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河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學(xué)二輪 備考抓分點(diǎn)透析專題5 平面向量 理

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河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學(xué)二輪 備考抓分點(diǎn)透析專題5 平面向量 理

2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五 平面向量【重點(diǎn)知識(shí)回顧】向量是既有大小又有方向的量,從其定義可以看出向量既具有代數(shù)特征,又具有幾何特征,因此我們要借助于向量可以將某些代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題,又可將某些幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,在復(fù)習(xí)中要體會(huì)向量的數(shù)形結(jié)合橋梁作用。能否理解和掌握平面向量的有關(guān)概念,如:共線向量、相等向量等,它關(guān)系到我們今后在解決一些相關(guān)問題時(shí)能否靈活應(yīng)用的問題。這就要求我們?cè)趶?fù)習(xí)中應(yīng)首先立足課本,打好基礎(chǔ),形成清晰地知識(shí)結(jié)構(gòu),重點(diǎn)掌握相關(guān)概念、性質(zhì)、運(yùn)算公式 法則等,正確掌握這些是學(xué)好本專題的關(guān)鍵在解決關(guān)于向量問題時(shí),一是要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換,正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算,進(jìn)一步加深對(duì)“向量”這一二維性的量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí),并體會(huì)用向量處理問題的優(yōu)越性。二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想,所以要通過向量法和坐標(biāo)法的運(yùn)用,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題上的作用。在解決解斜三角形問題時(shí),一方面要體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用,另一方面要體會(huì)解斜三角形是重要的測(cè)量手段,通過學(xué)習(xí)提高解決實(shí)際問題的能力因此,在復(fù)習(xí)中,要注意分層復(fù)習(xí),既要復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí),又要把向量知識(shí)與其它知識(shí),如:曲線,數(shù)列,函數(shù),三角等進(jìn)行橫向聯(lián)系,以體現(xiàn)向量的工具性平面向量基本定理(向量的分解定理)的一組基底。 向量的坐標(biāo)表示 表示。 . 平面向量的數(shù)量積 數(shù)量積的幾何意義: (2)數(shù)量積的運(yùn)算法則 【典型例題】1.向量的概念、向量的運(yùn)算、向量的基本定理例1. (2020湖北文、理)設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)·c=( )A.(15,12)B.0 C.3 D.11解:(a+2b),(a+2b)·c ,選C點(diǎn)評(píng):本題考查向量與實(shí)數(shù)的積,注意積的結(jié)果還是一個(gè)向量,向量的加法運(yùn)算,結(jié)果也是一個(gè)向量,還考查了向量的數(shù)量積,結(jié)果是一個(gè)數(shù)字例2、(2020廣東文)已知平面向量,且,則=( ) A(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10)解:由,得m4,所以,(2,4)(6,12)(4,8),故選(C)。點(diǎn)評(píng):兩個(gè)向量平行,其實(shí)是一個(gè)向量是另一個(gè)向量的倍,也是共線向量,注意運(yùn)算的公式,容易與向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算混淆例3(1)如圖所示,已知正六邊形ABCDEF,O是它的中心,若=,=,試用,將向量, 表示出來。(1)解析:根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則,用向量,來表示其他向量,只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形,所以它的中心O及頂點(diǎn)A,B,C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCO,所以,=,= =+,由于A,B,O,F(xiàn)四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形ABOF,所以=+=+=2+,同樣在平行四邊形 BCDO中,()2,點(diǎn)評(píng):其實(shí)在以A,B,C,D,E,F(xiàn)及O七點(diǎn)中,任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn),均可用 ,表示,且可用規(guī)定其中任兩個(gè)向量為,另外任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn),也可用,表示。例4已知中,A(2,1),B(3,2),C(3,1),BC邊上的高為AD,求。解析:設(shè)D(x,y),則得所以。2. 向量與三角函數(shù)的綜合問題例5、(2020深圳福田等)已知向量 ,函數(shù)(1)求的最小正周期; (2)當(dāng)時(shí), 若求的值解:(1) . 