【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)】專題3 第10練

第10練重應(yīng)用函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題型分析高考展望函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用也是高考?？碱}型，特別是基本函數(shù)模型的應(yīng)用，在選擇題、填空題、解答題中都會(huì)出現(xiàn)，多以實(shí)際生活、常見的自然現(xiàn)象為背景，較新穎、靈活，解決此類問題時(shí)，應(yīng)從實(shí)際問題中分析涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而抽象出基本函數(shù)模型，然后利用基本函數(shù)的性質(zhì)或相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法，使問題得以解決.常考題型精析題型一基本函數(shù)模型的應(yīng)用例1(1)(2014北京)加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a、b、c是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為()A.3.50分鐘 B.3.75分鐘C.4.00分鐘 D.4.25分鐘(2)為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目，經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，國家將給予補(bǔ)償.當(dāng)x200,300時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國家每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損？該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？點(diǎn)評(píng)解決實(shí)際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于讀題，讀題必須細(xì)心、耐心，從中分析出數(shù)學(xué)“元素”，確定該問題涉及的數(shù)學(xué)模型，一般程序如下：.變式訓(xùn)練1(1)(2015北京)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況.加油時(shí)間加油量(升)加油時(shí)的累計(jì)里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程.在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為()A.6升 B.8升 C.10升 D.12升(2)2015年“五一”期間某商人購進(jìn)一批家電，每臺(tái)進(jìn)價(jià)以按原價(jià)a扣去20%，他希望對(duì)貨物定一新價(jià)，以使每臺(tái)按新價(jià)讓利25%銷售后，仍可獲得售價(jià)20%的純利，則此商人經(jīng)營(yíng)這種家電的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式是_.題型二分段函數(shù)模型的應(yīng)用例22015年4月，某地自來水苯超標(biāo)，當(dāng)?shù)刈詠硭緦?duì)水質(zhì)檢測(cè)后，決定在水中投放一種藥劑來凈化水質(zhì)，已知每投放質(zhì)量為m的藥劑后，經(jīng)過x天該藥劑在水中釋放的濃度y(毫克/升)滿足ymf(x)，其中f(x)當(dāng)藥劑在水中的濃度不低于4(毫克/升)時(shí)稱為有效凈化；當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)時(shí)稱為最佳凈化.(1)如果投放的藥劑質(zhì)量為m4，試問自來水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天？(2)如果投放藥劑質(zhì)量為m，為了使在7天(從投放藥劑算起包括7天)之內(nèi)的自來水達(dá)到最佳凈化，試確定應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量m的最小值.點(diǎn)評(píng)函數(shù)有關(guān)應(yīng)用題的常見類型及解題關(guān)鍵(1)常見類型：與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及物價(jià)、 路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價(jià)的最優(yōu)化問題.(2)解題關(guān)鍵：解答這類問題的關(guān)鍵是確切地建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)加以綜合解答.變式訓(xùn)練2季節(jié)性服裝當(dāng)季節(jié)即將來臨時(shí)，價(jià)格呈上升趨勢(shì)，設(shè)某服裝開始時(shí)定價(jià)為10元，并且每周(7天)漲價(jià)2元，5周后開始保持20元價(jià)格平穩(wěn)銷售；10周后當(dāng)季節(jié)即將過去時(shí)，平均每周削價(jià)2元，直到16周末，該服裝已不再銷售.(1)試建立價(jià)格P與周次t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若此服裝每件進(jìn)價(jià)Q與周次t之間的關(guān)系為Q0.125(t8)212，t0,16，tN，試問該服裝第幾周每件銷售利潤(rùn)最大？最大值是多少？(注：每件銷售利潤(rùn)售價(jià)進(jìn)價(jià))高考題型精練1.(2015北京)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程.下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是()A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油量最多C.甲車以80千米/時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/時(shí).