【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 概率與統(tǒng)計】專題8 第40練

第40練歸納推理與類比推理題型分析高考展望歸納推理與類比推理是新增內(nèi)容，在高考中，常以選擇題、填空題的形式考查.題目難度不大，只要掌握合情推理的基礎(chǔ)理論知識和基本方法即可解決.?？碱}型精析題型一利用歸納推理求解相關(guān)問題例1(1)(2015陜西)觀察下列等式：1，1，1，據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為_.(2)如圖所示，是某小朋友在用火柴拼圖時呈現(xiàn)的圖形，其中第1個圖形用了3根火柴，第2個圖形用了9根火柴，第3個圖形用了18根火柴，則第2 014個圖形用的火柴根數(shù)為()A.2 0122 015 B.2 0132 014C.2 0132 015 D.3 0212 015點評歸納推理的三個特點(1)歸納推理的前提是幾個已知的特殊對象，歸納所得到的結(jié)論是未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包含的范圍；(2)由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否準(zhǔn)確，還需要經(jīng)過邏輯推理和實踐檢驗，因此歸納推理不能作為數(shù)學(xué)證明的工具；(3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.變式訓(xùn)練1(2014陜西)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是_.題型二利用類比推理求解相關(guān)問題例2如圖所示，在平面上，用一條直線截正方形的一個角，截下的是一個直角三角形，有勾股定理c2a2b2.空間中的正方體，用一平面去截正方體的一角，截下的是一個三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，若這三個兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1，S2，S3，截面面積為S，類比平面中的結(jié)論有_.點評類比推理的一般步驟(1)定類，即找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；(2)推測，即用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；(3)檢驗，即檢驗猜想的正確性，要將類比推理運用于簡單推理之中，在不斷的推理中提高自己的觀察、歸納、類比能力.變式訓(xùn)練2(2015濟南模擬)已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是其高的，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是()A.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的B.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的C.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的D.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的高考題型精練1.(2015西安模擬)我們知道，在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和為定值a，類比上述結(jié)論，邊長為a的正四面體內(nèi)任一點到其四個面的距離之和為定值()A.a B.aC.a D.a2.已知x>0，觀察不等式x22，x33，由此可得一般結(jié)論：xn1(nN*)，則a的值為()A.nn B.n2C.3n D.2n3.觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于()A.28 B.76C.123D.1994.(2014北京)學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評定為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”.如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有()A.2人 B.3人C.4人 D.5人5.在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則.推廣到空間可以得到類似結(jié)論，已知正四面體PABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則等于()A. B. C. D.6.若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列bn(bn)也為等差數(shù)列.類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列cn是等比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達式應(yīng)為()A.dn B.dnC.dn D.dn7.仔細(xì)觀察下面和的排列規(guī)律： 若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的和，那么在前120個和中，的個數(shù)是_.8.古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，第n個三角形數(shù)為n2n，記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù) N(n,3)n2n，正方形數(shù) N(n,4)n2，五邊形數(shù) N(n,5)n2n，六邊形數(shù) N(n,6)2n2n可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)_.9.