河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學二輪 備考抓分點透析專題12 高考中的解答題的解題策略 理

2020屆高考數(shù)學二輪復習專題十二 高考中的解答題的解題策略【重點知識回顧】 解答題可分為低檔題、中檔題和高檔題三個檔次，低檔題主要考查基礎知識和基本方法與技能，中檔題還要考查數(shù)學思想方法和運算能力、思維能力、整合與轉化能力、空間想象能力，高檔題還要考查靈活運用數(shù)學知識的能力及分析問題和解決問題的能力解答題的解題步驟1.分析條件，弄清問題2.規(guī)范表達，實施計劃3.演算結果，回顧反思解答題的解題策略1.從條件入手分析條件，化繁為簡，注重隱含條件的挖掘；2.從結論入手執(zhí)果索因，搭好聯(lián)系條件的橋梁；3.回到定義和圖形中來；4.換一個角度去思考；5優(yōu)先作圖觀察分析，注意挖掘隱含條件；6.注重通性通法，強化得分點。【典型例題】1.從定義信息入手 定義信息型題是近幾年來高考出現(xiàn)頻率較高的新題型之一，其命題特點是：給出一個新的定義、新的關系、新的性質(zhì)、新的定理等創(chuàng)新情境知識，然后在這個新情境下，綜合所學知識并利用新知識作為解題工具使問題得到解決，求解此類問題通常分三個步驟：（1）對新知識進行信息提取，確定化歸方向；（2）對新知識中所提取的信息進行加工，探究解題方法；（3）對提取的知識加以轉換，進行有效組合，進而求解例1、根據(jù)定義在集合A上的函數(shù)，構造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下： 輸入數(shù)據(jù)，計算出；若，則數(shù)列發(fā)生器結束工作，若，則輸出x1,并將x1反饋回輸入端，再計算出，并依此規(guī)律繼續(xù)下去，現(xiàn)在有， （）求證：對任意，此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個無窮數(shù)列；（）若，記，求數(shù)列的通項公式【解析】（）證明：當，即0<x<1時，由可知m+1>x>0，又，即故對任意有；由有，由有；以此類推，可以一直繼續(xù)下去，從而可以產(chǎn)生一個無窮數(shù)列（）由，可得，即，令，則，又，數(shù)列是以為首項，以為公比的等差數(shù)列，于是【題后反思】 本題以算法語言為命題情境，構造一個數(shù)列發(fā)生器，通過定義工作原理，得到一個無窮數(shù)列，這是命題組成的第一部分，解答時只需依照命題程序完成即可，第（）問其實是一個常規(guī)的數(shù)學問題，由上可知，創(chuàng)新題的解答還是需要考生有堅實的數(shù)學解題功底2. 由巧法向通法轉換 巧法的思維起點高，技巧性也強，有匠心獨具、出人意料等特點，而巧法本身的思路難尋，方法不易把握，而通法則體現(xiàn)了解決問題的常規(guī)思路，而順達流暢，通俗易懂的特點例2、已知，求的取值范圍【解析】由，得， ，從而得【題后反思】 本題是一典型、常見而又方法繁多、技巧性較強的題目，求解時常常出錯，尤其是題目的隱含條件的把握難度較大，將解法退到常用的數(shù)學方法之一消元法上來，則解法通俗、思路清晰3. 常量轉化為變量 轉化思想方法用于研究、解釋數(shù)學問題時思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉化成另一種情況，也就是轉化到另一種情境，使問題得到解釋的一種方法，這種轉化是解決問題的有效策略，同時也是成功的思維模式，轉化的目的是使問題變的簡單、容易、熟知，達到解決問題的有利境地，通向問題解決之策有的問題需要常、變量相互轉化，使求解更容易例3、設，求證：【解析】令，則有，若，則成立；若，則，方程有兩個相等的實數(shù)根，即，由韋達定理，即，又，【題后反思】 把變量變?yōu)槌Ａ?，也就是從一般到特殊，是我們尋找?guī)律時常用的解題方法，而本題反其道而行之，將常量變?yōu)樽兞?，從特殊到一般使問題得到解決4. 