四川省宜賓市一中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第十七周 空間幾何體的結(jié)構(gòu) 三視圖和直觀圖教學(xué)設(shè)計

空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖考點梳理1棱柱、棱錐、棱臺的概念(1)棱柱：有兩個面互相_，其余各面都是_，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相_，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱注：棱柱又分為斜棱柱和直棱柱側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱(2)棱錐：有一個面是_，其余各面都是有一個公共頂點的_，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐注：如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上，則這個棱錐叫做正棱錐(3)棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，叫做棱臺注：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺2.棱柱、棱錐、棱臺的性質(zhì)(1)棱柱的性質(zhì)側(cè)棱都相等，側(cè)面是_；兩個底面與平行于底面的截面是_的多邊形；過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是_；直棱柱的側(cè)棱長與高相等且側(cè)面、對角面都是_(2)正棱錐的性質(zhì) 側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的_；棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影構(gòu)成一個_；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影也構(gòu)成一個_；斜高、側(cè)棱及底面邊長的一半也構(gòu)成一個_；側(cè)棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面邊長的一半也構(gòu)成一個_(3)正棱臺的性質(zhì)側(cè)面是全等的_；斜高相等；棱臺的高、斜高和兩底面的邊心距組成一個_；棱臺的高、側(cè)棱和兩底面外接圓的半徑組成一個_；棱臺的斜高、側(cè)棱和兩底面邊長的一半也組成一個_3圓柱、圓錐、圓臺(1)圓柱、圓錐、圓臺的概念分別以_的一邊、_的一直角邊、_中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(2)圓柱、圓錐、圓臺的性質(zhì)圓柱、圓錐、圓臺的軸截面分別是_、_、_；平行于底面的截面都是_4球(1)球面與球的概念以半圓的_所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球半圓的圓心叫做球的_(2)球的截面性質(zhì)球心和截面圓心的連線_截面；球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r的關(guān)系為_5平行投影在一束平行光線照射下形成的投影，叫做_平行投影的投影線互相_6空間幾何體的三視圖、直觀圖(1)三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到的，在這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的三視圖包括_、_、_三視圖尺寸關(guān)系口訣：“長對正，高平齊，寬相等” 長對正指正視圖和俯視圖長度相等，高平齊指正視圖和側(cè)(左)視圖高度要對齊，寬相等指俯視圖和側(cè)(左)視圖的寬度要相等(2)直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：在已知圖形所在空間中取水平面，在水平面內(nèi)作互相垂直的軸Ox，Oy，再作Oz軸，使xOz_且yOz_畫直觀圖時，把Ox，Oy，Oz畫成對應(yīng)的軸Ox，Oy，Oz，使xOy_，xOz_xOy所確定的平面表示水平面已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成_x軸、y軸或z軸的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的_畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖自查自糾1(1)平行四邊形平行(2)多邊形三角形2(1)平行四邊形全等平行四邊形矩形(2)等腰三角形直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形(3)等腰梯形直角梯形直角梯形直角梯形3(1)矩形直角三角形直角梯形(2)矩形等腰三角形等腰梯形圓4(1)直徑球心(2)垂直于d5平行投影平行6(1)正(主)視圖側(cè)(左)視圖俯視圖(2)90°90°45°(或135°)90°平行于一半基礎(chǔ)自測 以下關(guān)于幾何體的三視圖的論述中，正確的是()A球的三視圖總是三個全等的圓B正方體的三視圖總是三個全等的正方形C水平放置的正四面體的三視圖都是正三角形D水平放置的圓臺的俯視圖是一個圓解：幾何體的三視圖要考慮視角，只有球無論選擇怎樣的視角，其三視圖總是三個全等的圓故選A. (2020·全國卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A90 B63 C42 D36解法一：由三視圖知，該幾何體可以看作由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，故其體積V×32×10××32×663.