2020年高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專題03 二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)

2020年高考數(shù)學(xué) 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專題03 二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)2已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)=2x-x2(1)求f(x)的解析式； (2)是否存在實(shí)數(shù)a、b(ab)使f(x)在a，b上的值域?yàn)?若存在，求a和b，若不存在，說(shuō)明理由x1=-1,x2=-,x3=(舍)，a=-,b=-1.綜合,知存在實(shí)數(shù)a,b,使f(x)在a,b上的值域?yàn)?，有a=1,b=或a=-1或b-.3.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=-bx,其中a、b、cR，且滿足abc,f(1)=0.(1)證明：函數(shù)f(x)與g(x)的圖像交于不同的兩點(diǎn)A、B;(2)若函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在2，3上的最小值為9，最大值為21，試求a、b的值.(3)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長(zhǎng)的取值范圍.難點(diǎn) 2 三個(gè)“二次”的綜合問(wèn)題1.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a，bR，且a>0)，設(shè)方程f(x)=x的兩個(gè)實(shí)根為x1和x2，(1)如果x12<x2<4，且函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=x0，求證：x0>-1(2)如果|x1|2,|x2-x1|=2,求b的取值范圍2設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a，b，cR，a0)滿足條件：當(dāng)xR,f(x-4)=f(2-x)，且f(x)x；當(dāng)x(0，2)時(shí),f(x)；f(x)在R上的最小值為0 (1)求f(x)的表達(dá)式； (2)求最大的m(m1)，使得存在tR，只要x就有f(x+t)x恒成立3已知f(x)=ax2+2bx+4c(a、b、cR) (1)當(dāng)a0時(shí)，若函數(shù)f(x)的圖像與直線y=±x均無(wú)公共點(diǎn)，求證：4ac-b2. (2)若a+c=0,f(x)在-2，2上的最大值為，最小值為-求證：2 (3)當(dāng)b=4，c=時(shí)，對(duì)于給定負(fù)數(shù)a，有一個(gè)最大正數(shù)M(a)使得x0，M(a)時(shí)都有|f(x)|5，問(wèn)a為何值時(shí)，M(a)最大，并求出這個(gè)最大值M(a)證明你的結(jié)論 (4)若f(x)同時(shí)滿足下列條件a>0；當(dāng)|x|2時(shí)，有|f(x)|2；當(dāng)|x|1時(shí),f(x)最大值為2，求f(x)的解析式M(a)=難點(diǎn)3 含參數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題 1已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，當(dāng)點(diǎn)(x，y)在y=f(x)圖像上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P( ,2y)在函數(shù)y=g(x)的圖像上運(yùn)動(dòng) (1)求y=g(x)的解析式； (2)當(dāng)t=4，且x0，1時(shí)，求g(x)-f(x)的最小值；(3)若在x0，1時(shí)恒有g(shù)(x)f(x)成立，求t的取值范圍 (3)由g(x)>f(x)，即2log2(2x+t)>log2(x+1)，在x0，1時(shí)恒成立，即(x)=4x2+4(t-1)x+t2-1>0在0，1上恒成立即即1t或t綜合，得t>1即滿足條件t的取值范圍是(1，+)2設(shè)函數(shù)f(x)=ax+3a(a0且a1)的反函數(shù)為y=f-1(x)，已知函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f-1(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱 (1)求函數(shù)y=g(x)的解析式； (2)是否存在實(shí)數(shù)a，使當(dāng)xa+2，a+3時(shí)，恒有|f-1(x)-g(-x)|1成立?