【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 概率與統(tǒng)計(jì)】專題8 第35練

第35練“排列、 組合”常考問(wèn)題題型分析高考展望該部分是高考數(shù)學(xué)中相對(duì)獨(dú)特的一個(gè)知識(shí)板塊，知識(shí)點(diǎn)并不多，但解決問(wèn)題的方法十分靈活，主要內(nèi)容是分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理、排列與組合、二項(xiàng)式定理等，在高考中占有特殊的位置.高考試題主要以選擇題和填空題的方式呈現(xiàn)，考查排列、組合的應(yīng)用.?？碱}型精析題型一排列問(wèn)題例1(1)(2015廣東)某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫(xiě)一條畢業(yè)留言，那么全班共寫(xiě)了_條畢業(yè)留言(用數(shù)字做答).(2)即將畢業(yè)的6名同學(xué)排成一排照相留念，個(gè)子較高的明明同學(xué)既不能站最左邊，也不能站最右邊，則不同的站法種數(shù)為_(kāi).點(diǎn)評(píng)求解排列問(wèn)題的常用方法：(1)特殊元素(特殊位置)優(yōu)先法；(2)相鄰問(wèn)題捆綁法；(3)不相鄰問(wèn)題插空法；(4)定序問(wèn)題縮倍法；(5)多排問(wèn)題一排法.變式訓(xùn)練1(1)(2014遼寧)6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144 B.120C.72 D.24(2)(2015四川)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有()A.144個(gè) B.120個(gè)C.96個(gè) D.72個(gè)題型二組合問(wèn)題例2在一次國(guó)際抗震救災(zāi)中，從7名中方搜救隊(duì)隊(duì)員，4名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員中選5名組成一支特殊搜救隊(duì)到某地執(zhí)行任務(wù)，按下列要求，分別計(jì)算有多少種組隊(duì)方法.(1)至少有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員；(2)至多有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員.點(diǎn)評(píng)(1)先看是否與排列順序有關(guān)，從而確定是否為組合問(wèn)題.(2)看是否需要分類、分步，如何確定分類標(biāo)準(zhǔn).(3)判斷是否為“分組”問(wèn)題，避免重復(fù).變式訓(xùn)練2(1)(2014浙江)在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無(wú)獎(jiǎng).將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有_種.(用數(shù)字作答)(2)從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是_.(用數(shù)字作答)題型三排列與組合的綜合應(yīng)用問(wèn)題例34個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？(2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？(3)恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？點(diǎn)評(píng)(1)排列、組合混合問(wèn)題一般“先選后排”.(2)對(duì)于較復(fù)雜的排列、組合問(wèn)題，應(yīng)按元素的性質(zhì)或題意要求進(jìn)行分類，對(duì)事件發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，才能保證不“重”不“漏”.(3)關(guān)于“至少”“至多”等計(jì)數(shù)問(wèn)題，一般需要進(jìn)行分類，若分類比較復(fù)雜，可用間接法，找出其對(duì)立事件來(lái)求解.變式訓(xùn)練3(1)將A、B、C、D、E、F六個(gè)字母排成一排，且A、B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有_種.(用數(shù)字作答)(2)(2014廣東)設(shè)集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中滿足條件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素個(gè)數(shù)為()A.60 B.90C.120 D.130高考題型精練1.用0,1，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.243 B.252 C.261 D.2792.從1,3,5,7,9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lg alg b的不同值的個(gè)數(shù)是()A.9 B.10 C.18 D.203.一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為()A.33! B.3(3！)3C.(3！)4 D.9!4.若從1,2,3，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A.60種 B.63種 C.65種 D.66種5.(2015泰安模擬)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為()A.232 B.252 C.472 D.4846.如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為()A.96 B.84C.60 D.487.將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是_.8.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰)，那么不同的排法共有_種.9.“霧霾治理”“光盤(pán)行動(dòng)”“網(wǎng)絡(luò)反腐”“法治中國(guó)”“先看病后付費(fèi)”成為社會(huì)關(guān)注的5個(gè)熱點(diǎn).小王想在2015年國(guó)慶節(jié)期間調(diào)查一下社會(huì)對(duì)這些熱點(diǎn)的關(guān)注度.