解法二：該幾何體可以看作由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，其體積等于底面半徑為3，高為7的圓柱的體積，所以其體積V×32×763.故選B. (2020·全國卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A10 B12 C14 D16解：由三視圖可知該多面體是一個組合體，下面是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，上面是底面為等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長、直三棱柱的高、三棱錐的高均為2，易知該多面體有2個面是梯形，這2個梯形的面積之和為×212，故選B. (2020·北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為_解：由三視圖還原為如圖所示的四棱錐A­BCC1B1，易得，最長的棱為AC1，且AC12.故填2. (2020·山東)由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為_解：由三視圖可知V1×2×12×××12×12.故填2.類型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征給出下列四個命題：有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體；若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱其中所有錯誤命題的序號是()A B. C D. 解：認識棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故錯誤，對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明，故錯誤，平行六面體的兩個相對側(cè)面也可能與底面垂直且互相平行，故錯誤故選D.【點撥】解決該類題目需要準(zhǔn)確理解幾何體的定義，要真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并且學(xué)會通過反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，設(shè)法舉出一個反例即可下面是關(guān)于四棱柱的四個命題：若有一個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；若過兩個相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；若四個側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱；若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱其中，真命題的編號是_解：顯然錯；正確，因兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面可得到側(cè)棱垂直于底面；錯，可以是斜四棱柱；正確，對角線兩兩相等，則此兩對角線所在的平行四邊形為矩形故填.類型二空間幾何體的三視圖已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為()解：三視圖中正側(cè)高平齊，排除A，俯側(cè)寬相等，排除C，D.故選B.【點撥】根據(jù)幾何體的直觀圖畫三視圖，要根據(jù)三視圖的畫法規(guī)則進行要嚴(yán)格按以下幾點執(zhí)行：三視圖的安排位置，正視圖、側(cè)視圖分別放在左、右兩邊，俯視圖放在正視圖的下邊正俯長對正，正側(cè)高平齊，俯側(cè)寬相等注意實虛線的區(qū)別 如圖，幾何體的正視圖與側(cè)視圖都正確的是()解：側(cè)視時，看到一個矩形且不能有實對角線，故A、D排除而正視時，有半個平面是沒有的，所以應(yīng)該有一條實對角線，且其對角線位置應(yīng)為B中所示故選B.類型三空間多面體的直觀圖已知幾何體的三視圖如圖所示，用斜二測畫法畫出它的直觀圖(單位：cm)解：由三視圖可知該幾何體是底面邊長為2 cm，高為3 cm的正六棱錐，其直觀圖如圖所示，畫法如下：(1)畫軸：畫底面中心O，畫x軸，y軸和z軸，使xOy45°，xOz90°.(2)畫底面：在水平面xOy內(nèi)畫邊長為2 cm正六邊形的直觀圖(3)畫高線：在Oz上取點P，使OP3 cm.(4)成圖：連接PA，PB，PC，PD，PE，PF，去掉輔助線，并將遮住部分改為虛線，就得到如圖所示的直觀圖【點撥】根據(jù)三視圖可以確定一個幾何體的長、寬、高，再按照斜二測畫法，建立x軸、y軸、z軸，使xOy45°，xOz90°，確定幾何體在x軸、y軸、z軸方向上的長度，最后連線畫出直觀圖平行于x軸和z軸的線段長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半，且平行于軸的線段平行關(guān)系不變原圖形面積S與其直觀圖面積S之間的關(guān)系為SS.已知一個四棱錐的高為3，其底面用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個邊長為1的正方形，則此四棱錐的體積為()A. B6 C. D2解：因為四棱錐的底面直觀圖是一個邊長為1的正方形，該正方形的對角線長為，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，原圖底面的底邊長為1，高為直觀圖中正方形的對角線長的兩倍，即2，則原圖底面積為S2.因此該四棱錐的體積為VSh×2×32.故選D.類型四空間旋轉(zhuǎn)體的直觀圖 一個圓臺的母線長為12 cm，兩底面面積分別為4 cm2和25 cm2.