若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用 1(2020模擬題精選)已知向量a=(x2，x+1)，b=(1-x，t)若函數(shù)f(x)=ab在區(qū)間(-1，1)上是增函數(shù)，求t 的取值范圍由,得a=1.3已知函數(shù)f(x)的二項(xiàng)式系數(shù)為a，且不等式f(x)>-2x的解集為(1，3) (1)若方程f(x)+6a=0有兩個(gè)相等的根，求f(x)的解 (2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍【特別提醒】利用二次函數(shù)圖像可以求解一元二次不等式和討論一元二次方程的實(shí)根分布情況，還可以討論二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值對(duì)于根的分布問(wèn)題，一般需從三個(gè)方面考慮：判別式；區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)；對(duì)稱軸x=-與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系另外，對(duì)于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值要抓住頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)與閉區(qū)間的相對(duì)位置確定二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.【變式探究】 1 若函數(shù)f(x)=x2+bx+c 對(duì)任意實(shí)數(shù)f(1+x)=f(-x)，則下面不等關(guān)系成立的是 ( )Af(2)>f(0)>f(-2)Bf(-2)f(2)(0)Cf(0)f(-2)f(2)D. f(-2)f(0)>f(2) 3 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(1，bR)(1)若f(-1)=0，則對(duì)任意實(shí)數(shù)均有f(x)0成立，求f(x)的表達(dá)式4 已知二次函數(shù)f(x)=(lga)x2+2x+4lga的最大值為3，求a的值答案：解析：原函數(shù)式可化為f(x)=lga由已知，f(x)有最大值3，lga<0并且整理得4（lga）2-3lga-1=0解得lga=1,lga=易錯(cuò)點(diǎn)2 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用 1(2020模擬題精選)函數(shù)y=elnx-|x-1|的圖像大致是 ( )2(2020模擬題精選)在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)0<x1<x2<1，使f>恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是 ( )A.0 B1 C2 D33(2020模擬題精選)若函數(shù)f(x)=loga(2x2+x)(a>0且a1)在區(qū)間(0, )內(nèi)恒有f(x)>0，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ( )A.(-，-) B(-，+)C(0，+) D(-，-)【錯(cuò)誤答案】 選A或C【錯(cuò)解分析】 選A，求f(x)的單調(diào)區(qū)間時(shí)沒(méi)有考慮函數(shù)定義域?qū)е洛e(cuò)誤；選C，求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)沒(méi)有注意內(nèi)、外層函數(shù)均遞減時(shí)，原函數(shù)才是增函數(shù)事實(shí)上 (0，+)是f(x)的遞減區(qū)間【正確解答】 D f(x)=loga(2x2+x)(a>0且a1)在區(qū)間(0，)內(nèi)恒有f(x)>0，若a>1，則由f(x)>0 x>或x<-1與題設(shè)矛盾.0<a<1設(shè)(x)= 2x2+x=2(x+)2-.(x)>0x>0 (2)解法1 由m-f-1(x)+ln(f(x)<0得-ln+ln(ex-a)<m<ln(ex-a)+ln即對(duì)于xln(3a)，ln(4a)恒有<em 設(shè)t=ex，u(t)=，v(t)=，于是不等式化為u(t)<em<v(t)，t3a，4a當(dāng)t1<t2,t1,t23a，4a時(shí)u(t2)-u(t1)=-=0.【特別提醒】論由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，首先要弄清復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，然后轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單調(diào)性加以解決，注意不可忽視定義域，忽視指數(shù)和對(duì)數(shù)的底數(shù)對(duì)它們的圖像和性質(zhì)起的作用.【變式探究】1 已知函數(shù)f(x)=(ex+e2-x)(x<1)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則 ( )Af-1()<f-1() Bf-1()f-1()C.f-1()<f-1(2) D.f-1()f-1(2) 答案： D解析：f(x)=2 已知f(x)=ax+loga(x+1)在0，1上的最大值與最小值之和為a，則a的值為 ( )A. B. C2 D4 答案： B解析：f(x)=ax+loga(x+1)是單調(diào)遞增（減）函數(shù). (y=ax與y=loga(x+1)單調(diào)性相同).