2020年高考數(shù)學(xué) 易錯點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專題02 函數(shù)和反函數(shù)

2020年高考數(shù)學(xué) 易錯點(diǎn)點(diǎn)睛與高考突破 專題02 函數(shù)和反函數(shù)1已知定義域?yàn)?，1)的函數(shù)f(x)同時滿足對任意x0，1，總有f(x)0；f(1)=1；若x10，x20，x1+x21，則有f(x1+x2)f(x1)+f(x2) (1)求f(0)的值； (2)求函數(shù)f(x)的最大值2設(shè)f(x)是定義在(0，+)上的函數(shù)，k是正常數(shù)，且對任意的x(0，+)，恒有ff(x)=kx成立若f(x)是(0，+)上的增函數(shù)，且k=1，求證：f(x)=x(2)對于任意的x1、x2(0，+)，當(dāng)x2>x1時，有f(x2)-f(x1)x2-x1成立，如果k=2，證明：難點(diǎn)2 綜合運(yùn)用函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性進(jìn)行命題 1設(shè)f(x)是定義在-1，1上的偶函數(shù)當(dāng)x-1，0時，f(x)=g(2-x)，且當(dāng)x2,3時，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3， (1)求f(x)的表達(dá)式；(2)是否存在正實(shí)數(shù)a(a6)，使函數(shù)f(x)的圖像的最高點(diǎn)在直線y=12上，若存在，求出正實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由【解析】 (1)運(yùn)用函數(shù)奇偶性和條件f(x)=g(2-x)可求得f(x)的解析式(2)利用導(dǎo)數(shù)可求得f(x)的最大值令最大值等于12可知是否存在正實(shí)數(shù)a【答案】 (1)當(dāng)x-1，0時，2-x2，3f(x)=g(2-x)=2a(-x)-4(-x)3=4x3-2ax得f(x)=4x3-2ax(x-1，0)2函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，且是周期為2的周期函數(shù)，當(dāng)x2，3時,f(x)=x-1在y=f(x)的圖像上有兩點(diǎn)A、B，它們的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)都在區(qū)間1，3上，定點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，a)，(其中a2)，求ABC面積的最大值當(dāng)>2，即a>3時，函數(shù)S在1，2上單調(diào)遞增，S有最大值S(2)=a-2難點(diǎn)3 反函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合1在R上的遞減函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)且僅當(dāng)xMR+函數(shù)值f(x)的集合為0，2且f()=1；又對M中的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)(1)求證：M，而M；(2)證明:f(x)在M上的反函數(shù)f-1(x)滿足f-1(x1)·f-1(x2)=f-1(x1+x2)(3)解不等式f-1(x2+x)·f-1(x+2)(x0，2)【解析】 由給定的函數(shù)性質(zhì)，證明自變量x是屬于還是不屬于集合"，最后利用反函數(shù)的概念、性質(zhì)證明反函數(shù)的一個性質(zhì)和解反函數(shù)的不等式【答案】 (1)證明：M，又=×,f()=1f()=f(×)=f()+f()=1+1=20，2， M，【學(xué)科思想與方法】2.函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合思想“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)這座高樓大廈的兩塊最重要的基石，二者在內(nèi)容上互相聯(lián)系、在方法上互相滲透、在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，而數(shù)形結(jié)合法正是在這一學(xué)科特點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的在解答選擇題的過程中，可以先根據(jù)題意，做出草圖，然后參照圖形的作法、形狀、位置、性質(zhì)，并綜合圖象的特征得出結(jié)論【例1】設(shè)函數(shù)g(x)x22(xR)，f(x)則f(x)的值域是()【變式】函數(shù)y的圖象與函數(shù)y2sin x(2x4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于()A2 B4 C6 D8解析：令1xt，則x1t.【易錯點(diǎn)點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)1 函數(shù)的定義域和值域 1(2020模擬題精選)對定義域Df、Dg的函數(shù)y=f(x)，y=g(x)，規(guī)定：函數(shù)h(x)=(1)若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2，寫出函數(shù)h(x)的解析式;(2)求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域【錯誤答案】 (1)f(x)的定義域Df為(-，1)(1，+)，g(x)的定義域Dg為2(2020模擬題精選)記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳，g(x)=lg(x-a-1)(2a-x)(a1)的定義域?yàn)锽.(1)求A；(2)若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍3(2020模擬題精選)記函數(shù)f(x)=lg(2x-3)的定義域?yàn)榧螹，函數(shù)g(x)=的定義域?yàn)榧螻求 集合M，N； 集合MNMN. x3或x<1N=x|x3或x<1【特別提醒】對于含有字母的函數(shù)求定義域或已知其定義域求字母參數(shù)的取值范圍，必須對字母酌取值情況進(jìn)行討論，特別注意定義域不能為空集。