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【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 三角函數(shù)與平面向量】專題4 第21練

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【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 三角函數(shù)與平面向量】專題4 第21練

第21練關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型題型分析高考展望平面向量數(shù)量積的運(yùn)算是平面向量的一種重要運(yùn)算,應(yīng)用十分廣泛,對向量本身,通過數(shù)量積運(yùn)算可以解決位置關(guān)系的判定、夾角、模等問題,另外還可以解決平面幾何、立體幾何中許多有關(guān)問題,因此是高考必考內(nèi)容,題型有選擇題、填空題,也在解答題中出現(xiàn),常與其他知識結(jié)合,進(jìn)行綜合考查.常考題型精析題型一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算例1(1)(2014天津)已知菱形ABCD的邊長為2,BAD120,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,DC上,BC3BE,DCDF.若1,則的值為_.(2)已知圓O的半徑為1,PA,PB為該圓的兩條切線,A,B為切點(diǎn),那么的最小值為()A.4 B.3C.42 D.32點(diǎn)評(1)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式:一是依據(jù)長度和夾角,二是利用坐標(biāo)運(yùn)算,具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來選擇.注意兩向量a,b的數(shù)量積ab與代數(shù)中a,b的乘積寫法不同,不應(yīng)該漏掉其中的“”.(2)向量的數(shù)量積運(yùn)算需要注意的問題:ab0時得不到a0或b0,根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有|a|2a2,但|ab|a|b|.變式訓(xùn)練1(2015湖北)已知向量,|3,則_.題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2(1)(2015重慶)若非零向量a,b滿足|a|b|,且(ab)(3a2b),則a與b的夾角為()A. B.C. D.(2)(2015石家莊模擬)已知向量a,b滿足|a|2|b|0,且關(guān)于x的函數(shù)f(x)2x33|a|x26abx5在R上單調(diào)遞減,則向量a,b夾角的取值范圍是()A. B.C. D.點(diǎn)評求向量的夾角時要注意:(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角為鈍角.變式訓(xùn)練2若兩個非零向量a,b滿足|ab|ab|2|a|,則向量b與ab的夾角為()A. B.C. D.題型三利用數(shù)量積求向量的模例3(1)已知平面向量a和b,|a|1,|b|2,且a與b的夾角為120,則|2ab|等于()A.2 B.4C.2 D.6(2)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的動點(diǎn),則|3|的最小值為_.點(diǎn)評(1)把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中,給有關(guān)向量賦以具體的坐標(biāo)求向量的模,如向量a(x,y),求向量a的模只需利用公式|a|即可求解.(2)向量不放在坐標(biāo)系中研究,求解此類問題的方法是利用向量的運(yùn)算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式,關(guān)鍵是會把向量a的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化:|a|.變式訓(xùn)練3(2015浙江)已知e1,e2是空間單位向量,e1e2,若空間向量b滿足be12,be2,且對于任意x,yR,|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0,y0R),則x0_,y0_,|b|_.高考題型精練1.(2015山東)已知菱形ABCD 的邊長為a,ABC60,則 等于()A.a2 B.a2C.a2 D.a22.(2014浙江)記maxx,yminx,y設(shè)a,b為平面向量,則()A.min|ab|,|ab|min|a|,|b|B.min|ab|,|ab|min|a|,|b|C.max|ab|2,|ab|2|a|2|b|2D.max|ab|2,|ab|2|a|2|b|23.(2015湖南)已知點(diǎn)A,B,C在圓x2y21上運(yùn)動,且ABBC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),則|的最大值為()A.6 B.7C.8 D.94.