若小王準(zhǔn)備從中選取4個(gè)熱點(diǎn)分別進(jìn)行調(diào)查，則“霧霾治理”作為其中的一個(gè)調(diào)查熱點(diǎn)，但不作為第一個(gè)調(diào)查熱點(diǎn)的種數(shù)為_(kāi).10.回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22,121,3 443,94 249等.顯然2位回文數(shù)有9個(gè)，11,22,33，99.3位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121，191,202，999.則(1)4位回文數(shù)有_個(gè)；(2)2n1(nN*)位回文數(shù)有_個(gè).11.5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員.現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1,2,3號(hào)參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員，且1、2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有_種.12.用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？答案精析專題8 概率與統(tǒng)計(jì)第35練“排列、 組合”?？紗?wèn)題?？碱}型精析例1(1)1 560(2)480解析(1)依題意兩兩彼此給對(duì)方寫(xiě)一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫(xiě)了A40391 560條畢業(yè)留言.(2)方法一(位置分析法)先從其他5人中安排2人分別站在最左邊和最右邊，再安排余下4人的位置，分為兩步：第1步，從除明明外的5人中選2人分別站在最左邊和最右邊，有A種站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4個(gè)位置上，有A種站法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有AA480(種)不同的站法.方法二(元素分析法)先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分為兩步：第1步，將明明排在除最左邊、最右邊外的任意位置上，有A種站法；第2步，余下5人站在剩下5個(gè)位置上，有A種站法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有AA480(種)不同的站法.方法三(反面求解法)6人沒(méi)有限制的排隊(duì)有A種站法，明明站在最左邊或最右邊時(shí)6人排隊(duì)有2A種站法，因此符合條件的不同站法共有A2A480(種).變式訓(xùn)練1(1)D(2)B解析(1)剩余的3個(gè)座位共有4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為A43224.(2)由題意，首位數(shù)字只能是4,5，若萬(wàn)位是5，則有3A72個(gè)；若萬(wàn)位是4，則有2A個(gè)48個(gè)，故比40 000大的偶數(shù)共有7248120個(gè).選B.例2解(1)方法一(直接法)由題意，知特殊搜救隊(duì)中“至少有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”可分為3類：有2名外籍隊(duì)員，共有CC種組隊(duì)方法；有3名外籍隊(duì)員，共有CC種組隊(duì)方法；有4名外籍隊(duì)員，共有CC種組隊(duì)方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，知至少有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員共有CCCCCC301(種)不同的組隊(duì)方法.方法二(間接法)由題意，知特殊搜救隊(duì)中“至少有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”的對(duì)立事件為“至多有1名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”，可分為2類：只有1名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有CC種組隊(duì)方法；沒(méi)有外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有CC種組隊(duì)方法.所以至少有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員共有CCCCC301(種)不同的組隊(duì)方法.(2)方法一(直接法)由題意，知“至多有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”可分為4類：有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有CC種方法；有2名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有CC種方法；有1名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有CC種方法；沒(méi)有外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有C種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理，知至多有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員共有CCCCCCC455(種)不同的組隊(duì)方法.方法二(間接法)由題意，知“至多有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”的對(duì)立事件為“至少有4名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員”.因?yàn)橹辽儆?名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員，共有CC種組隊(duì)方法，所以至少有3名外籍搜救隊(duì)隊(duì)員共有CCC455(種)不同組隊(duì)方法.