【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科不等式與線性劃】專題2 第4練

第4練用好基本不等式題型分析高考展望基本不等式是解決函數(shù)值域、最值、不等式證明、參數(shù)范圍問(wèn)題的有效工具，在高考中經(jīng)?？疾椋袝r(shí)也會(huì)對(duì)其單獨(dú)考查.題目難度為中等偏上.應(yīng)用時(shí)，要注意“拆、拼、湊”等技巧，特別要注意應(yīng)用條件，只有具備公式應(yīng)用的三個(gè)條件時(shí)，才可應(yīng)用，否則可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.?？碱}型精析題型一利用基本不等式求最大值、最小值1.利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)(1)在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，必須保證“一正，二定，三相等”，湊出定值是關(guān)鍵.(2)若兩次連用基本不等式，要注意等號(hào)的取得條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò).2.結(jié)構(gòu)調(diào)整與應(yīng)用基本不等式基本不等式在解題時(shí)一般不能直接應(yīng)用，而是需要根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結(jié)合點(diǎn)”，即把研究對(duì)象化成適用基本不等式的形式.常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法有(1)xxaa (x>a).(2)若1，則mxny(mxny)1(mxny)manb2(字母均為正數(shù)).例1(1)(2015山東)定義運(yùn)算“”：xy(x，yR，xy0)，當(dāng)x0，y0時(shí)，xy(2y)x的最小值為_(kāi).(2)函數(shù)y的最大值為_(kāi).點(diǎn)評(píng)求條件最值問(wèn)題一般有兩種思路：一是利用函數(shù)單調(diào)性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式時(shí)往往都需要變形，變形的原則是在已知條件下通過(guò)變形湊出基本不等式應(yīng)用的條件，即“和”或“積”為定值.等號(hào)能夠取得.變式訓(xùn)練1(2015重慶)設(shè)a，b0，ab5，則的最大值為_(kāi).題型二基本不等式的綜合應(yīng)用例2(1)(2015深圳模擬)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A.60件 B.80件C.100件 D.120件(2)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(1，)到拋物線C：y22px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為.點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn)，A，B是C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)Q(m，n)在直線OM上.求曲線C的方程及t的值；記d，求d的最大值.點(diǎn)評(píng)基本不等式及不等式性質(zhì)應(yīng)用十分廣泛，在最優(yōu)化實(shí)際問(wèn)題，平面幾何問(wèn)題，代數(shù)式最值等方面都要用到基本不等式，應(yīng)用時(shí)一定要注意檢驗(yàn)“三個(gè)條件”是否具備.變式訓(xùn)練2(2015陜西)設(shè)f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是()A.qrp B.qrpC.prq D.prq高考題型精練1.(2014重慶)若log4(3a4b)log2，則ab的最小值是()A.62 B.72C.64 D.742.(2015濟(jì)南模擬)已知x>1，y>1，且ln x，ln y成等比數(shù)列，則xy()A.有最大值e B.有最大值C.有最小值e D.有最小值3.小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時(shí)速為v，則()A.a<v< B.vC.<v< D.v4.若函數(shù)f(x)x(x>2)在xa處取最小值，則a等于()A.1 B.1C.3 D.45.(2015蘭州模擬)一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c(0,1)，已知他投籃一次得分的均值為2，則的最小值為()A. B. C. D.6.(2015北京海淀區(qū)模擬)已知a>0，b>0，若不等式0恒成立，則m的最大值為()A.4 B.16C.9 D.37.已知ma(a>2)，nx2(x)，則m與n之間的大小關(guān)系為_(kāi).8.已知x，y(0，)，2x3y，若 (m>0)的最小值為3，則m的值為_(kāi).9.(2015天津)已知a0，b0，ab8，則當(dāng)a的值為_(kāi)時(shí)，log2alog2(2b)取得最大值.10.(2014湖北)某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)，平均車長(zhǎng)l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F .(1)如果不限定車型，l6.05，則最大車流量為_(kāi)輛/時(shí)；(2)如果限定車型，l5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加_輛/時(shí).11.(1)已知0<x<，求y2x5x2的最大值；(2)求函數(shù)y (x>1)的最小值.12.如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由.