【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第2講　直接證明與間接證明教案 理 新人教版

第2講直接證明與間接證明【2020年高考會這樣考】1在歷年的高考中，證明方法是?？純?nèi)容，考查的主要方式是對它們原理的理解和用法難度多為中檔題，也有高檔題2從考查形式上看，主要以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程、數(shù)列等知識為載體，考查綜合法、分析法、反證法等方法【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】在備考中，對本部分的內(nèi)容，要抓住關(guān)鍵，即分析法、綜合法、反證法，要搞清三種方法的特點，把握三種方法在解決問題中的一般步驟，熟悉三種方法適用于解決的問題的類型，同時也要加強訓(xùn)練，達到熟能生巧，有效運用它們的目的基礎(chǔ)梳理1直接證明(1)綜合法定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法框圖表示：(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證的結(jié)論)(2)分析法定義：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止這種證明方法叫做分析法框圖表示：.2間接證明一般地，由證明pq轉(zhuǎn)向證明：綈qrt.t與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾從而判定綈q為假，推出q為真的方法，叫做反證法一個關(guān)系綜合法與分析法的關(guān)系分析法與綜合法相輔相成，對較復(fù)雜的問題，常常先從結(jié)論進行分析，尋求結(jié)論與條件、基礎(chǔ)知識之間的關(guān)系，找到解決問題的思路，再運用綜合法證明，或者在證明時將兩種方法交叉使用兩個防范(1)利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時，要假設(shè)結(jié)論錯誤，并用假設(shè)命題進行推理，沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的(2)用分析法證明數(shù)學(xué)問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個明顯成立的結(jié)論P，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)p，q·(m、n、a、b、c、d均為正數(shù))，則p、q的大小為()Apq Bpq Cpq D不確定解析q p，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號答案B2設(shè)alg 2lg 5，bex(x0)，則a與b大小關(guān)系為()Aab BabCab Dab解析alg 2lg 51，bex，當(dāng)x0時，0b1.ab.答案A3否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時，正確的反設(shè)為()Aa，b，c都是奇數(shù)Ba，b，c都是偶數(shù)Ca，b，c中至少有兩個偶數(shù)Da，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)解析a，b，c恰有一個偶數(shù)，即a，b，c中只有一個偶數(shù)，其反面是有兩個或兩個以上偶數(shù)或沒有一個偶數(shù)即全都是奇數(shù)，故只有D正確答案D4(2020·廣州調(diào)研)設(shè)a、bR，若a|b|0，則下列不等式中正確的是()Aba0 Ba3b30 Ca2b20 Dba0解析a|b|0，|b|a，a0，aba，ba0.答案D5在用反證法證明數(shù)學(xué)命題時，如果原命題的否定事項不止一個時，必須將結(jié)論的否定情況逐一駁倒，才能肯定原命題的正確例如：在ABC中，若ABAC，P是ABC內(nèi)一點，APBAPC，求證：BAPCAP，用反證法證明時應(yīng)分：假設(shè)_和_兩類答案BAPCAPBAPCAP考向一綜合法的應(yīng)用【例1】設(shè)a，b，c0，證明：abc.審題視點 用綜合法證明，可考慮運用基本不等式證明a，b，c0，根據(jù)均值不等式，有b2a，c2b，a2c.三式相加：abc2(abc)當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號即abc. 綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法，即由已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的等式或不等式成立因此，綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Чㄆ溥壿嬕罁?jù)是三段論式的演繹推理方法，這就要保證前提正確，推理合乎規(guī)律，才能保證結(jié)論的正確性【訓(xùn)練1】 設(shè)a，b為互不相等的正數(shù)，且ab1，證明：4.證明·(ab)2224.又a與b不相等故4.考向二分析法的應(yīng)用【例2】已知m0，a，bR，求證：2.審題視點 先去分母，合并同類項，化成積式證明m0，1m0.所以要證原不等式成立，只需證明(amb)2(1m)(a2mb2)，即證m(a22abb2)0，即證(ab)20，而(ab)20顯然成立，故原不等式得證 逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵【訓(xùn)練2】 已知a，b，m都是正數(shù)，且ab.求證：.證明要證明，由于a，b，m都是正數(shù)，只需證a(bm)b(am)，只需證ambm，由于m0，所以，只需證ab.已知ab，所以原不等式成立(說明：本題還可用作差比較法、綜合法、反證法)考向三反證法的應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)ax(a1)(1)證明：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)(2)用反證法證明f(x)0沒有負根審題視點 第(1)問用單調(diào)增函數(shù)的定義證明；第(2)問假設(shè)存在x00后，應(yīng)推導(dǎo)出x0的范圍與x00矛盾即可證明(1)法一任取x1，x2(1，)，不妨設(shè)x1x2，則x2x10，ax2x11，且ax10.所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因為x110，x210，所以0，于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)法二f(x)axln a0，f(x)在(1，)上為增函數(shù)(2)假設(shè)存在x00(x01)滿足f(x0)0，則ax0，又0ax01，所以01，即x02，與x00(x01)假設(shè)矛盾故f(x0)0沒有負根 當(dāng)一個命題的結(jié)論是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是：與已知條件矛盾；與假設(shè)矛盾；與定義、公理、定理矛盾；與事實矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器【訓(xùn)練3】 已知a，b為非零向量，且a，b不平行，求證：向量ab與ab不平行證明假設(shè)向量ab與ab平行，即存在實數(shù)使ab(ab)成立，則(1)a(1)b0，a，b不平行，得所以方程組無解，故假設(shè)不成立，故原命題成立規(guī)范解答24怎樣用反證法證明問題【問題研究】 反證法是主要的間接證明方法，其基本特點是反設(shè)結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，當(dāng)問題從正面證明無法入手時，就可以考慮使用反證法進行證明.在高考中，對反證法的考查往往是在試題中某個重要的步驟進行.【解決方案】 首先反設(shè)，且反設(shè)必須恰當(dāng)，然后再推理、得出矛盾，最后肯定.【示例】(本題滿分12分)(2020·安徽)設(shè)直線l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中實數(shù)k1，k2滿足k1k220.(1)證明l1與l2相交；(2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2y21上 第(1)問采用反證法，第(2)問解l1與l2的交點坐標(biāo)，代入橢圓方程驗證解答示范 證明(1)假設(shè)l1與l2不相交，則l1與l2平行或重合，有k1k2，(2分)代入k1k220，得k20.(4分)這與k1為實數(shù)的事實相矛盾，從而k1k2，即l1與l2相交(6分)(2)由方程組解得交點P的坐標(biāo)(x，y)為(9分)從而2x2y22221，此即表明交點P(x，y)在橢圓2x2y21上(12分) 用反證法證明不等式要把握三點：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；(2)必須從否定結(jié)論進行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進行推證；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實矛盾等，但是推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的【試一試】 已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列嘗試解答(1)當(dāng)n1時，a1S12a12，則a11.又anSn2，所以an1Sn12，兩式相減得an1an，所以an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以an.(2)反證法：假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列，記為ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，則2·，所以2·2rq2rp1.又因為pqr，所以rq，rpN*.所以式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立，所以假設(shè)不成立，原命題得證