河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學(xué)二輪 備考抓分點透析專題2 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 理

2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)【重點知識回顧】1函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點和思想方法是高中數(shù)學(xué)的一條重要的主線，選擇、填空、解答三種題型每年都有，函數(shù)題的身影頻現(xiàn)，而且常考常新以基本函數(shù)為背景的綜合題和應(yīng)用題是近幾年的高考命題的新趨勢函數(shù)的圖象也是高考命題的熱點之一近幾年來考查導(dǎo)數(shù)的綜合題基本已經(jīng)定位到壓軸題的位置了2對于函數(shù)部分考查的重點為：函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性對稱性和函數(shù)的圖象；指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；應(yīng)用函數(shù)知識解決一些實際問題；導(dǎo)數(shù)的基本公式，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值 【典型例題】1函數(shù)的性質(zhì)與圖象函數(shù)的性質(zhì)是高考考查的重點內(nèi)容根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，掌握求函數(shù)最大值和最小值的常用方法函數(shù)的圖象是函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，能夠利用函數(shù)的圖象歸納函數(shù)的性質(zhì)對于抽象函數(shù)一類，也要盡量畫出函數(shù)的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合討論函數(shù)的性質(zhì)例1“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是（ ） A B C D答案：B解析：在選項B中，烏龜?shù)竭_(dá)終點時，兔子在同一時間的路程比烏龜短點評：函數(shù)圖象是近年高考的熱點的試題，考查函數(shù)圖象的實際應(yīng)用，考查學(xué)生解決問題、分析問題的能力，在復(fù)習(xí)時應(yīng)引起重視例2已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根，則-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m>0) 答案：-8解析：因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足，所以，所以, 由為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱且，由知，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因為在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù)如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根，不妨設(shè)，由對稱性知，所以點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性，對稱性，周期性，以及由函數(shù)圖象解答方程問題，運用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題2函數(shù)與解方程、不等式的綜合問題函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列是密切相關(guān)的幾個部分，通過建立函數(shù)模型來解決有關(guān)他們的綜合問題是高考的考查方向之一，解決該類問題要善于運用轉(zhuǎn)化的思想方法，將問題進(jìn)行不斷轉(zhuǎn)化，構(gòu)建模型來解決問題例2x為何值時，不等式成立解析：當(dāng)時，當(dāng)時，故時，時，為所求點評：該題考查了對數(shù)不等式的解法，其基本的解題思路為將對數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式，需要注意轉(zhuǎn)化之后的范圍發(fā)生了變化，因此最后要檢驗，或者轉(zhuǎn)化時將限制條件聯(lián)立3函數(shù)的實際應(yīng)用函數(shù)的實際運用主要是指運用函數(shù)的知識、思想和方法綜合解決問題函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系掌握有關(guān)函數(shù)知識是運用函數(shù)思想的前提，考生應(yīng)具備用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力，運用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的意識是運用函數(shù)思想的關(guān)鍵例3某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房經(jīng)測算，如果將樓房建為x（x10）層，則每平方米的 平均建筑費用為560+48x（單位：元）為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=）解析：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費為元，依題意得：則，令，即，解得當(dāng)時，；當(dāng)時，因此，當(dāng)時，取得最小值，元答：為了使樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應(yīng)建為15層點評：這是一題應(yīng)用題，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識來解決問題利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)值域或最值是一種常用的方法4導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極（最）值問題導(dǎo)數(shù)作為工具來研究三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值時，具有其獨特的優(yōu)越性，要理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，熟練導(dǎo)數(shù)的運算公式，善于借助導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)的問題例4已知函數(shù)，其中（1）當(dāng)滿足什么條件時，取得極值?（2）已知，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，試用表示出的取值范圍解析： （1）由已知得，令，得，要取得極值，方程必須有解，所以，即， 此時方程的根為：，所以當(dāng)時，x(-，x1)x 1(x1，x2)x2(x2，+)f(x)00f (x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在x 1， x2處分別取得極大值和極小值當(dāng)時， x(-，x2)x 2(x2，x1)x1(x1，+)F(x)00f (x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在x 1， x2處分別取得極大值和極小值綜上，當(dāng)滿足時，取得極值（2）要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，需使在上恒成立即恒成立，所以，設(shè)，令得或(舍去)，當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時，單調(diào)減函數(shù)，所以當(dāng)時，取得最大，最大值為所以當(dāng)時，此時在區(qū)間恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時最大，最大值為，所以綜上，當(dāng)時， ；當(dāng)時， 點評：本題為三次函數(shù)，利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號確定，從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立，再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值運用函數(shù)與方程的思想，化歸思想和分類討論的思想解答問題【模擬演練】1函數(shù)的圖象（ ） A 關(guān)于原點對稱 B關(guān)于主線對稱 C 關(guān)于軸對稱 D關(guān)于直線對稱2 定義在R上的偶函數(shù)的部分圖象如右圖所示，則在上，下列函數(shù)中與的單調(diào)性不同的是（ ）A B C D3已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則( )A B C D 4 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ，則f（2020）的值為 5 已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點處的切線方程是 6已知函數(shù)且 （I）試用含的代數(shù)式表示； （）求的單調(diào)區(qū)間； （）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點7已知函數(shù)的圖象在與軸交點處的切線方程是（I）求函數(shù)的解析式；（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值【參考答案】1答案：A 解析：由于定義域為（-2，2）關(guān)于原點對稱，又f(-x)=-f(x)，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，選A2答案：C 解析：根據(jù)偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，故可知求在上單調(diào)遞減，注意到要與的單調(diào)性不同，故所求的函數(shù)在上應(yīng)單調(diào)遞增而函數(shù)在上遞減；函數(shù)在時單調(diào)遞減；函數(shù)在（上單調(diào)遞減，理由如下y=3x2>0(x<0)，故函數(shù)單調(diào)遞增，顯然符合題意；而函數(shù)，有y=-<0(x<0)，故其在（上單調(diào)遞減，不符合題意，綜上選C3 答案：D解析：因為滿足，所以，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，則，又因為在R上是奇函數(shù)， ，得，而由得，又因為在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以，所以，即，故選D 4答案：1 解析：由已知得，所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn)，所以f（2020）= f（5）=15答案：解析：由得：，即，切線方程為，即6解析：（I）依題意，得， 由得（）由（I）得， 故， 令，則或， 當(dāng)時， 當(dāng)變化時，與的變化情況如下表：+-+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為由時，此時，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為R；當(dāng)時，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為綜上：當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為（）當(dāng)時，得，由，得由（）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，故，所以直線的方程為，由得解得，所以線段與曲線有異于的公共點 7解析：（I）由已知,切點為(2,0),故有,即又，由已知得聯(lián)立，解得所以函數(shù)的解析式為 （II）因為令當(dāng)函數(shù)有極值時，則，方程有實數(shù)解， 由，得當(dāng)時，有實數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無極值；當(dāng)時，有兩個實數(shù)根情況如下表：+0-0+極大值極小值所以在時，函數(shù)有極值；當(dāng)時，有極大值；當(dāng)時，有極小值