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【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)】專題3 第13練

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【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)】專題3 第13練

第13練必考題型導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性題型分析高考展望利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是高考每年必考內(nèi)容,多以綜合題中某一問的形式考查,題目承載形式多種多樣,但其實質(zhì)都是通過求導(dǎo)判斷導(dǎo)數(shù)符號,確定單調(diào)性.題目難度為中等偏上,一般都在最后兩道壓軸題上,這是二輪復(fù)習(xí)的得分點,應(yīng)高度重視.??碱}型精析題型一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的“兩個”方法(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域;求導(dǎo)數(shù)yf(x);解不等式f(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間;解不等式f(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.(2)確定函數(shù)yf(x)的定義域;求導(dǎo)數(shù)yf(x),令f(x)0,解此方程,求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根;把函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標(biāo)和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義域分成若干個小區(qū)間;確定f(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號,根據(jù)符號判定函數(shù)在每個相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.例1已知函數(shù)f(x)ax2ln x,g(x)bx,其中a,bR.設(shè)h(x)f(x)g(x).若f(x)在x處取得極值,且f(1)g(1)2,求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間.點評利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,關(guān)鍵是要嚴(yán)格解題步驟,形成解這類問題的基本程序.變式訓(xùn)練1(2015重慶)已知函數(shù)f(x)ax3x2(aR)在x處取得極值.(1)確定a的值;(2)若g(x)f(x)ex,討論g(x)的單調(diào)性.題型二已知函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍例2(2015西安模擬)已知函數(shù)f(x)3ax2x2ln x,a為常數(shù).(1)當(dāng)a1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.點評已知函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)的單調(diào)性,求參數(shù)的取值范圍的方法(1)利用集合間的包含關(guān)系處理:yf(x)在(a,b)上單調(diào),則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2)轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題求解:即“若函數(shù)單調(diào)遞增,則f(x)0;若函數(shù)單調(diào)遞減,則f(x)0”.變式訓(xùn)練2(2015重慶)設(shè)函數(shù)f(x)(aR).(1)若f(x)在x0處取得極值,確定a的值,并求此時曲線yf(x)在點(1,f(1)處的切線方程;(2)若f(x)在3,)上為減函數(shù),求a的取值范圍.題型三與函數(shù)導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性有關(guān)的圖象問題例3已知函數(shù)yxf(x)的圖象如圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),下面四個圖象中,yf(x)的圖象可能是()點評利用導(dǎo)數(shù)判斷圖象,應(yīng)先分清原函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象;看導(dǎo)函數(shù)圖象,要看哪一部分大于0,哪一部分小于0,看原函數(shù)圖象要看單調(diào)性.變式訓(xùn)練3(2015安徽)函數(shù)f(x)ax3bx2cxd的圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是()A.a>0,b<0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<0,c>0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0高考題型精練1.已知定義在R上的函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示,則下列敘述正確的是()A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(b)>f(d)2.