求：(1)圓臺的高；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長解：(1)O1A12，OA5，所以圓臺的高h3 cm.(2)由，得SA20 cm.【點撥】用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(zhì)(與底面全等或相似)，同時結(jié)合旋轉(zhuǎn)體中的軸截面(經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面)的幾何性質(zhì)，利用相似三角形中的相似比，設(shè)相關(guān)幾何變量列方程求解一個直角梯形上底、下底和高之比為24，將此直角梯形以垂直于底的腰為軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個圓臺，求這個圓臺上底面積、下底面積和側(cè)面積之比解：由題意可設(shè)直角梯形上底、下底和高為2x，4x，x，它們分別為圓臺的上、下底半徑和高如圖示，過點B作BCOA于C，則RtABC中，ACOAOCOAOB4x2x2x，BCOOx，所以AB3x.所以S上S下S側(cè)(2x)2(4x)2(2x4x)×3x289.點撥1在研究圓柱、圓錐、圓臺的相關(guān)問題時，主要方法就是研究它們的軸截面，這是因為在軸截面中容易找到這些幾何體的有關(guān)元素之間的位置關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系2建議對下列一些具有典型意義的重要空間圖形的數(shù)量關(guān)系予以推證并適當(dāng)記憶(1)正多面體正四面體就是棱長都相等的三棱錐，正六面體就是正方體，連接正方體六個面的中心，可得到一個正八面體，正八面體可以看作是由兩個棱長都相等的正四棱錐拼接而成棱長為a的正四面體中：a斜高為a；b高為a；c對棱中點連線長為a；d外接球的半徑為a，內(nèi)切球的半徑為a；e正四面體的表面積為a2，體積為a3.如圖，在棱長為a的正方體ABCD­A1B1C1D1中，連接A1B，BC1，A1C1，DC1，DA1，DB，可以得到一個棱長為a的正四面體A1­BDC1，其體積為正方體體積的.正方體與球有以下三種特殊情形：一是球內(nèi)切于正方體；二是球與正方體的十二條棱相切；三是球外接于正方體它們的相應(yīng)軸截面如圖所示(正方體的棱長為a，球的半徑為R)(2)長方體的外接球長、寬、高分別為a，b，c的長方體的體對角線長等于外接球的直徑，即2R.棱長為a的正方體的體對角線長等于外接球的直徑，即a2R.3三視圖的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線，主視圖反映了物體的長度和高度；俯視圖反映了物體的長度和寬度；左視圖反映了物體的寬度和高度由此得到：主俯長對正，主左高平齊，俯左寬相等4一個平面圖形在斜二測畫法下的直觀圖與原圖形相比，有“三變、三不變”三變：坐標(biāo)軸的夾角改變，與y軸平行線段的長度改變(減半)，圖形改變?nèi)蛔儯浩叫行圆蛔?，與x軸平行的線段長度不變，相對位置不變5 對于直觀圖，除了了解斜二測畫法的規(guī)則外，還要了解原圖形面積S與其直觀圖面積S之間聯(lián)系：SS，并能進行相關(guān)的計算課時作業(yè)1一圖形的投影是一條線段，這個圖形不可能是()線段；直線；圓；梯形；長方體A B C D解：線段、圓、梯形都是平面圖形，且在有限范圍內(nèi)，投影都可能為線段；長方體是三維空間圖形，其投影不可能是線段；直線的投影，只能是直線或點故選D.2下列命題：若一個幾何體的三視圖是完全相同的，則這個幾何體是正方體；若一個幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，則這個幾何體是長方體；若一個幾何體的三視圖都是矩形，則這個幾何體是長方體；若一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是等腰梯形，則這個幾何體是圓臺其中真命題的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3解：假命題，也可以是球；假命題，也可以是橫放的圓柱；是真命題；是假命題，也可以是棱臺故選B.3四個正方體按如圖所示的方式放置，其中陰影部分為我們觀察的正面，則該物體的三視圖正確的為()解：正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別從幾何體的正面、左邊和上面正投影即可知B正確故選B.4某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()解：D選項的正視圖應(yīng)為如圖所示的圖形故選D.5某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面中面積最大的是()A8 B6 C10 D8解：由三視圖可知，該幾何體的四個面都是直角三角形，面積分別為6，6，8，10，所以面積最大的是10.故選C.6如圖，正方形OABC的邊長為1 cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是()A8 cm B6 cmC2(1) cm D2(1) cm解：根據(jù)直觀圖的畫法可知，在原幾何圖形中，OABC為平行四邊形，且有OBOA，OB2，OA1，所以AB3.從而原圖的周長為8.故選A.7一個幾何體的正視圖為一個三角形，則這個幾何體可能是下列幾何體中的_(填入所有可能的幾何體前的編號)三棱錐 四棱錐 三棱柱 四棱柱 圓錐 圓柱解：三棱錐、四棱錐和圓錐顯然合要求，當(dāng)三棱柱的一個側(cè)面平行于水平面，底面對著觀測者時其正視圖是三角形，其余的正視圖均不是三角形故填.8有一枚正方體骰子，每一個面都有一個英文字母，如圖所示的是從3種不同角度看同一枚骰子的情況，則與H相對的字母是_解：正方體的骰子共有6個面，每個面都有一個字母，從每一個圖，都可看到有公共頂點的三個面，與標(biāo)有S的面相鄰的面共有四個，由這三個圖知這四個面分別標(biāo)有字母H，E，O，d，翻轉(zhuǎn)圖，使S面調(diào)整到正前面，則O為正下面，所以與H相對的是O.