答案精析第4練用好基本不等式?？碱}型精析例1 (1)(2)解析(1)由題意，得xy(2y)x，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào).(2)令t0，則xt21，所以y.當(dāng)t0，即x1時(shí)，y0；當(dāng)t>0，即x>1時(shí)，y，因?yàn)閠24(當(dāng)且僅當(dāng)t2時(shí)取等號(hào))，所以y，即y的最大值為(當(dāng)t2，即x5時(shí)y取得最大值).變式訓(xùn)練13 a，b0，ab5，()2ab42ab4()2()2ab4ab418，當(dāng)且僅當(dāng)a，b時(shí)，等號(hào)成立，則3，即最大值為3.例2(1) B 平均每件產(chǎn)品的費(fèi)用為y220，當(dāng)且僅當(dāng)，即x80時(shí)取等號(hào).所以每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品80件，才能使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小.(2)解y22px(p>0)的準(zhǔn)線x，1()，p，拋物線C的方程為y2x.又點(diǎn)M(t,1)在曲線C上，t1.由知，點(diǎn)M(1,1)，從而nm，即點(diǎn)Q(m，m)，依題意，直線AB的斜率存在，且不為0，設(shè)直線AB的斜率為k(k0).且A(x1，y1)，B(x2.y2)，由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1，直線AB的方程為ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，4m4m2>0，y1y22m，y1y22m2m.從而|AB| |y1y2|2d2m(1m)1，當(dāng)且僅當(dāng)m1m，即m時(shí)，上式等號(hào)成立，又m滿足4m4m2>0.d的最大值為1.變式訓(xùn)練2C 0ab，又f(x)ln x在(0，)上為增函數(shù)，故ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln aln bln(ab)f()p.故prq.選C.高考題型精練1.D 由題意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)()77274，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選D.2.C x>1，y>1，且ln x，ln y成等比數(shù)列，ln xln y2，ln xln yln xy1xye.3.A 設(shè)甲、乙兩地相距s，則小王往返兩地用時(shí)為，從而v.0<a<b，<，>a，<，即<，a<v<.4.C f(x)xx22.x>2，x2>0.f(x)x222 24，當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x3時(shí)，“”成立.又f(x)在xa處取最小值.a3.5.D 由已知得，3a2b0c2，即3a2b2，其中0<a<，0<b<1.又32，當(dāng)且僅當(dāng)，即a2b時(shí)取“等號(hào)”，又3a2b2，即當(dāng)a，b時(shí)，的最小值為，故選D.6.B 因?yàn)閍>0，b>0，所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立.因?yàn)? 6，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，所以1016，所以m16，即m的最大值為16，故選B.7.mn ma(a2)24(a>2)，當(dāng)且僅當(dāng)a3時(shí)，等號(hào)成立.由x得x2，nx24即n(0,4，mn.)8.4解析由2x3y得xy3，則(xy)(1m2)，(1m2)3，即(1)29，解得m4.9.4解析log2alog2(2b)log2a(1log2b)2224，當(dāng)且僅當(dāng)log2a1log2b，即a2b時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)a4，b2.10.(1)1 900(2)100解析(1)當(dāng)l6.05時(shí)，F(xiàn)1 900.當(dāng)且僅當(dāng)v11 米/秒時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)車流量最大為1 900輛/時(shí).(2)當(dāng)l5時(shí)，F(xiàn)2 000.當(dāng)且僅當(dāng)v10 米/秒時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)車流量最大為2 000 輛/時(shí).比(1)中的最大車流量增加100 輛/時(shí).11.解(1)y2x5x2x(25x)5x(25x).0<x<，0<5x<2,25x>0，5x(25x)()21，y，當(dāng)且僅當(dāng)5x25x，即x時(shí)，ymax.(2)設(shè)x1t，則xt1 (t>0)，yt5259.當(dāng)且僅當(dāng)t，即t2，且此時(shí)x1時(shí)，取等號(hào)，ymin9.12.解(1)令y0，得kx(1k2)x20，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0，故x10，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)取等號(hào).所以炮的最大射程為10千米.(2)因?yàn)閍>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)存在k>0，使3.2ka(1k2)a2成立關(guān)于k的方程a2k220aka2640有正根判別式(20a)24a2(a264)0a6.所以當(dāng)a不超過(guò)6千米時(shí)，可擊中目標(biāo).