(2014課標(biāo)全國)若函數(shù)f(x)kxln x在區(qū)間(1,)單調(diào)遞增,則k的取值范圍是()A.(,2 B.(,1C.2,) D.1,)3.若函數(shù)yf(x)在R上可導(dǎo),且滿足不等式xf(x)>f(x)恒成立,且常數(shù)a,b滿足a>b,則下列不等式一定成立的是()A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b)C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a)4.(2015太原模擬)定義在上的函數(shù)f(x),f(x)是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有f(x)<f(x)tan x成立,則()A.f>f B.f(1)<2fsin 1C.f>f D.f<f5.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(2)0,當(dāng)x>0時,有<0恒成立,則不等式x2f(x)>0的解集是()A.(2,0)(2,)B.(2,0)(0,2)C.(,2)(2,)D.(,2)(0,2)6.若函數(shù)f(x)x2ax在(,)是增函數(shù),則a的取值范圍是()A.1,0 B.1,)C.0,3 D.3,)7.設(shè)函數(shù)f(x)ln xax,g(x)exax,其中a為常數(shù).若f(x)在(1,)上是減函數(shù),且g(x)在(1,)上有最小值,則a的取值范圍是()A.(e,) B.e,)C.(1,) D.1,)8.函數(shù)f(x)exln(x1)的單調(diào)遞增區(qū)間是_.9.已知函數(shù)f(x)mx2ln x2x在定義域內(nèi)是增函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍為_.10.若函數(shù)f(x)2x2ln x在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k1,k1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是_.11.已知aR,函數(shù)f(x)(x2ax)ex(xR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)當(dāng)a2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)函數(shù)f(x)是否為R上的單調(diào)函數(shù)?若是,求出a的取值范圍;若不是,請說明理由.12.(2015課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)x3ax,g(x)ln x.(1)當(dāng)a為何值時,x軸為曲線yf(x)的切線;(2)用minm,n表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)minf(x),g(x)(x>0),討論h(x)零點的個數(shù).答案精析第13練必考題型導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性??碱}型精析例1解因為f(x)ax,所以f(1)a1.由f(1)g(1)2可得ab3.又f(x)在x處取得極值,所以fa0,所以a2,b1.所以h(x)x2ln xx,其定義域為(0,).h(x)2x1,令h(x)0得x1,x21,當(dāng)x(0,1)時,h(x)>0;當(dāng)x(1,)時,h(x)<0.所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞減.變式訓(xùn)練1解(1)對f(x)求導(dǎo)得f(x)3ax22x,因為f(x)在x處取得極值,所以f0,即3a20,解得a.(2)由(1)得g(x)ex,故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0,解得x0,x1或x4.當(dāng)x4時,g(x)0,故g(x)為減函數(shù);當(dāng)4x1時,g(x)0,故g(x)為增函數(shù);當(dāng)1x0時,g(x)0,故g(x)為減函數(shù);當(dāng)x0時,g(x)0,故g(x)為增函數(shù).綜上知g(x)在(,4)和(1,0)內(nèi)為減函數(shù),在(4,1)和(0,)內(nèi)為增函數(shù).例2解(1)當(dāng)a1時,f(x)3x2x2ln x,函數(shù)f(x)的定義域是(0,),f(x)34x.由f(x)>0,得0<x<1;由f(x)<0,得x>1.故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,1),單調(diào)減區(qū)間是(1,).(2)f(x)3a4x.若函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為單調(diào)函數(shù),則f(x)0,或f(x)0在區(qū)間1,2上恒成立.于是3a4x0,或3a4x0在區(qū)間1,2上恒成立,即3a4x,或3a4x在區(qū)間1,2上恒成立.令h(x)4x,則h(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù).因此h(x)maxh(2),h(x)minh(1)3.即3a或3a3,故a或a1.所以a的取值范圍為(,1.變式訓(xùn)練2解(1)對f(x)求導(dǎo)得f(x),因為f(x)在x0處取得極值,所以f(0)0,即a0.當(dāng)a0時,f(x),f(x),故f(1),f(1),從而f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為y(x1),化簡得3xey0.(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a)xa,由g(x)0解得x1,x2.