化為1x2x，無(wú)解；當(dāng)x<0時(shí)，方程f(x)g(x)0可化為x2x10，無(wú)解.所以b1，排除答案C.因此答案選D.方法二記h(x)f(2x)在同一坐標(biāo)系中作出f(x)與h(x)的圖象如圖，直線AB：yx4，當(dāng)直線lAB且與f(x)的圖象相切時(shí)，由解得b，(4)，所以曲線h(x)向上平移個(gè)單位后，所得圖象與f(x)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，平移2個(gè)單位后，兩圖象有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，因此，當(dāng)b2時(shí)，f(x)與g(x)的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)，即yf(x)g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn).選D.3.D 當(dāng)x1時(shí)，由f(x)2x10，解得x0；當(dāng)x>1時(shí)，由f(x)1log2x0，解得x，又因?yàn)閤>1，所以此時(shí)方程無(wú)解.綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0.4.B 2sin xx10，2sin xx1，圖象如圖所示，由圖象看出y2sin x與yx1有5個(gè)交點(diǎn)，f(x)2sin xx1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.5.A f(0)4sin 1>0，f(2)4sin 52，由于<5<2，所以sin 5<0，故f(2)<0，則函數(shù)在0,2上存在零點(diǎn)；由于f(1)4sin(1)1<0，故函數(shù)在1,0上存在零點(diǎn)，也在2,0上存在零點(diǎn)；令x2,4，則f()4sin 4>0，而f(2)<0，所以函數(shù)在2,4上存在零點(diǎn).選A.6.B f(x)3ax26x，當(dāng)a3時(shí)，f(x)9x26x3x(3x2)，則當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)>0；x(0，)時(shí)，f(x)<0；x(，)時(shí)，f(x)>0，注意f(0)1，f()>0，則f(x)的大致圖象如圖1所示.圖1不符合題意，排除A、C.當(dāng)a時(shí)，f(x)4x26x2x(2x3)，則當(dāng)x(，)時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)<0，注意f(0)1，f()，則f(x)的大致圖象如圖2所示.圖2不符合題意，排除D.7.A 當(dāng)0x<1時(shí)，f(x)0.由F(x)f(x)a0，畫(huà)出函數(shù)yf(x)與ya的圖象如圖.函數(shù)F(x)f(x)a有5個(gè)零點(diǎn).當(dāng)1<x<0時(shí)，0<x<1，所以f(x)log0.5(x1)log2(1x)，即f(x)log2(1x)，1<x<0.由f(x)log2(1x)a，解得x12a，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)F(x)f(x)a(0<a<1)的所有零點(diǎn)之和為12a.8.解析畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象如圖.要使函數(shù)g(x)f(x)k有兩個(gè)不同零點(diǎn)，只需yf(x)與yk的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則圖易知k.9.2解析由于2<a<3<b<4，故f(1)loga11b1b<0，而0<loga2<1,2b(2，1)，故f(2)loga22b<0，又loga3(1,2)，3b(1,0)，故f(3)loga33b>0，因此函數(shù)必在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在零點(diǎn)，故n2.10.2解析方程變形為3x22x()x，令y13x2，y2()x.如圖所示，由圖象可知有2個(gè)交點(diǎn).11.4解析令h(x)f(x)g(x)，則h(x)當(dāng)1x2時(shí)，h(x)2x0，故當(dāng)1x2時(shí)h(x)單調(diào)遞減，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出y|h(x)|和y1的圖象如圖所示.由圖象可知|f(x)g(x)|1的實(shí)根個(gè)數(shù)為4.12.解析由題意作出f(x)在1,3上的圖象如圖，記yk(x1)1，函數(shù)yk(x1)1的圖象過(guò)定點(diǎn)A(1,1).記B(2,0)，由圖象知，方程有四個(gè)根，即函數(shù)yf(x)與ykxk1的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，故kAB<k<0，kAB，<k<0.