2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七講 函數(shù)的奇偶性與周期性 新人教版

第七講函數(shù)的奇偶性與周期性班級(jí)_姓名_考號(hào)_日期_得分_一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi))1定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)·f(x2)13，f(1)2，則f(99)()A13B2C. D.解析：由f(x)·f(x2)13，知f(x2)·f(x4)13，所以f(x4)f(x)，即f(x)是周期函數(shù)，周期為4.所以f(99)f(34×24)f(3).答案：C2(精選考題·鄭州)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)于任意，R，總有f()f()f()精選考題，則下列說法正確的是()Af(x)1是奇函數(shù)Bf(x)1是奇函數(shù)Cf(x)精選考題是奇函數(shù)Df(x)精選考題是奇函數(shù)解析：依題意，取0，得f(0)精選考題；取x，x，得f(0)f(x)f(x)精選考題，f(x)精選考題f(x)f(0)f(x)精選考題，因此函數(shù)f(x)精選考題是奇函數(shù)，選D.答案：D3設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，已知x(0,1)時(shí)，f(x)log(1x)，則函數(shù)f(x)在(1,2)上()A是增函數(shù)，且f(x)<0B是增函數(shù)，且f(x)>0C是減函數(shù)，且f(x)<0D是減函數(shù)，且f(x)>0解析：由題意得當(dāng)x(1,2)時(shí)，0<2x<1,0<x1<1，f(x)f(x)f(2x)log1(2x)log(x1)>0，則可知當(dāng)x(1,2)時(shí)，f(x)是減函數(shù)，選D.答案：D4設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)是單調(diào)函數(shù)，則滿足f(x)f的所有x之和為()A3 B3C8 D8解析：因?yàn)閒(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且x>0時(shí)是單調(diào)函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)可知若f(x)f，只有兩種情況：x；x0.由知x23x30，故兩根之和為x1x23.由知x25x30，故其兩根之和為x3x45.因此滿足條件的所有x之和為8.答案：C5已知奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)，且最小值為5，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間7，3上()A是增函數(shù)且最小值為5B是增函數(shù)且最大值為5C是減函數(shù)且最小值為5D是減函數(shù)且最大值為5解析：f(x)為奇函數(shù)，f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(x)在3,7上是增函數(shù)，f(x)在7，3上也是增函數(shù)f(x)在3,7上的最小值為5，由圖可知函數(shù)f(x)在7，3上有最大值5.答案：B評(píng)析：本題既涉及到函數(shù)的奇偶性，又涉及到函數(shù)的單調(diào)性，還涉及到函數(shù)的最值，是一道綜合性較強(qiáng)的題目，由于所給的函數(shù)沒有具體的解析式，因此我們畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上的示意圖，由圖形易得結(jié)論6(精選考題·新課標(biāo)全國)設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)x38(x0)，則x|f(x2)>0()Ax|x<2或x>4 Bx|x<0或x>4Cx|x<0或x>6 Dx|x<2或x>2解析：當(dāng)x<0時(shí)，x>0，f(x)(x)38x38，又f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)x38，f(x).f(x2)，或，解得x>4或x<0.故選B.答案：B二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上)7(精選考題·江蘇)設(shè)函數(shù)f(x)x(exaex)(xR)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：設(shè)g(x)x，h(x)exaex，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)x是奇函數(shù)，則由題意知，函數(shù)h(x)exaex為奇函數(shù)，又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，h(0)0，解得a1.答案：18已知函數(shù)f(x1)是奇函數(shù)，f(x1)是偶函數(shù)，且f(0)2，則f(4)_.解析：依題意有f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，所以f(4)f(3)1)f(2)f(11)f(0)2.答案：29(精選考題·湖北八校)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域、值域分別為A、B，且AB是單元集，下列命題若ABa，則f(a)a；若B不是單元集，則滿足ff(x)f(x)的x值可能不存在；若f(x)具有奇偶性，則f(x)可能為偶函數(shù)；若f(x)不是常數(shù)函數(shù)，則f(x)不可能為周期函數(shù)其中，正確命題的序號(hào)為_解析：如f(x)x1，A1,0，B0,1滿足AB0，但f(0)0，且滿足ff(x)f(x)的x可能不存在，錯(cuò)，正確；如，f(x)1，AR，B1，則f(x)1，AR是偶函數(shù)，正確；如f(x)x2k1，A2k1,2k，B0,1，kZ，f(x)是周期函數(shù)，但不是常數(shù)函數(shù)，所以錯(cuò)誤答案：10對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x)，有下述四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)為_若f(x)是奇函數(shù)，則f(x1)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱；若對(duì)xR，有f(x1)f(x1)，則yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱；若函數(shù)f(x1)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，則f(x)為偶函數(shù)；函數(shù)yf(1x)與函數(shù)yf(1x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱解析：f(x1)的圖象是由f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位而得到，又f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x1)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱，故正確；由f(x1)f(x1)可知f(x)的周期為2，無法判斷其對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤；f(x1)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，則f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱，故f(x)為偶函數(shù)，正確；yf(1x)的圖象是由yf(x)的圖象向左平移一個(gè)單位后得到，yf(1x)是由yf(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱后再向右平移一個(gè)單位而得到，兩者圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故錯(cuò)誤答案：三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟)11已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1)求a、b的值；(2)若對(duì)任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范圍分析：(1)由f(0)0可求得b，再由特殊值或奇函數(shù)定義求得a；(2)先分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)f，然后用判別式解決恒成立問題解：(1)因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)0，即0b1，所以f(x)，又由f(1)f(1)知a2.(2)由(1)知f(x)，易知f(x)在(，)上為減函數(shù)又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式：f(t22t)f(2t2k)<0等價(jià)于f(t22t)<f(2t2k)f(k2t2)，因f(x)為減函數(shù)，由上式推得：t22t>k2t2，即對(duì)tR有：3t22tk>0，從而412k<0k<.12設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y，都有f(xy)f(x)f(y)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，求證：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(，)上是減函數(shù)證明：(1)令xy0，得f(0)f(0)f(0)，f(0)0.再令yx，得f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)(2)設(shè)x1、x2(，)且x1x2，則x2x10，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，f(x2x1)0.又對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(xy)f(x)f(y)且f(x)為奇函數(shù)，f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，f(x)在(，)上是減函數(shù)13設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f(x1x2)；存在正常數(shù)a，使f(a)1.求證：(1)f(x)是奇函數(shù)；(2)f(x)是周期函數(shù)，并且有一個(gè)周期為4a.證明：(1)不妨令xx1x2，則f(x)f(x2x1)f(x1x2)f(x)f(x)是奇函數(shù)(2)要證f(x4a)f(x)，可先計(jì)算f(xa)，f(x2a)，f(xa)fx(a)，(f(a)1)f(x2a)f(xa)a.f(x4a)f(x2a)2af(x)故f(x)是以4a為周期的周期函數(shù)