如圖,在等腰直角ABO中,OAOB1,C為AB上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn),過C作AB的垂線l,P為垂線上任一點(diǎn),設(shè)a,b,p,則p(ba)等于()A. B.C. D.5.在平面上,|1,.若|<,則|的取值范圍是()A.(0, B.(,C.(, D.(,6.如圖所示,ABC中,ACB90且ACBC4,點(diǎn)M滿足3,則等于()A.2 B.3C.4 D.67.(2014安徽)設(shè)a,b為非零向量,|b|2|a|,兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個a和2個b排列而成.若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為()A. B. C. D.08.(2014江蘇)如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AB8,AD5,3,2,則的值是_.9.設(shè)非零向量a,b的夾角為,記f(a,b)acos bsin .若e1,e2均為單位向量,且e1e2,則向量f(e1,e2)與f(e2,e1)的夾角為_.10.(2015湖南衡陽八中第六次月考)已知點(diǎn)O是銳角ABC的外心,AB8,AC12,A.若xy,則6x9y_.11.已知向量a(sin x,),b(cos x,1).(1)當(dāng)ab時,求cos2xsin 2x的值;(2)設(shè)函數(shù)f(x)2(ab)b,已知在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a,b2,sin B,求f(x)4cos(2A)(x0,)的取值范圍.12.(2015黃岡模擬)在ABC中,AC10,過頂點(diǎn)C作AB的垂線,垂足為D,AD5,且滿足.(1)求|;(2)存在實數(shù)t1,使得向量xt,yt,令kxy,求k的最小值.答案精析第21練關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型??碱}型精析例1(1)2(2)D解析(1)如圖,()()()()22cos 120222222cos 1202,又1,1,2.(2)方法一設(shè)|x,APB,則tan ,從而cos .|cos x2x21323,當(dāng)且僅當(dāng)x21,即x21時取等號,故的最小值為23.方法二設(shè)APB,0<<,則|.|cos ()2cos (12sin2).令xsin2,0<x1,則2x323,當(dāng)且僅當(dāng)2x,即x時取等號.故的最小值為23.方法三以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則圓O的方程為x2y21,設(shè)A(x1,y1),B(x1,y1),P(x0,0),則(x1x0,y1)(x1x0,y1)x2x1x0xy.由OAPA(x1,y1)(x1x0,y1)0xx1x0y0,又xy1,所以x1x01.從而x2x1x0xyx2x(1x)2xx323.故的最小值為23.變式訓(xùn)練19解析因為,所以0.所以()2|20329.例2(1)A(2)D解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0,即3a2ab2b20.又|a|b|,設(shè)a,b,即3|a|2|a|b|cos 2|b|20,|b|2|b|2cos 2|b|20.cos .又0,.(2)設(shè)向量a,b的夾角為,因為f(x)2x33|a|x26abx5,所以f(x)6x26|a|x6ab,又函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,所以f(x)0在R上恒成立,所以36|a|24(6)(6ab)0,解得ab|a|2,因為ab|a|b|cos ,且|a|2|b|0,所以|a|b|cos |a|2cos |a|2,解得cos ,因為0,所以向量a,b的夾角的取值范圍是,故選D.變式訓(xùn)練2A解析方法一由已知,得|ab|ab|,將等式兩邊分別平方,整理可得ab0.由已知,得|ab|2|a|,將等式兩邊分別平方,可得a2b22ab4a2.將代入,得b23a2,即|b|a|.而b(ab)abb2b2,故cosb,ab.又b,ab0,所以b,ab.故選A.方法二如圖,作a,b,以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OACB,則ab,ab.由|ab|ab|2|a|,可得|2|,所以平行四邊形OACB是矩形,a.從而|2|.在RtBOC中,| |,故cosBOC,所以BOC.從而b,abBOC,故選A.例3(1)A(2)5解析(1)因為平面向量a和b,|a|1,|b|2,且a與b的夾角為120,所以|2ab| 2.(2)方法一以D為原點(diǎn),分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)DCa,DPx. D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),(2,x),(1,ax),3(5,3a4x),|3|225(3a4x)225,|3|的最小值為5.方法二設(shè)x(0<x<1),(1x),x,(1x),3(34x),|3|222(34x)(34x)2225(34x)2225,|3|的最小值為5.