且在0，1的最值分別在端點(diǎn)處取得，最值之和：f(0)+f(1)=ao+loga1+log22=2, loga2+1=0, a=選B.3 對(duì)于0<a<1，給出下列四個(gè)不等式 ( )loga(1+a)loga(1+) loga(1+a)loga(1+) a1+a<a1+a>其中成立的是 ( )A.與 B.與 C.與 D與 答案： D 解析： 選D。4.已知函數(shù)f(x)=loga(-2)x+1在區(qū)間1，2上恒為正，求實(shí)數(shù)a的取值范圍答案：在區(qū)間1，2上使f(x)>0恒成立。解析：（1）當(dāng)a>1時(shí)，只要即與1矛盾. (2)當(dāng)0<a<1時(shí)，設(shè)g(x)=只要0<g(x)<1.a=時(shí)，g(x)=1f(x)=0不能使f(x)恒為正。當(dāng)0<a<時(shí)，當(dāng)易錯(cuò)點(diǎn) 3 函數(shù)的應(yīng)用 1(2020模擬題精選)某公司在甲，乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1=506x-015x2，和L2=2x，其中x為銷售量(單位：輛)若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤(rùn)為 ( )A45606 B456 C468 D468062甲方是一農(nóng)場(chǎng)，乙方是一工廠，由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤(rùn)x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿足函數(shù)關(guān)系x=2000，若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方S元(以下稱S為賠付價(jià)格)(1)將乙方的年利潤(rùn)W(元)表示為年產(chǎn)量t(噸)的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量(2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失余額y=0002t2.在乙方按照獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格S是多少?v=-.又v=-令v=0得S=20，當(dāng)S<20時(shí)，v>0；當(dāng)S>20時(shí)，v<0，S=20時(shí)，v取得最大值 因此甲方向乙方要求賠付價(jià)格S=20(元噸)時(shí)，獲得最大凈收入 3(2020模擬題精選)某段城鐵線路上依次有A，B，C三站，AB=5km，BC=3km在列車運(yùn)行時(shí)刻表上，規(guī)定列車8時(shí)整從A站發(fā)車，8時(shí)07分到達(dá)B站并停車1分鐘，8時(shí)12分到達(dá)C站，在實(shí)際運(yùn)行時(shí)，假設(shè)列車從A站正點(diǎn)發(fā)車，在B站停留1分鐘，并在行駛時(shí)以同一速度vkmh，勻速行駛，列車從A站到達(dá)某站的時(shí)間與時(shí)刻表上相應(yīng)時(shí)間之差的絕對(duì)值稱為列車在該站的運(yùn)行誤差(1)分別寫(xiě)出列車在B、C兩站的運(yùn)行誤差；(2)若要求列車在B，C兩站的運(yùn)行誤差之和不超過(guò)2分鐘，求v的取值范圍當(dāng)0<v時(shí)，(*)式變形為-7+-112，解得39v.當(dāng)v，(*)式變形為7-+-112，解得<v當(dāng)v>時(shí)，(*)式變形為7-+11-2，解得<v，綜上所述，v的取值范圍是39, 4(2020模擬題精選)某人在一山坡P處觀看對(duì)面山崖頂上的一座鐵塔如圖所示，塔及所在的山崖可視為圖中的豎直線OC，塔高BC=80(米)，山高OB=220(米)，OA=200(米)，圖中所示的山坡可視為直線l且點(diǎn)P在直線l上，l與水平地面的夾角為，tan=試問(wèn)，此人距山崖的水平距離多遠(yuǎn)時(shí)，觀看塔的視角BPC最大(不計(jì)此人的身高)?tan BPC= 設(shè)u=ux2-(288u-64)x+160×640u=0 u0xR.=(288u-64)2-4×160×640u20. 解得 u2當(dāng)u=2時(shí)，x=320即此人距山崖320米時(shí)，觀看鐵塔的視角BPC最大【錯(cuò)解分析】 上述解答過(guò)程中利用xR由判別式法求u的最大值是錯(cuò)誤的，因?yàn)閤當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)上式取得等號(hào)故當(dāng)x=320時(shí)tanBPC最大由此實(shí)際問(wèn)題知，0<BPC<，所以tanBPC最大時(shí)，BPC最大，故當(dāng)此人距山崖水平距離為320米時(shí)，觀看鐵塔的視角BPC最大 5(2020模擬題精選)某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本(即固定投入)為05萬(wàn)元，但每生產(chǎn)100件需要增加投入025萬(wàn)元，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的需要量為500件，銷售收入為函數(shù)為R(x)=5x-(0x5)，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位：百件)(1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)f(x)(2)年產(chǎn)量是多少時(shí)，當(dāng)年公司所得利潤(rùn)最大?