所以,T. (2) 由得, 點(diǎn)評(píng):向量與三角函數(shù)的綜合問題是當(dāng)前的一個(gè)熱點(diǎn),但通常難度不大,一般就是以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件,并結(jié)合簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算,而考查的主體部分則是三角函數(shù)的恒等變換,以及解三角形等知識(shí)點(diǎn). 例6、(2020山東文)在中,角的對(duì)邊分別為(1)求;(2)若,且,求解:(1)又 解得,是銳角(2)由, ,又點(diǎn)評(píng):本題向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合,考查向量的數(shù)量積,余弦定理等內(nèi)容。3. 平面向量與函數(shù)問題的交匯例7已知平面向量a(,1),b(, ).(1) 若存在實(shí)數(shù)k和t,便得xa(t23)b, ykatb,且xy,試求函數(shù)的關(guān)系式kf(t);(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論,確定kf(t)的單調(diào)區(qū)間解:(1)法一:由題意知x(,), y(tk,tk),又xy故x · y×(tk)×(tk)0整理得:t33t4k0,即kt3t. 法二:a(,1),b(, ), . 2,1且abxy,x · y0,即k2t(t23)20,t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知:kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1;令k0得t1或t1. 故kf(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1, 1 ),單調(diào)遞增區(qū)間是(,1)和(1,).歸納 第1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法:一是先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得兩個(gè)向量的坐標(biāo),再利用向量垂直的充要條件;二是直接利用向量的垂直的充要條件,其過程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式,達(dá)到同樣的求解目的(但運(yùn)算過程大大簡(jiǎn)化,值得注意)。第2問中求函數(shù)的極值運(yùn)用的是求導(dǎo)的方法,這是新舊知識(shí)交匯點(diǎn)處的綜合運(yùn)用變式 已知平面向量(,1),(,),若存在不為零的實(shí)數(shù)k和角,使向量(sin3), k(sin),且,試求實(shí)數(shù)k 的取值范圍。點(diǎn)撥 將例題中的t略加改動(dòng),舊題新掘,出現(xiàn)了意想不到的效果,很好地考查了向量與三角函數(shù)綜合運(yùn)用能力。OxACBa例7圖yACBaQP解:仿例3(1)解法(二)可得k( sin)2,而1sin1, 當(dāng)sin1時(shí),k取最大值1; sin1時(shí),k取最小值. 又k0 k的取值范圍為 .4. 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用例8、如圖在RtABC中,已知BC=a,若長(zhǎng)為2a的線段PQ以A為中點(diǎn),問與的夾角取何值時(shí), 的值最大?并求出這個(gè)最大值 解:以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。設(shè)|AB|=c,|AC|=b,則A(0,0),B(c,0),C(0,b).且|PQ|=2a,|BC|=a.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則Q(-x,-y),cx-by=a2cos.=- a2+ a2cos.故當(dāng)cos=1,即=0(方向相同)時(shí),的值最大,其最大值為0. 點(diǎn)評(píng):本題主要考查向量的概念,運(yùn)算法則及函數(shù)的有關(guān)知識(shí),平面向量與幾何問題的融合??疾閷W(xué)生運(yùn)用向量知識(shí)解決綜合問題的能力。例9、已知A、B為拋物線(p>0)上兩點(diǎn),直線AB過焦點(diǎn)F,A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為C、D,(1) 若,求拋物線的方程。(2) CD是否恒存在一點(diǎn)K,使得 Y A F P B X O D K C 解:(1)提示:記A()、B ()設(shè)直線AB方程為代入拋物線方程得(2)設(shè)線段AB中點(diǎn)P在在準(zhǔn)線上的射影為T,則0故存在點(diǎn)K即點(diǎn)T,使得實(shí)質(zhì):以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切變式(2020全國湖南文21)如圖,過拋物線x2=4y的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為,證明:;解:依題意,可設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程得 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、x2是方程的兩根.所以 由點(diǎn)P(0,m)分有向線段所成的比為,得又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(0,m),從而. 所以 【模擬演練】一、選擇題1已知點(diǎn)M1(6,2)和M2(1,7),直線y=mx7與線段M1M2的交點(diǎn)分有向線段M1M2的比為3:2,則的值為 ( )A B C D42已知a,b是非零向量且滿足(a2b)a,(b2a)b,則a與b的夾角是 ( )A B C D3已知向量=(2,0),向量=(2,2),向量=(),則向量與向量的夾角的范圍為 ( )A0, B, C, D,4設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,拋物線y2=2x與過焦點(diǎn)的直線交于A,B兩點(diǎn),則·= ( )A B C3 D35 O是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足=+(),則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的( )A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心6已知平面上直線l的方向向量e=(,),點(diǎn)O(0,0)和A(1, 2)在上的射影分別是O/和A/,則,其中=( )A B C2 D27、( )A B. C. D. 18、已知,則向量與( )A.