故填O.9如圖是截去一個角的長方體，試按圖示的方向畫出其三視圖解：圖中幾何體的三視圖如圖所示：10用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為116，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺的母線長解：設(shè)圓臺的母線長為l，截得圓臺的上、下底面半徑分別為r，4r.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，解得 l9.所以，圓臺的母線長為9cm.11在四棱錐P­ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，它們是腰長為6 cm的全等的等腰直角三角形(1)根據(jù)所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA的長度解：(1)該四棱錐的俯視圖為邊長為6 cm的正方形，如圖，其面積為36cm2.(2)在正方形ABCD中，易得AC6cm，因為PC面ABCD，所以PCAC.在RtACP中，PA6cm. 某長方體的一條體對角線長為，在該長方體的正視圖中，這條對角線的投影長為，在該長方體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條體對角線的投影長分別為a和b，求ab的最大值解：如圖，則有AC1，DC1，BC1a，ACb，設(shè)ABx，ADy，AA1z，有x2y2z27，x2z26，所以y21.因為a2y2z2z21，b2x2y2x21，所以a，b.所以ab4，當(dāng)且僅當(dāng)z21x21，即xz時，ab的最大值為4.82空間幾何體的表面積與體積考點梳理1柱體、錐體、臺體的表面積(1)直棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積S直棱柱側(cè)_，S正棱錐側(cè)_，S正棱臺側(cè)_(其中C，C為底面周長，h為高，h為斜高)(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積S圓柱側(cè)_，S圓錐側(cè)_，S圓臺側(cè)_(其中r，r為底面半徑，l為母線長)(3)柱或臺的表面積等于_與_的和，錐體的表面積等于_與_的和2柱體、錐體、臺體的體積(1)棱柱、棱錐、棱臺的體積V棱柱_，V棱錐_，V棱臺_(其中S，S為底面積，h為高)(2)圓柱、圓錐、圓臺的體積V圓柱_，V圓錐_，V圓臺_(其中r，r為底面圓的半徑，h為高)3球的表面積與體積(1)半徑為R的球的表面積S球_(2)半徑為R的球的體積V球_.自查自糾1(1)ChChh(2)2rlrl(rr)l(3)側(cè)面積兩個底面積側(cè)面積一個底面積2(1)ShShh(2)r2hr2hh3(1)4R2(2)R3基礎(chǔ)自測 已知圓錐的正視圖是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐體積為()A. B. C. D.解：易知圓錐的底面直徑為2，母線長為2，則該圓錐的高為，因此其體積是·12×.故選C. (2020·天津)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為()A. B3 C9 D27解：由正方體的表面積為18，得正方體的棱長為.設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則2R3，R，所以這個球的體積為R3×.故選A. (2020·全國卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()A17 B18 C20 D28解：由三視圖知，該幾何體是個球，設(shè)球的半徑為R，則V×R3，解得R2，所以它的表面積是×4×22××2217.故選A. (2020·全國卷)長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為_解：長方體的體對角線長為，記長方體的外接球的半徑為R，則有2R，R，因此球O的表面積等于4R214.故填14. (2020·江蘇)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是_解：設(shè)球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r、高為2r，所以.故填.類型一空間多面體的面積問題(2020·全國卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()A1836 B5418C90 D81解：由三視圖可得該幾何體是平行六面體，上下底面是邊長為3的正方形，故面積都是9，前后兩個側(cè)面是平行四邊形，一邊長為3，該邊上的高為6，故面積都為18，左右兩個側(cè)面是矩形，邊長為3和3，故面積都為9，則該幾何體的表面積為2(9189)5418.故選B.【點撥】求解多面體的表面積，關(guān)鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩形，棱錐中的直角三角形，棱臺中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元素間的關(guān)系，通過建立未知量與已知量間的關(guān)系，進行求解若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其表面積等于_解：由正視圖可知此三棱柱是一個底面邊長為2的正三角形、側(cè)棱為1的直三棱柱則此三棱柱的側(cè)面積為2×1×36，上、下底面面積都為×22，所以此三棱柱的表面積為62.