當(dāng)xx1時,g(x)0,即f(x)0,故f(x)為減函數(shù);當(dāng)x1xx2時,g(x)0,即f(x)0,故f(x)為增函數(shù);當(dāng)xx2時,g(x)0,即f(x)0,故f(x)為減函數(shù).由f(x)在3,)上為減函數(shù),知x23,解得a,故a的取值范圍為.例3B 由函數(shù)yxf(x)的圖象知,x<1時,f(x)>0,f(x)為增函數(shù);1<x<0時,f(x)<0,f(x)為減函數(shù);0<x<1時,f(x)<0,f(x)為減函數(shù);x>1時,f(x)>0,f(x)為增函數(shù).故選項B的圖象符合.變式訓(xùn)練3A 由已知f(0)d>0,可排除D;其導(dǎo)函數(shù)f(x)3ax22bxc且f(0)c>0,可排除B;又f(x)0有兩不等實根,且x1x20,所以a0,故選A.高考題型精練1.C 由f(x)的圖象知,xa,c時,f(x)0,f(x)為增函數(shù),c>b>a,f(c)>f(b)>f(a).2.D 由于f(x)k,f(x)kxln x在區(qū)間(1,)單調(diào)遞增f(x)k0在(1,)上恒成立.由于k,而0<<1,所以k1.即k的取值范圍為1,).3. B 令F(x)xf(x),則F(x)xf(x)f(x),由xf(x)>f(x),得xf(x)f(x)>0,即F(x)>0,所以F(x)在R上為遞增函數(shù).因為a>b,所以af(a)>bf(b).4.D f(x)<f(x)tan x,即f(x)sin xf(x)cos x>0,>0.函數(shù)在上單調(diào)遞增,從而<,即f<f.5.D x>0時<0,(x)為減函數(shù),又(2)0,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<2時,(x)>0,此時x2f(x)>0.又f(x)為奇函數(shù),h(x)x2f(x)也為奇函數(shù).故x2f(x)>0的解集為(,2)(0,2).6.D 由題意知f(x)0對任意的x(,)恒成立,又f(x)2xa,所以2xa0對任意的x(,)恒成立,分離參數(shù)得a2x,若滿足題意,需a(2x)max,令h(x)2x,x(,),因為h(x)2,所以當(dāng)x(,)時,h(x)<0,即h(x)在x(,)上單調(diào)遞減,所以h(x)<h()3,故a3.7.A f(x)a,g(x)exa,由題意得,當(dāng)x(1,)時f(x)0恒成立,即x(1,)時a恒成立,則a1.因為g(x)exa在(1,)上單調(diào)遞增,所以g(x)>g(1)ea.又g(x)在(1,)上有最小值,則必有ea<0,即a>e.綜上,a的取值范圍是(e,).8.(0,)解析f(x)ex,該函數(shù)單調(diào)遞增且f(0)0,所以當(dāng)x>0時,f(x)>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,).9.1,)解析f(x)mx20對一切x>0恒成立,m2,令g(x)2,則當(dāng)1時,函數(shù)g(x)取最大值1,故m1.10.1,)解析f(x)的定義域為(0,),f(x)4x.由f(x)0,得x.據(jù)題意得解得1k<.11.解(1)當(dāng)a2時,f(x)(x22x)ex,f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)>0,即(x22)ex>0.ex>0,x22>0,解得<x<.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(,).(2)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,則f(x)0對xR都成立,即x2(a2)xaex0對xR都成立.ex>0,x2(a2)xa0對xR都成立.(a2)24a0,即a240,不成立.故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞減.若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,則f(x)0對xR都成立,即x2(a2)xaex0對xR都成立,ex>0,x2(a2)xa0對xR都成立.而(a2)24aa24>0,故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞增.綜上可知,函數(shù)f(x)不可能是R上的單調(diào)函數(shù).12.解(1)設(shè)曲線yf(x)與x軸相切于點(x0,0),則f(x0)0,f(x0)0.即解得x0,a.因此,當(dāng)a時,x軸為曲線yf(x)的切線.(2)當(dāng)x(1,)時,g(x)ln x<0,從而h(x)minf(x),g(x)g(x)<0,故h(x)在(1,)無零點.當(dāng)x1時,若a,則f(1)a0,h(1)minf(1),g(1)g(1)0,故x1是h(x)的零點;若a<,則f(1)<0,h(1)minf(1),g(1)f(1)<0,故x1不是h(x)的零點.當(dāng)x(0,1)時,g(x)ln x>0.所以只需考慮f(x)在(0,1)的零點個數(shù).()若a3或a0,則f(x)3x2a在(0,1)無零點,故f(x)在(0,1)單調(diào).而f(0),f(1)a,所以當(dāng)a3時,f(x)在(0,1)有一個零點;當(dāng)a0時,f(x)在(0,1)沒有零點.()若3<a<0,則f(x)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在(0,1)中,當(dāng)x時,f(x)取得最小值,最小值為f.若f>0,即<a<0,f(x)在(0,1)無零點;若f0,即a,f(x)在(0,1)有唯一零點;若f<0,即3<a<,由于f(0),f(1)a,所以當(dāng)<a<時,f(x)在(0,1)有兩個零點;當(dāng)3<a時,f(x)在(0,1)有一個零點.綜上,當(dāng)a>或a<時,h(x)有一個零點;當(dāng)a或a時,h(x)有兩個零點;當(dāng)<a<時,h(x)有三個零點.

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