互相平行 B. 夾角為 C.夾角為 D.互相垂直9、已知向量的夾角是( )ABC D10、若向量,則等于( )A. B. C. D.11、已知非零向量若且又知?jiǎng)t實(shí)數(shù)的值為 ( ) A. B. C. 3 D. 612. 把函數(shù)y的圖象按a(1,2)平移到F,則F的函數(shù)解析式為Ay ByCy Dy二、填空題13已知向量a、b的夾角為,|a|2,|b|1,則|ab|ab|的值是 .14.已知M、N是ABC的邊BC、CA上的點(diǎn),且,設(shè),則 . 15. ABC中,,其中A、B、C是ABC的三內(nèi)角,則ABC是 三角形。16. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,其中且,則的軌跡方程為 . 三、解答題17. 已知向量,.(1)若,試判斷與能否平行(2)若,求函數(shù)的最小值.18. 設(shè)函數(shù),其中向量,. (1)求函數(shù)的最大值和最小正周期; (2)將函數(shù)的圖像按向量平移,使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱,求長(zhǎng)度最小的.19. 如圖,ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,A為圓心,直徑PQ2,問:當(dāng)P、Q取什么位置時(shí),·有最大值? 20. 已知定點(diǎn)F(1,0),動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作PM交x軸于點(diǎn)M,并延長(zhǎng)MP至點(diǎn)N,且(1)求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程;(2)直線l與動(dòng)點(diǎn)N的軌跡交于A、B兩點(diǎn),若且4,求直線l的斜率的取值范圍21. 已知點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),設(shè). (1)求點(diǎn)的軌跡方程;(2)求向量和夾角的最大值,并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)22. 在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi),以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B,經(jīng)過40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+(其中sin=,)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C. (1)求該船的行駛速度(單位:海里/小時(shí));(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域,并說明理由. 專題訓(xùn)練答案一、選擇題1. D 2. B 3. D 4. B 5. B 6. D 7A 8A 9D 10B11D 12 A二、填空題13 14. ;15.直角16. 三、解答題17. 解:(1)若與平行,則有,因?yàn)?,所以得,這與相矛盾,故與不能平行.(2)由于,又因?yàn)?,所以?于是,當(dāng),即時(shí)取等號(hào).故函數(shù)的最小值等于.18解:(1)由題意得,f(x)a·(b+c)=(sinx,cosx)·(sinxcosx,sinx3cosx)sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).所以,f(x)的最大值為2+,最小正周期是.(2)由sin(2x+)0得2x+k.,即x,kZ,于是d(,2),kZ. 因?yàn)閗為整數(shù),要使最小,則只有k1,此時(shí)d(,2)即為所求.19. 解:·()·()()·()r2··設(shè)BAC,PA的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線相交于D,PDB,則·r2cbcosracosa、b、c、r均為定值,當(dāng)cos1,即APBC時(shí),·有最大值.20. 略解 (1)y24x (x0) (2)先證明l與x軸不垂直,再設(shè)l的方程為ykxb(k0),A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立直線與拋物線方程,得ky2 4y4b0,由,得.又 故 而 解得直線l的斜率的取值范圍是21. 解析:(1)設(shè),則,.(2)設(shè)向量與的夾角為,則,令,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí),等號(hào)成立. 22. 解: (I)如圖,AB=40,AC=10,由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行駛速度為(海里/小時(shí)).(2)解法一 如圖所示,以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B(x1,y2), C(x1,y2),BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)有,x1=y1= AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.又點(diǎn)E(0,-55)到直線l的距離d=所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

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