主元轉化為輔元有的問題按常規(guī)確定主元進行處理往往受阻，陷于困境，這時可以將主元化為輔元，即可迎刃而解例4、對于滿足的所有實數(shù)p，求使不等式恒成立的x的取值范圍【解析】把轉化為，則成為關于p的一次不等式，則，得，由一次不等式的性質(zhì)有：，當時，；當時，綜上可得：【題后反思】 視x為主元，不等式是關于x的一元二次不等到式，討論其取值情況過于繁瑣，將p轉化為主元，不等式是關于p的一次的不等式，則問題不難解決5. 正向轉化為反向有些數(shù)學問題，如果是直接正向入手求解難度較大，可以反向考慮，這種方法也叫“正難則反”例5、若橢圓與連接A（1，2）、B（3，4）兩點的線段沒有公共點，求實數(shù)a的取值范圍【解析】設線段AB和橢圓有公共點，由A、B兩點的坐標可得線段AB的方程為，則方程組，消去y得：，即，當橢圓與線段AB無公共點時，實數(shù)a的取值范圍為【題后反思】 在探討某一問題的解決辦法時，如果我們按照習慣的思維方式從正面思考遇到困難，則應從反面的方向去探索6. 數(shù)與形的轉化數(shù)形結合，實質(zhì)上是將抽象的語言與直觀圖形結合起來，以便化抽象為直觀，達到化難為易，化簡為繁的目的例6、已知是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，若，解不等式【解析】由在上為增函數(shù)，且是定義域上的奇函數(shù)，在上也是增函數(shù)，或，xy-11O由函數(shù)的單調(diào)性知：或，原不等式的解集為：【題后反思】 由已知，是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，由，則可得的大致圖像如下圖，可知7自變量與函數(shù)值的轉化函數(shù)單調(diào)性的定義明確體現(xiàn)了函數(shù)自變量的不等式關系與函數(shù)值間不等關系相互轉化的思想，理解它們之間的相互轉化關系，有利于靈活運用函數(shù)的單調(diào)性解題例7、設是定義在上的增函數(shù)，且對于定義域內(nèi)任意x、y，都有，求使不等式成立的x的取值范圍【解析】的定義域是，即，由于，得，由，得，由題設條件得： ，是定義在上的增函數(shù)，解之得：，又，適合題意的x的取值范圍為3，4【題后反思】 這類抽象函數(shù)求解是初學者較難掌握的，解題的關鍵需實現(xiàn)三種轉化：將函數(shù)值間的不等關系轉化為自變量的不等關系；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性意義又能比較兩個值的大小，因此需將，根據(jù)等價轉化為；需將轉化為某自變量的函數(shù)值，從而建立關于x的不等關系，求出x的取值范圍8. 類比歸納類比是將式子結構、運算法則、解題方法、問題結論等式引申或推廣，或遷移，由已知探索未知，由舊知識探索新知識的一種研究問題的方法；歸納是從個別特殊事例，若干特殊現(xiàn)象遞推出同一類事物的一般性結論，總結出同一種現(xiàn)象的一般規(guī)律的一種思考問題的方法，這兩種推理方法可有效地鍛煉考生的創(chuàng)造性思維能力，培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力因為這類創(chuàng)新題的思維含量高、知識覆蓋面廣、綜合性強，所以它們在高考中頻繁亮相，已成為高考中的又一個熱點x1x2xyOD=x1,x2y=f(x)x1x2xyOD=x1,x2y=B例8、如下圖所示，定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)A，都有成立，則稱函數(shù)在D上有下界，其中A稱為函數(shù)的下界（提示：下圖中的常數(shù)A、B可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)或零）（）試判斷函數(shù)在上是否有下界？