相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油2.(2014湖南)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加.第一年的增長(zhǎng)率為p，第二年的增長(zhǎng)率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為()A. B.C. D.13.(2014陜西)如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點(diǎn)A的水平距離10千米處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為()A.yx3x B.yx3xC.yx3x D.yx3x4.某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動(dòng)物，已知該動(dòng)物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時(shí)間x(年)的關(guān)系為yalog2(x1)，若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到()A.300只 B.400只C.600只 D.700只5.如果在今后若干年內(nèi)，我國國民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值都控制在平均每年增長(zhǎng)9%的水平，那么要達(dá)到國民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值比1995年翻兩番的年份大約是(lg 20.301 0，lg 30.477 1，lg 1092.037 4，lg 0.092.954 3)()A.2015年 B.2011年C.2016年 D.2008年6.某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)(單元：萬元)分別為L(zhǎng)15.06x0.15x2和L22x，其中x為銷售量(單位：輛).若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤(rùn)為()A.45.606萬元 B.45.6萬元C.45.56萬元 D.45.51萬元7.(2014福建)要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_.(單位：元)8.某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批后方可投入生產(chǎn).已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計(jì)產(chǎn)量為f(n)n(n1)(2n1)噸，但如果年產(chǎn)量超過150噸，將會(huì)給環(huán)境造成危害.為保護(hù)環(huán)境，環(huán)保部門應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長(zhǎng)的生產(chǎn)期限是_年.9.一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為yaebt(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過_ min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一.10.(2015四川)某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33 的保鮮時(shí)間是_小時(shí).11.為了保護(hù)學(xué)生的視力，課桌椅子的高度都是按一定的關(guān)系配套設(shè)計(jì)的.研究表明：假設(shè)課桌的高度為y cm，椅子的高度為x cm，則y應(yīng)是x的一次函數(shù)，下表列出了兩套符合條件的課桌椅的高度：第一套第二套椅子高度x(cm)40.037.0課桌高度y(cm)75.070.2(1)請(qǐng)你確定y與x的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍).(2)現(xiàn)有一把高42.0 cm的椅子和一張高78.2 cm的課桌，它們是否配套？為什么？12.某企業(yè)實(shí)行裁員增效，已知現(xiàn)有員工a人，每人每年可創(chuàng)純收益(已扣工資等)1萬元，據(jù)評(píng)估在生產(chǎn)條件不變的情況下，每裁員一人，則留崗員工每人每年可多創(chuàng)純收益0.01萬元，但每年需付給每位下崗工人0.4萬元的生活費(fèi)，并且企業(yè)正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有員工的，設(shè)該企業(yè)裁員x人后年純收益為y萬元.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；(2)當(dāng)140<a280時(shí)，該企業(yè)應(yīng)裁員多少人，才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益？(注：在保證能取得最大經(jīng)濟(jì)效益的情況下，能少裁員，應(yīng)盡量少裁員)答案精析第10練重應(yīng)用函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用常考題型精析例1(1)B 根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得消去c化簡(jiǎn)得解得所以p0.2t21.5t2.0(t2t)2(t)2，所以當(dāng)t3.75時(shí)，p取得最大值，即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘.(2)解當(dāng)x200,300時(shí)，設(shè)該項(xiàng)目獲利為S，則S200xx2400x80 000(x400)2，所以當(dāng)x200,300時(shí)，S<0，因此該單位不會(huì)獲利.當(dāng)x300時(shí)，S取得最大值5 000，所以國家每月至少補(bǔ)貼5 000元才能使該項(xiàng)目不虧損.由題意，可知二氧化碳的每噸處理成本為()當(dāng)x120,144)時(shí)，x280x5 040(x120)2240，所以當(dāng)x120時(shí)，取得最小值240.