(3)年產(chǎn)量是多少時(shí)，當(dāng)年公司不虧本?(取=465)【特別提醒】與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題經(jīng)常涉及到物價(jià)、路程、產(chǎn)值、環(huán)保、稅收、市場(chǎng)信息等實(shí)際問(wèn)題，也可涉及角度、面積、體積、造價(jià)的最優(yōu)化問(wèn)題，解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是建立相關(guān)函數(shù)的解析式，然后應(yīng)用函數(shù)知識(shí)加以解決.在求得數(shù)學(xué)模型的解后應(yīng)回到實(shí)際問(wèn)題中去，看是否符合實(shí)際問(wèn)題.【變式探究】 1 把長(zhǎng)為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是 ( )Acm2 B.4cm2C3cm2 D.2cm2 答案： D解析：S=2 將一張2mx6m的硬鋼板按圖紙的要求進(jìn)行操作，沿線裁去陰影部分，把剩余部分按要求焊接成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體水箱(其中與、與分別是全等的矩形，且+=)，設(shè)水箱的高為xm，容積為ym3) (1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；3 (2020模擬題精選)某租賃公司擁有汽車100輛當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元 (1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車?5 (2020模擬題精選)如圖，在直線y=0和y=a(a>0)之間表示的是一條河流，河流的一側(cè)河岸(x軸)是一條公路，公路上的公交車站P(x，0)隨時(shí)都有公交車來(lái)往家住A(0，a)的某學(xué)生在位于公路上B(2a，0)處的學(xué)校就讀，每天早晨學(xué)生都要從家出發(fā),可以先乘船渡河到達(dá)公路上公交車站，再乘公交車去學(xué)校，或者直接乘船渡河到達(dá)公路上B(2a，0)處的學(xué)校已知船速為v0(v00)，車速為2v0(水流速度忽略不計(jì)) ()設(shè)該學(xué)生從家出發(fā)，先乘船渡河到達(dá)公路上的站P(x，0)，再乘公交車去學(xué)校，請(qǐng)用x來(lái)表示他所用的時(shí)間t； 答案：設(shè)該學(xué)生從家出發(fā)，先乘船渡河到達(dá)公路上的車站P(x,0),再乘公交車去學(xué)校，則他所用的時(shí)間t=f(x)=()若xa，請(qǐng)問(wèn)該學(xué)生選擇哪種上學(xué)方式更加節(jié)約時(shí)間，并說(shuō)明理由(取=1414，=2236)答案：若該學(xué)生選擇先乘船渡河到達(dá)公路上的車站p(x,0),再乘公交車去學(xué)校，則他所用的時(shí)間為2 已知f(x)=，則下列正確的是 ( )A.奇函數(shù)，在R上為增函數(shù)B.偶函數(shù)，在R上為增函數(shù)C.奇函數(shù)，在R上為減函數(shù)D.偶函數(shù)，在R上為減函數(shù) 答案： A解析：函數(shù)f(x)=3 若不等式x2+2x+a-y2-2y對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( )Aa0 Ba1Ca2 Da3 答案： C解析：原不等式即為a2-x+12+(y+1)2恒成立，只需a大于或等于2-（x+1）2+(y+1)2的最大值為2，即a2.4 若函數(shù)f(x)=logax(0<a<1)在區(qū)間a，2a上的最大值是最小值的3倍，則a等于 ( )10 設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2bx+c(c<b<1),f(1)=0且方程f(x)+1=0有實(shí)根 (1)證明：-3<c-1且b0答案：解(1)f(1)=01+2b+c=0b=,又c<b<1,故c<-方程f(x)+1=0有實(shí)根,即x2+2bx+c+1=0有實(shí)根,故=4b2-4(c+1) 0,即(c+1)2-4(c+1) 0,解得c3或-1g(0)=c1.g(1)=a+b-1+c1.則13.校食堂改建一個(gè)開(kāi)水房，計(jì)劃用電爐或煤炭燒水，但用煤時(shí)也要用電鼓風(fēng)及時(shí)排氣，用煤燒開(kāi)水每噸開(kāi)水費(fèi)用S元，用電爐燒開(kāi)水每噸開(kāi)水費(fèi)用為P元，S=5m+08n+5，P=108n+20其中m為每噸煤的價(jià)格，n為每百度電的價(jià)格；如果燒煤時(shí)的費(fèi)用不超過(guò)用電爐時(shí)的費(fèi)用，則用煤燒水；否則就用電爐燒水 (1)如果兩種方法燒水費(fèi)用相同，試將每噸煤的價(jià)格表示為每百度電價(jià)的函數(shù)；