故填62.類型二空間旋轉(zhuǎn)體的面積問題幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_解：先根據(jù)三視圖還原該幾何體的形狀，如圖所示，則該幾何體的表面積為圓錐的側(cè)面積S1、圓臺的側(cè)面積S2以及底面積S3的和因為S1·2·2·36，S2×3，S3·，所以SS1S2S36.故填.【點撥】先通過三視圖分析幾何體的構(gòu)成，再找計算面積所必備的量，如高、半徑等(2020·陜西)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A3 B4 C24 D34解：該幾何體為半圓柱，底面半徑為1，高為2，其表面積為×122×2×2×1×234.故選D.類型三空間多面體的體積問題如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且ADE，BCF均為正三角形，EFAB，EF2，則該多面體的體積為()A. B. C. D.解：如圖，過A，B兩點分別作AM，BN垂直于EF，垂足分別為M，N，連接DM，CN，可證得DMEF，CNEF，則多面體ABCDEF分為三部分，即多面體的體積VABCDEFVAMD­BNCVE­AMDVF­BNC.依題意知AEFB為等腰梯形易知RtDMERtCNF，所以EMNF.又BF1，所以BN.作NH垂直于BC，則H為BC的中點，所以NH.所以SBNC·BC·NH.所以VF­BNC·SBNC·NF，VE­AMDVF­BNC，VAMD­BNCSBNC·MN.所以VABCDEF，故選A.【點撥】求空間幾何體體積的常用方法為割補法和等積變換法：割補法：將這個幾何體分割成幾個柱體、錐體，分別求出柱體和錐體的體積，從而得出要求的幾何體的體積；等積變換法：特別的，對于三棱錐，由于其任意一個面均可作為棱錐的底面，從而可選擇更容易計算的方式來求體積；利用“等積性”還可求“點到面的距離”已知過三棱臺上底面的一邊與一條側(cè)棱平行的一個截面，它的兩個頂點是下底面兩邊的中點，棱臺被分成兩部分的體積分別為V1，V2(V1V2)，則V1V2_.解：設(shè)棱臺上底面ABC的面積為S，棱臺的高為h.由題意可知：ABCDBE.因為DBEABC，D，E分別是AB，BC的中點，所以.所以SABC4S.所以V臺ABC­ABCh·(S4S)h·7Sh·S.又因為V柱DBE­ABCS·h，所以V1V234.故填34.類型四空間旋轉(zhuǎn)體的體積問題已知球的外切圓臺上、下底面的半徑分別為r，R，求圓臺的體積解：如圖，圖是該幾何體的直觀圖，圖是該幾何體的軸截面平面圖圓臺軸截面為等腰梯形，與球的大圓相切，根據(jù)切線長定理，ACAO1，BOBC，得梯形腰長為Rr，梯形的高即球的直徑長為OO12，所以，球的半徑為，圓臺的體積V×2(r2rRR2)(r2rRR2)【點撥】圓臺和球的組合體，需要將球的外切圓臺用直觀圖和軸截面圖表示出來，借助于圓外接四邊形的性質(zhì)，特別是外接四邊形是等腰梯形時，還要運用平面幾何知識將內(nèi)切球的半徑求出來(2020·全國卷)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A B. C. D.解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r212，所以，圓柱的體積V×1，故選B.點撥1幾何體的展開與折疊(1)幾何體的表面積，除球以外，一般都是利用展開圖求得的，利用空間問題平面化的思想，把一個平面圖形折疊成一個幾何體，再研究其性質(zhì)，是考查空間想象能力的常用方法(2)多面體的展開圖直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形；正棱錐的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形；正棱臺的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形(3)旋轉(zhuǎn)體的展開圖圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，矩形的長(或?qū)?是底面圓周長，寬(或長)是圓柱的母線長；圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的半徑長是圓錐的母線長，弧長是圓錐的底面周長；圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長分別為圓臺的上、下底面周長注：圓錐和圓臺的側(cè)面積公式S圓錐側(cè)cl和S圓臺側(cè)(cc)l與三角形和梯形的面積公式在形式上相同，可將二者聯(lián)系起來記憶2空間幾何體的表面積的計算方法有關(guān)空間幾何體的表面積的計算通常是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，這是解決立體幾何問題常用的基本方法(1)計算棱柱、棱錐、棱臺等多面體的表面積，可以分別求各面面積，再求和，對于直棱柱、正棱錐、正棱臺也可直接利用公式；(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算其側(cè)面積時需將曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和；(3)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理3空間幾何體的體積的計算方法(1)計算柱、錐、臺體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面，特別是軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解(2)注意求體積的一些特殊方法：分割法、補體法、還臺為錐法、等積變換法(如求三棱錐的體積可靈活變換頂點與底面)等，它們是計算一些不規(guī)則幾何體體積常用的方法，應(yīng)熟練掌握(3)利用三棱錐的“等體積性”可以解決一些點到平面的距離問題，即將點到平面的距離視為一個三棱錐的高，通過將其頂點和底面進行轉(zhuǎn)化，借助體積的不變性解決問題課時作業(yè)1某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為()A B2 C3 D4解：由三視圖可知，該幾何體為半徑為r1的半球體，表面積為底面圓面積加上半球面的面積，所以Sr2×4r2×12×4×123.