變式訓(xùn)練3122解析方法一對于任意x,yR,|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0,y0R),說明當(dāng)xx0,yy0時,|b(xe1ye2)|取得最小值1.|b(xe1ye2)|2|b|2(xe1ye2)22b(xe1ye2)|b|2x2y2xy4x5y,要使|b|2x2y2xy4x5y取得最小值,需要把x2y2xy4x5y看成關(guān)于x的二次函數(shù),即f(x)x2(y4)xy25y,其圖象是開口向上的拋物線,對稱軸方程為x2,所以當(dāng)x2時,f(x)取得最小值,代入化簡得f(x)(y2)27,顯然當(dāng)y2時,f(x)min7,此時x21,所以x01,y02.此時|b|271,可得|b|2.方法二e1e2|e1|e2|cose1,e2,e1,e2.不妨設(shè)e1,e2(1,0,0),b(m,n,t).由題意知解得n,m,b.b(xe1ye2),|b(xe1ye2)|222t2x2xyy24x5yt272(y2)2t2.由題意知,當(dāng)xx01,yy02時,2(y2)2t2取到最小值.此時t21,故|b| 2.高考題型精練1.D 如圖所示,由題意,得BCa,CDa,BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa3a2,BDa.|cos 30a2a2.2.D 由于|ab|,|ab|與|a|,|b|的大小關(guān)系與夾角大小有關(guān),故A,B錯.當(dāng)a,b夾角為銳角時,|ab|>|ab|,此時,|ab|2>|a|2|b|2;當(dāng)a,b夾角為鈍角時,|ab|<|ab|,此時,|ab|2>|a|2|b|2;當(dāng)ab時,|ab|2|ab|2|a|2|b|2,故選D.3.B A,B,C在圓x2y21上,且ABBC,AC為圓直徑,故2(4,0),設(shè)B(x,y),則x2y21且x1,1,(x2,y),(x6,y).故|,x1時有最大值7,故選B.4.A 以O(shè)A,OB所在直線分別作為x軸,y軸,O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,則A(1,0),B(0,1),C(,),直線l的方程為yx,即xy0.設(shè)P(x,x),則p(x,x),而ba(1,1),所以p(ba)x(x).5.D 由題意,知B1,B2在以O(shè)為圓心的單位圓上,點(diǎn)P在以O(shè)為圓心,為半徑的圓的內(nèi)部.又,所以點(diǎn)A在以B1B2為直徑的圓上,當(dāng)P與O點(diǎn)重合時,|取得最大值,當(dāng)P在半徑為的圓周上時,|取得最小值,故選D.6.C 在ABC中,因為ACB90且ACBC4,所以AB4,且BA45.因為3,所以.所以()221644cos 1354.7.B 設(shè)a與b的夾角為,由于xi,yi(i1,2,3,4)均由2個a和2個b排列而成,記S(xiyi),則S有以下三種情況:S2a22b2;S4ab;S|a|22ab|b|2.|b|2|a|,中S10|a|2,中S8|a|2cos ,中S5|a|24|a|2cos .易知最小,即8|a|2cos 4|a|2,cos ,可求,故選B.8.22解析由3,得,.因為2,所以()()2,即222.又因為225,264,所以22.9.解析由e1e2,可得cose1,e2,故e1,e2,e2,e1e2,e1.f(e1,e2)e1cos e2sin e1e2,f(e2,e1)e2cos (e1)sin e1e2.f(e1,e2)f(e2,e1)(e1e2)(e1e2)e1e20,所以f(e1,e2)f(e2,e1).故向量f(e1,e2)與f(e2,e1)的夾角為.10.5解析如圖,設(shè)點(diǎn)O在AB,AC上的射影是點(diǎn)D,E,它們分別為AB,AC的中點(diǎn),連接OD,OE.由數(shù)量積的幾何意義,可得|32,|72,依題意有x2y64x48y32,即4x3y2,xy248x144y72,即2x6y3,將兩式相加可得6x9y5.11.解(1)因為ab,所以cos xsin x0.所以tan x.故cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)b2(sin xcos x,)(cos x,1)sin 2xcos 2xsin(2x).由正弦定理,得,所以sin A.所以A或A.因為b>a,所以A.所以f(x)4cos(2A)sin(2x).因為x0,所以2x,.所以1f(x)4cos(2A).所以f(x)4cos(2A)的取值范圍為1,.12.解(1)由,且A,B,D三點(diǎn)共線,可知|.又AD5,所以DB11.在RtADC中,CD2AC2AD275,在RtBDC中,BC2DB2CD2196,所以BC14.所以|14.(2)由(1),知|16,|10,|14.由余弦定理,得cos A.由xt,yt,知kxy(t)(t)t|2(t21)t|2256t(t21)1610100t80t2356t80.由二次函數(shù)的圖象,可知該函數(shù)在1,)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)t1時,k取得最小值516.

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