()當(dāng)x144,500時(shí)，x2002 200200，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x400時(shí)，取得最小值200.因?yàn)?00<240，所以當(dāng)每月的處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低.變式訓(xùn)練1(1)B(2)yx (xN*)解析(1)由表知：汽車行駛路程為35 60035 000600千米，耗油量為48升，每100千米耗油量8升.(2)設(shè)每臺(tái)新價(jià)為b，則售價(jià)b(125%)，讓利b25%，由于原價(jià)為a，則進(jìn)價(jià)為a(120%)，根據(jù)題意，得每件家電利潤(rùn)為b(125%)20%b(125%)a(120%)，化簡(jiǎn)得ba.yb25%xa25%xx (xN*)，即yx(xN*).例2解(1)由題意，得當(dāng)藥劑質(zhì)量m4時(shí)，y當(dāng)0<x4時(shí)，84，顯然符合題意.當(dāng)x>4時(shí)，4，解得4<x16.綜上0<x16.所以自來水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)16天.(2)由ymf(x)得當(dāng)0<x4時(shí)，y2m在區(qū)間(0,4上單調(diào)遞增，即2m<y3m；當(dāng)x>4時(shí)，y<0，所以函數(shù)在區(qū)間(4,7上單調(diào)遞減，即y<3m，綜上知，y3m，為使4y10恒成立，只要4且3m10即可，即m.所以應(yīng)該投放的藥劑量m的最小值為.變式訓(xùn)練2解(1)P(2)設(shè)該服裝每件銷售利潤(rùn)為L(zhǎng)元.由題意，得L當(dāng)t0,5時(shí)，Lmax9.125，此時(shí)t5；當(dāng)t(5,10時(shí)，Lmax8.5，此時(shí)t6或10；當(dāng)t(10,16時(shí)，Lmax7.125，此時(shí)t11；第五周每件銷售利潤(rùn)最大，最大值為9.125元.高考題型精練1.D 根據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項(xiàng)A錯(cuò)；以相同速度行駛時(shí)，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時(shí)，甲車消耗汽油最少，故選項(xiàng)B錯(cuò)；甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)燃油效率為10千米/升，行駛1小時(shí)，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項(xiàng)C錯(cuò)；最高限速80千米/小時(shí)，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項(xiàng)D對(duì).2.D 設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，則(1x)2(1p)(1q)，x1.3.A 函數(shù)在5,5上為減函數(shù)，所以在5,5上y0，經(jīng)檢驗(yàn)只有A符合.故選A.4.A 將x1，y100代入yalog2(x1)得，100alog2(11)，解得a100，所以x7時(shí)，y100log2(71)300.5.B 設(shè)1995年生產(chǎn)總值為a，經(jīng)過x年翻兩番，則a(19%)x4a.x16.6.B 依題意可設(shè)甲銷售x輛，則乙銷售(15x)輛，所以總利潤(rùn)S5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30 (x0)，所以當(dāng)x10時(shí)，S有最大值為45.6(萬元).7.160解析設(shè)該長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)為x m，則寬為 m.又設(shè)該容器的造價(jià)為y元，則y2042(x)10，即y8020(x)(x>0).因?yàn)閤24(當(dāng)且僅當(dāng)x，即x2時(shí)取“”)，所以ymin80204160(元).8.7解析設(shè)第n(nN*)年的年產(chǎn)量為an，則a11233；當(dāng)n2時(shí)，anf(n)f(n1)n(n1)(2n1)n(n1)(2n1)3n2.又a13也符合an3n2，所以an3n2(nN*).令an150，即3n2150，解得5n5，所以1n7，nN*，故最長(zhǎng)的生產(chǎn)期限為7年.9.16解析當(dāng)t0時(shí)，ya，當(dāng)t8時(shí)，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí)，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，則t24，所以再經(jīng)過16 min.10.24解析由題意得e22k，e11k，x33時(shí)，ye33kb(e11k)3eb3eb19224.11.解(1)根據(jù)題意，課桌高度y是椅子高度x的一次函數(shù)，故可設(shè)函數(shù)關(guān)系為ykxb.將符合條件的兩套課桌椅的高度代入上述函數(shù)關(guān)系式，得y與x的函數(shù)關(guān)系式是y1.6x11.(2)把x42代入上述函數(shù)關(guān)系式中，有y1.6421178.2.給出的這套課桌椅是配套的.12.解(1)由題意可知，y(ax)(10.01x)0.4xx2xa.axa，xa，即x的取值范圍是中的自然數(shù).(2)y22a，且140<a280，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，x70，y取最大值.當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，x70，y取最大值(盡可能少裁人，舍去x70).當(dāng)員工人數(shù)為偶數(shù)時(shí)，裁員人，才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益；當(dāng)員工人數(shù)為奇數(shù)時(shí)，裁員人，才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益.