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河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學(xué)二輪 備考抓分點(diǎn)透析專題3 數(shù)列與不等式 理

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河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學(xué)二輪 備考抓分點(diǎn)透析專題3 數(shù)列與不等式 理

2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三 數(shù)列與不等式【重點(diǎn)知識回顧】1 數(shù)列在高考中,一般設(shè)計(jì)一個(gè)客觀題和一個(gè)解答題,主要考查數(shù)列和不等式部分的基本知識,對基本運(yùn)算能力要求較高,解答題常常綜合考查函數(shù)、方程、不等式等知識難度較大,尤其是數(shù)列、函數(shù)和不等式的綜合考題,又加入了邏輯推理能力的考查,成為了近幾年數(shù)列考題的新熱點(diǎn)2 數(shù)列與不等式部分的重點(diǎn)為:等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和;不等式的性質(zhì)、解法和兩個(gè)重要不等式的應(yīng)用;該部分重點(diǎn)考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸于轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想【典型例題】1等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合等差數(shù)列與等比數(shù)列都是高考命題的重點(diǎn)知識,考題經(jīng)常將它們綜合在一起綜合考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用,對基本的運(yùn)算要求比較高例1設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則的前項(xiàng)和=( ) A B C D答案:A解析:設(shè)數(shù)列的公差為,則根據(jù)題意得,解得或(舍去),所以數(shù)列的前項(xiàng)和例2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且4,2,成等差數(shù)列若=1,則=( )(A)7 (B)8 (3)15 (4)16解析:4,2,成等差數(shù)列,即,因此選C點(diǎn)評:該類題目綜合考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的求和公式等,基礎(chǔ)性較強(qiáng),綜合程度較小,要求具有較熟練的運(yùn)算能力2函數(shù)與不等式綜合不等式與函數(shù)有著密切的聯(lián)系,其中線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值是近幾年高考的熱點(diǎn)問題之一,經(jīng)常以選擇題或填空題出現(xiàn)有不少關(guān)于最值方面的問題,通常用二次函數(shù)的配方法求最值或用均值不等式求最值,考題經(jīng)常以與不等式有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題出現(xiàn)在應(yīng)用不等式解決實(shí)際問題時(shí),要注意以下四點(diǎn):理解題意,設(shè)變量設(shè)變量時(shí)一般把要求最值的變量定為自變量;建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題;在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最值;正確寫出答案x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 例設(shè)x,y滿足約束條件 ,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值為12,則的最小值為( ) A B C D 4答案:A解析:不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線ax+by= z(a>0,b>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(diǎn)(4,6)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選A點(diǎn)評:本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值,對于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答例4本公司計(jì)劃2020年在甲、乙兩個(gè)電視臺做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告,廣告總費(fèi)用不超過9萬元,甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和200元/分鐘,規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺為該公司所做的每分鐘廣告,能給公司事來的收益分別為03萬元和02萬元問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺的廣告時(shí)間,才能使公司的收益最大,最大收益是 萬元答案:700100200300100200300400500yxlM解析:設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時(shí)間分別為分鐘和分鐘,總收益為元,由題意得目標(biāo)函數(shù)為二元一次不等式組等價(jià)于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域如圖:作直線,即平移直線,從圖中可知,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值聯(lián)立解得點(diǎn)的坐標(biāo)為(元)點(diǎn)評:本題是線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題,需要通過審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系,找出線性約束條件,寫出所研究的目標(biāo)函數(shù),通過數(shù)形結(jié)合解答問題用線性規(guī)劃的方法解決實(shí)際問題能提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力,隨著課改的深入,這類試題應(yīng)該是高考的熱點(diǎn)題型之一例5設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù) (1)若,求的取值范圍; (2)求的最小值; (3)設(shè)函數(shù),直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集解析:(1)若,則;(2)當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),綜上;(3)時(shí),得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),>0,得:;討論得:當(dāng)時(shí),解集為;當(dāng)時(shí),解集為;當(dāng)時(shí),解集為點(diǎn)評:本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識,考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力3函數(shù)與數(shù)列的綜合高考試題中經(jīng)常將函數(shù)與數(shù)列綜合在一起,設(shè)計(jì)綜合性較強(qiáng)的解答題,考查數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)及求和公式等主干知識和分析問題、解決問題的邏輯推理能力例6知函數(shù)()設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列,前n項(xiàng)和為,其中若點(diǎn)(nN*)在函數(shù)的圖象上,求證:點(diǎn)也在的圖象上;()求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值解析:()證明: 因?yàn)樗裕牲c(diǎn)在函數(shù)的圖象上,, 又, 所以,是的等差數(shù)列, 所以,又因?yàn)?