兩點等分單位圓時，有相應(yīng)正確關(guān)系為sin sin()0；三點等分單位圓時，有相應(yīng)正確關(guān)系為sin sin()sin()0.由此可以推知：四點等分單位圓時的相應(yīng)正確關(guān)系為_.10.觀察下列等式1211222312223261222324210照此規(guī)律，第n個等式可為_.11.觀察下列不等式：1<，1<，1<，照此規(guī)律，第五個不等式為_.12.當(dāng)xR，|x|<1時，有如下表達式：1xx2xn.兩邊同時積分得：1dxxdxx2dxxndxdx，從而得到如下等式：1()2()3()n+1ln 2.請根據(jù)以上材料所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法計算：CC()2C()3C()n+1_.答案精析第40練歸納推理與類比推理常考題型精析例1(1)1(2)D解析(1)等式左邊的特征：第1個等式有2項，第2個有4項，第3個有6項，且正負(fù)交錯，故第n個等式左邊有2n項且正負(fù)交錯，應(yīng)為1；等式右邊的特征：第1個有1項，第2個有2項，第3個有3項，故第n個有n項，且由前幾個的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)第n個等式右邊應(yīng)為.(2)由題意，第1個圖形需要火柴的根數(shù)為31；第2個圖形需要火柴的根數(shù)為3(12)；第3個圖形需要火柴的根數(shù)為3(123)；由此，可以推出，第n個圖形需要火柴的根數(shù)為3(123n).所以第2 014個圖形所需火柴的根數(shù)為3(1232 014)33 0212 015，故選D.變式訓(xùn)練1FVE2解析觀察F，V，E的變化得FVE2.例2S2SSS解析建立從平面圖形到空間圖形的類比，在由平面幾何的性質(zhì)類比推理空間立體幾何的性質(zhì)時，注意平面幾何中點的性質(zhì)可類比推理空間幾何中線的性質(zhì)，平面幾何中線的性質(zhì)可類比推理空間幾何中面的性質(zhì)，平面幾何中面的性質(zhì)可類比推理空間幾何中體的性質(zhì).所以三角形類比空間中的三棱錐，線段的長度類比圖形的面積，于是作出猜想：S2SSS.變式訓(xùn)練2C 設(shè)正四面體的每個面的面積是S，高是h，內(nèi)切球半徑為R，由體積分割可得：SR4Sh，所以Rh.故選C.高考題型精練1.A 正四面體內(nèi)任一點與四個面組成四個三棱錐，它們的體積之和為正四面體的體積.設(shè)點到四個面的距離分別為h1，h2，h3，h4，每個面的面積為a2，正四面體的體積為a3，則有a2(h1h2h3h4)a3，得h1h2h3h4a.2.A 根據(jù)已知，續(xù)寫一個不等式：x44，由此可得ann.故選A.3.C 觀察可得各式的值構(gòu)成數(shù)列1,3,4,7,11，其規(guī)律為從第三項起，每項等于其前相鄰兩項的和，所求值為數(shù)列中的第十項.繼續(xù)寫出此數(shù)列為1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，第十項為123，即a10b10123.4.B 假設(shè)滿足條件的學(xué)生有4位及4位以上，設(shè)其中4位同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁，則4位同學(xué)中必有兩個人語文成績一樣，且這兩個人數(shù)學(xué)成績不一樣(或4位同學(xué)中必有兩個數(shù)學(xué)成績一樣，且這兩個人語文成績不一樣)，那么這兩個人中一個人的成績比另一個人好，故滿足條件的學(xué)生不能超過3人.當(dāng)有3位學(xué)生時，用A，B，C表示“優(yōu)秀”“合格”“不合格”，則滿足題意的有AC，CA，BB，所以最多有3人.5.C 從平面圖形類比空間圖形，從二維類比三維，如圖，設(shè)正四面體的棱長為a，E為等邊三角形ABC的中心，O為內(nèi)切球與外接球球心.則AEa，DEa，設(shè)OAR，OEr，則OA2AE2OE2，即R222，Ra，ra，正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比為31，故正四面體PABC的內(nèi)切球體積V1與外接球體積V2之比等于.6.D 若an是等差數(shù)列，則a1a2anna1d，bna1dna1，即bn為等差數(shù)列；若cn是等比數(shù)列，則c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q，即dn為等比數(shù)列，故選D.7.14解析進行分組|，則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)234(n1)，易知f(14)119，f(15)135，故n14.8.1 000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推測：當(dāng)k為偶數(shù)時，N(n，k)n2n，N(10,24)100101 1001001 000.9.sin sin()sin()sin()0解析由類比推理可知，四點等分單位圓時，與的終邊互為反向延長線，與的終邊互為反向延長線，如圖.10.12223242(1)n1n2(1)n1解析觀察等式左邊的式子，每次增加一項，故第n個等式左邊有n項，指數(shù)都是2，且正、負(fù)相間，所以等式左邊的通項為(1)n1n2.等式右邊的值的符號也是正、負(fù)相間，其絕對值分別為1,3,6,10,15,21，.設(shè)此數(shù)列為an，則a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123n.所以第n個等式為12223242(1)n1n2(1)n1.11.1<解析觀察每行不等式的特點，每行不等式左端最后一個分?jǐn)?shù)的分母與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列.第五個不等式為1<.12.()n11解析設(shè)f(x)CxCx2Cx3Cxn1，f(x)CCxCx2Cxn(1x)n.f0(1x)ndx0n1(10)n1，即CC2C3Cn1.