故選C.2已知某三棱錐的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該三棱錐的體積是()A1 cm3 B2 cm3 C3 cm3 D6 cm3解：由圖可知三棱錐底面積S×1×21(cm2)，三棱錐的高h3 cm，根據(jù)三棱錐體積公式，VSh×1×31(cm3)故選A.3如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為()A6 B9 C12 D18解：由三視圖可推知，幾何體的直觀圖如圖所示，可知AB6，CD3，PC3，CD垂直平分AB，且PC平面ACB，故所求幾何體的體積為××39.故選B.4如圖是一個幾何體的三視圖，其中正視圖和側(cè)視圖都是一個兩底長分別為2和4，腰長為4的等腰梯形，則該幾何體的側(cè)面積是()A6 B12 C18 D24解：由三視圖知，該幾何體為一母線長等于4，上、下底底面半徑分別為1和2的圓臺所以S側(cè)×4(12)12.故選B.5如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器厚度，則球的體積為()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3解：由球的性質(zhì)得，球在正方體上口所截的圓的直徑為8，球心到截面圓的距離為R2，則R2(R2)242，解得R5，所以球的體積V球R3(cm3)故選A.6(2020·全國卷)已知A，B是球O的球面上兩點，AOB90°，C為該球面上的動點若三棱錐O­ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A36 B64 C144 D256解：如圖所示，當(dāng)OC面OAB時，三棱錐O­ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，則VO­ABCVC­AOB×R2×RR336，得R6，所以球O的表面積S4R2144.故選C.7正四棱臺的側(cè)棱長為3 cm，兩底面邊長分別為1 cm和5 cm，則正四棱臺的體積為_解：正四棱臺ABCD­A1B1C1D1如圖，O1，O是兩底面的中心，因為A1C1，AC5，所以A1O1，AO.所以O(shè)1O1.體積×1×1252×(1255)(cm3)故填.8如圖，半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長為，則球的表面積和體積分別為_，_.解：底面中心與C連線即為半徑，設(shè)球的半徑為R，則R2()2()29.所以R3，所以S球4R236，V球R336.故填36；36.9已知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，且面積為S，求圓錐的底面面積解：如圖所示，設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，由題意得 解得r.所以底面積為r2×.10(2020·廣西南寧二中高三月考)如圖為某幾何體的三視圖，求該幾何體的表面積解：由三視圖可知，該幾何體為一個四棱錐，如圖所示，CD面PAD，BA面PAD，PAAD，PAADCD2，AB1，PC2，PB，BC，所以SPBC×2×.則該幾何體的表面積S×2×1×2×2×2×262.11(2020·全國卷)如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)證明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AEEC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比解：(1)證明：取AC的中點O，連接DO，BO.因為ADCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.從而AC平面DOB，故ACBD.(2)連接EO.由(1)及題設(shè)知ADC90°，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90°.由題設(shè)知AEC為直角三角形，所以EOAC.又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD.故E為BD的中點，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積為，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為11. (2020·全國卷)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐當(dāng)ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_解：如圖，連接OD交BC于點G，由題意知，ODBC.易得OGBC，所以O(shè)G的長度與BC的長度成正比設(shè)OGx，則BC2x，DG5x，SABC2x·3x·3x2，則所得三棱錐的體積V×3x2×x2××.令f(x)25x410x5，x，則f(x)100x350x4，令f(x)>0，即x42x3<0，得0<x<2，則當(dāng)x時，f(x)f(2)80，所以V×4.所以所求三棱錐的體積的最大值為4.故填4.