所以, 故點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上()解:,令得當(dāng)x變化時(shí),的變化情況如下表: x(-,-2)-2(-2,0)f(x)+0-f(x)極大值 注意到,從而當(dāng),此時(shí)無極小值;當(dāng)?shù)臉O小值為,此時(shí)無極大值;當(dāng)既無極大值又無極小值點(diǎn)評:本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識,考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法,考查分析問題和解決問題的能力4數(shù)列與不等式、簡易邏輯等的綜合數(shù)列是培養(yǎng)推理論證能力的極好載體,將數(shù)列的知識與推理證明的方法交織在一起進(jìn)行考查,是新課程高考中的一個(gè)亮點(diǎn),常常榮歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想和方法于一體,對能力的要求較高例7設(shè)若是與的等比中項(xiàng),則的最小值為( ) A8 B4 C1 D答案:B解析:因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”成立,故選擇B點(diǎn)評:本小題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化,以及均值不等式求最值的運(yùn)用,考查了變通能力例8設(shè)數(shù)列滿足為實(shí)數(shù)()證明:對任意成立的充分必要條件是;()設(shè),證明:;()設(shè),證明:解析: (1) 必要性: ,又 ,即充分性 :設(shè),對用數(shù)學(xué)歸納法證明, 當(dāng)時(shí),假設(shè), 則,且,由數(shù)學(xué)歸納法知對所有成立(2) 設(shè) ,當(dāng)時(shí),結(jié)論成立當(dāng) 時(shí), ,由(1)知,所以 且 , , ,(3) 設(shè) ,當(dāng)時(shí),結(jié)論成立, 當(dāng)時(shí),由(2)知, 點(diǎn)評:該題綜合考查了等比數(shù)列的求和、不等式的性質(zhì)的應(yīng)用、充分必要條件和數(shù)學(xué)歸納法等,具有較高的難度,對邏輯推理能力的考查要求較高數(shù)列與概率的綜合數(shù)列與概率的綜合考查,雖然不是經(jīng)常但很有新意,這種命題也體現(xiàn)了在知識交匯處命題的指導(dǎo)思想例9將一骰子連續(xù)拋擲三次,它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為()                           解析:一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有個(gè),其中為等差數(shù)列有三類:(1)公差為0的有6個(gè);(2)公差為1或-1的有8個(gè);(3)公差為2或-2的有4個(gè),共有18個(gè),成等差數(shù)列的概率為,選B點(diǎn)評:本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn),題型新穎而別開生面,有采取分類討論,分類時(shí)要做到不遺漏,不重復(fù)【模擬演練】1公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為若是的等比中項(xiàng), ,則等于 ( ) A 18 B 24 C 60 D 902 等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別用Sn和Tn表示,若,則的值為( )A B C D 3已知函數(shù),則不等式的解集是( )A B C D4 已知x0,y0,x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,則的最小值是_高5設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 6命題實(shí)數(shù)滿足,其中,命題實(shí)數(shù)滿足或,且是的必要不充分條件,求的取值范圍7已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為 a ,且不等式 的解集為(1 , 3)(l)若方程有兩個(gè)相等的根,求的解析式; (2)若的最大值為正數(shù),求 a 的取值范圍8圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場地,要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修),其它三面圍墻要新建,在舊墻的對面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口,如圖所示,已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位:元)()將y表示為x的函數(shù): ()試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用【參考答案】1答案:C解析:由得得,再由得:則,所以,故選C2答案:A解析: ; 3 答案:C解析:依題意得或所以或解得:,故選C4答案:4 解析:45答案:解析:由題意得,即當(dāng)n2時(shí), ;當(dāng)n=1時(shí),×-2×1-1-6×1-5所以6解析:設(shè),=因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件,所以,且推不出而,所以,則或即或7解析:(1)因?yàn)榈慕饧癁椋?,3),所以且 因而 (1)由方程得: (2)因?yàn)榉匠蹋?)有兩個(gè)相等的根所以,即解得:(舍去)或,將代入(1)得的解析式為:,(2),有a < 0,可得的最大值為,所以 > 0,且a < 0解得:,故當(dāng)?shù)淖畲笾禐檎龜?shù)時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是8解析:(1)如圖,設(shè)矩形的另一邊長為a m,則-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360,由已知xa=360,得a=,所以y=225x+ (II)當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí),等號成立即當(dāng)x=24m時(shí),修建圍墻的總費(fèi)用最小,最小總費(fèi)用是10440元

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