并說明理由；（）具有圖所示特征的函數(shù)稱為在D上有上界，請你類比函數(shù)有下界 的定義，給出函數(shù)在D上有上界的定義，并判斷（）中的函數(shù)在上是否有上界，并說明理由【解析】，由，得，x=2,當0<x<2時，函數(shù)在（0，2）上是減函數(shù)； 當x>2時，函數(shù)在（2，）上是增函數(shù)；x=2是函數(shù)在區(qū)間（0，）上的最小值點，于是，對任意，都有，即在區(qū)間（0，）是存在常數(shù)A=32，使得對任意，都有成立，所以，函數(shù)在上有下界（）類比函數(shù)有下界的定義，函數(shù)有上界可以給出這樣的定義：定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常B，都有成立，則稱函數(shù)在D上有上界，其中B稱為函數(shù)的上界設x<0，則-x>0，則（）知，對任意，都有，函數(shù)為奇函數(shù)，即，即存在常數(shù)B=-32，對任意，都有，所以，函數(shù)在上有上界【題后反思】本題以高等數(shù)學中的函數(shù)有界性為命題素材，先給出一個定義，研究問題的結論，然后提出類比的方向，這是一種直接類比的情境題數(shù)學中有許多能夠產(chǎn)生類比的知識點，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的內(nèi)容有著非常和諧的“同構”現(xiàn)象，立體幾何中的很多結論和方法都可以從平面幾何中產(chǎn)生“靈感”進行遷移，我們復習時要注意研究知識間的縱橫聯(lián)系，把握知識間的內(nèi)在規(guī)律，通過知識間的對比和類比，可以更好地掌握知識，提高解題能力【模擬演練】（1）已知函數(shù) （）若，求x的值；（）若對于恒成立，求實數(shù)m的取值范圍（2）設函數(shù)，曲線通過點（0，2a+3）且在點（-1，）處的切線垂直于x軸 用a分別表示b和c； （）當bc取得最小值時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（3）在直角坐標系xOy中，點P到兩點（），（）的距離之和等于4，設點P的軌跡為C，直線與C交于A、B兩點， （）寫出C的方程； （）若，求k的值； （）若點A在第一象限，證明：當k>0時，恒有（4）已知函數(shù)，（）將函數(shù)化簡成的形式；（）求函數(shù)的值域（5）已知曲線C1：所圍成的封閉圖形的面積為，曲線C1的內(nèi)切圓半徑為，記C2為以曲線C1與坐標軸的交點為頂點的橢圓， （）求橢圓C2的標準方程； （）設AB是過橢圓C2中心的任意弦，是線段AB的垂直平分線，M是上異于橢圓中心的點，若（O為坐標原點），當點A在橢圓C2上運動時，求點M的軌跡方程；若M是與橢圓C2的交點，求面積的最小值（6）已知元素為實數(shù)的集合S滿足下列條件：；若，則若非空集合S為有限集，則你對集合S的元素個數(shù)有何猜測？并請證明你的猜測（7）已知橢圓的右準線與x軸相交于點P，右焦點F到上頂點的距離為，點C(m,0)是線段OF上的一個動點， （）求橢圓的方程；（）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線，其與橢圓交于A、B兩點，且使得？親說明理由（8）設函數(shù)，函數(shù)，其中a為常數(shù)且，令函數(shù)為函數(shù)和的積函數(shù) （）求函數(shù)的表達式，并求其定義域； （）當時，求函數(shù)的值域； （）是否存在自然數(shù)a，使得函數(shù)的值域恰為？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)a所構成的集合，若不存在，試說明理由（9）已知函數(shù)，當點在的圖像上移動時，點在孫函數(shù)的圖像上移動 （）若點P坐標為（1，-1），點Q也在的圖像上，求t的值； （）求函數(shù)的解析式； （）當時，試探索一個函數(shù)，使得在限定域內(nèi)為時有最小值而沒有最大值（10）矩形鋼板的邊長分別為，現(xiàn)要將它剪焊成正四棱柱或正四棱錐，并使其底面邊長為矩形邊長的一半，表面積為ab，試比較得到所制作的正四棱柱與正四棱錐中哪一個體積最大，哪一個體積最小，并說明你的結論答案：1（1）；（2） 2（1）c=2a+3，b=2a；（2）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（-2，2）；3（1），（2），（3）略；4（1），（2）的值域為；5（1），（2），6. S的元素的個數(shù)為3的倍數(shù)；7. （）；（）當時，即存在這樣的直線；當時，k不存在，即不存在這樣的直線8， （）；（）；（），且9. （）；（）；（）當時，有最小值0，但沒有最大值10如下圖： 圖1圖2圖3圖4 易證：，即最大，最小