變式訓(xùn)練2(1)60(2)590解析(1)把8張獎(jiǎng)券分4組有兩種分法，一種是分(一等獎(jiǎng)，無(wú)獎(jiǎng))、(二等獎(jiǎng)，無(wú)獎(jiǎng))、(三等獎(jiǎng)，無(wú)獎(jiǎng))、(無(wú)獎(jiǎng)，無(wú)獎(jiǎng))四組，分給4人有A種分法；另一種是一組兩個(gè)獎(jiǎng)，一組只有一個(gè)獎(jiǎng)，另兩組無(wú)獎(jiǎng)，共有C種分法，再分給4人有A種分法，所以不同獲獎(jiǎng)情況種數(shù)為ACA243660.(2)分三類：選1名骨科醫(yī)生，則有C(CCCCCC)360(種).選2名骨科醫(yī)生，則有C(CCCC)210(種)；選3名骨科醫(yī)生，則有CCC20(種).骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是36021020590.例3解(1)為保證“恰有1個(gè)盒不放球”，先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個(gè)球分成2,1,1的三組，然后再?gòu)?個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另外2個(gè)盒子內(nèi)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有CCCA144(種).(2)“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，也即另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.(3)確定2個(gè)空盒有C種方法.4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成(3,1)、(2,2)兩類，第一類有序不均勻分組有CCA種方法；第二類有序均勻分組有A種方法.故共有C(CCAA)84(種).變式訓(xùn)練3(1)480(2)D解析(1)分類討論：A、B都在C的左側(cè)，且按C的左側(cè)分別有兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)、五個(gè)字母這4類計(jì)算，再考慮右側(cè)情況.所以共有：2(AACAACAA)480.(2)在x1，x2，x3，x4，x5這五個(gè)數(shù)中，因?yàn)閤i1,0,1，i1,2,3,4,5，所以滿足條件1|x1|x2|x3|x4|x5|3的可能情況有“一個(gè)1(或1)，四個(gè)0，有C2種；兩個(gè)1(或1)，三個(gè)0，有C2種；一個(gè)1，一個(gè)1，三個(gè)0，有A種；兩個(gè)1(或1)，一個(gè)1(或1)，兩個(gè)0，有CC2種；三個(gè)1(或1)，兩個(gè)0，有C2種.故共有C2C2ACC2C2130(種)，故選D.高考題型精練1.B 無(wú)重復(fù)的三位數(shù)有：AAA648個(gè).則有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有：900648252個(gè).2.C 由于lg alg blg(a>0，b>0)，從1,3,5,7,9中任取兩個(gè)作為有A20種，又與相同，與相同，lg alg b的不同值的個(gè)數(shù)有A220218，選C.3.C 把一家三口看作一個(gè)排列，然后再排列這3家，所以有(3！)4種.4.D 滿足題設(shè)的取法可分為三類：一是四個(gè)奇數(shù)相加，其和為偶數(shù)，在5個(gè)奇數(shù)1,3,5,7,9中，任意取4個(gè)，有C5(種)；二是兩個(gè)奇數(shù)加兩個(gè)偶數(shù)其和為偶數(shù)，在5個(gè)奇數(shù)中任取2個(gè)，再在4個(gè)偶數(shù)2,4,6,8中任取2個(gè)，有CC60(種)；三是四個(gè)偶數(shù)相加，其和為偶數(shù)，4個(gè)偶數(shù)的取法有1種，所以滿足條件的取法共有560166(種).5.C 分兩類：第一類，含有1張紅色卡片，共有不同的取法CC264(種)；第二類，不含有紅色卡片，共有不同的取法C3C22012208(種).由分類加法計(jì)數(shù)原理知不同的取法有264208472(種).6.B 可依次種A、B、C、D四塊，當(dāng)C與A種同一種花時(shí)，有431336(種)種法；當(dāng)C與A所種花不同時(shí)，有432248(種)種法，由分類加法計(jì)數(shù)原理知不同的種法總數(shù)為364884.7.96解析將5張參觀券分成4堆，有2個(gè)聯(lián)號(hào)有4種分法，每種分法再分給4人，各有A種分法，不同的分法種數(shù)共有4A96.8.60解析可先排C、D、E三人，共A種排法，剩余A、B兩人只有一種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知滿足條件的排法共有A60(種).9.72解析先從“光盤(pán)行動(dòng)”“網(wǎng)絡(luò)反腐”“法治中國(guó)”“先看病后付費(fèi)”這4個(gè)熱點(diǎn)中選出3個(gè)，有C種不同的選法.在調(diào)查時(shí)，“霧霾治理”的安排順序有A種可能情況，其余3個(gè)熱點(diǎn)的安排順序有A種，故不同調(diào)查順序的種數(shù)為CAA72.10.(1)90(2)910n解析從左右對(duì)稱入手考慮.(1)4位回文數(shù)第1、4位取同一個(gè)非零數(shù)有C9(種)選法，第2、3位可取0，有10種選法，故有91090(個(gè))，即4位回文數(shù)有90個(gè).(2)首位和末位不能取0，故有9種選法，其余位關(guān)于中間數(shù)對(duì)稱，每?jī)蓴?shù)都有10種選法，中間數(shù)也有10種選法，故2n1(nN*)位回文數(shù)有910n個(gè).11.48解析只有1名老隊(duì)員的排法有CCA36種；有2名老隊(duì)員的排法有CCCA12種.所以共48種.12.解如圖所示，將4個(gè)小方格依次編號(hào)為1,2,3,4，第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法.當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有A12(種)不同的涂法，第4個(gè)小方格有3種不同的涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，有5123180(種)不同的涂法；當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法，由于相鄰方格不同色，因此，第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知.有54480(種)不同的涂法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有18080260(種)不同的涂法.