2求函數(shù)的值域，不但要重視對應(yīng)法則的作用，而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用【變式探究】1 若函數(shù)y=lg(4-a·2x)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( ) A(0，+) B(0，2)C(-，2) D(-，0) 答案：D 解析：4-a2 已知函數(shù)f(x)的值域是-2，3，則函數(shù)f(x-2)的值域?yàn)?( ) A-4，1 B0,5C-4，10，5 D-2，3 答案：D 解析：f(x-2)的圖象是把f(x)的圖象向右平移2個單位.因此f(x-2)的值域不變.3 已知函數(shù)f(x)=lg(x2-2mx+m+2)(1)若該函數(shù)的定義域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析：(1)由題設(shè)，得不等式x2-2mx+m+2>0對一切實(shí)數(shù)x恒成立，=（-2m）2-4(m+2)<0,解得-1<m<2.(2)若該函數(shù)的值域?yàn)镽，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍 答案：由題設(shè)，得不等式=（-2m）2-4(m+2) 0解得m1或m2.3.已知函數(shù)f(x)=log3的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，2，求實(shí)數(shù)m，n的值或 解得，aØ(2)若f(x)在-1，1上是單調(diào)遞減函數(shù)，則f(x)0在-1，1上恒成立exx2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立ex>0h(x)=x2+2(1-a)x-2a0在-1，1上恒成立則有 當(dāng)a，+時，f(x)在-1，1上是單調(diào)函數(shù)2(2020模擬題精選)已知函數(shù)f(x)=ax+(a1)(1)證明：函數(shù)f(x)在(-1，+)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根即不存在0x0>-1的解當(dāng)x0<-1時x0+10<0，-1+-1，而ax0>0矛盾即不存在x0<-1的解3(2020模擬題精選)若函數(shù)f(x)=l0ga(x3-ax)(a0且a1)在區(qū)間(-，0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 ( ) A.，1 B.，1 C.，+ D.(1，-) 【特別提醒】1.討論函數(shù)單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行，因此討論函數(shù)的單調(diào)性必須求函數(shù)定義域2函數(shù)的單調(diào)性是對區(qū)間而言的，如果f(x)在區(qū)間(a，b)與(c，d)上都是增(減)函數(shù)，不能說 f(x)在(a，b)(c，d)上一定是增(減)函數(shù)3設(shè)函數(shù)y=f(u)，u=g(x)都是單調(diào)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在其定義域上也是單調(diào)函數(shù)若y=f(u)與u=g(x)的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)是增函數(shù)；若y=f(u)，u=g(x)的單調(diào)性相反，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)是減函數(shù)列出下表以助記憶y=f(u)u=g(x)y=fg(x)上述規(guī)律可概括為“同性則增，異性則減”【變式探究】1 函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x都有f(x)<f(x+1)那么 ( )A.f(x)是增函數(shù)B.f(x)沒有單調(diào)減區(qū)間C.f(x)可能存在單調(diào)增區(qū)間，也可能不存在單調(diào)減區(qū)間Df(x)沒有單調(diào)增區(qū)間 答案：C 解析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義進(jìn)行判斷.2 函數(shù)y=(x2-3x+2)的單調(diào)增區(qū)間是_.單調(diào)遞減區(qū)間是_. 解析：(-,1),(2,+ )根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則進(jìn)行求解。3 如果函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對于任意實(shí)數(shù)a，b滿足f(a+b)=f(a)·f(b)(1)設(shè)f(1)=k(k0)，試求f(n)(nN*)解析(1)設(shè)當(dāng)x0時,f(x)1，試解不等式f(x+5).答案：(2)對任意的易錯點(diǎn)3 函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用1(2020模擬題精選)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2)，當(dāng)x3，4時,f(x)=x-2則 ( )Af(sin)f(cos) Bf(sin)f(cos)Cf(sin1)f(cos1) D.f(sin)f(cos)【錯誤答案】 A 由f(x)=f(x+2)知T=2為f(x)的一個周期設(shè)x-1，0知x+43，4f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2f(x)在-1，0上是增函數(shù)又f(x)為偶函數(shù)f(x)=f(-x)2(2020模擬題精選)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(-，0)上是減函數(shù)，且f(2)=0，則使得f(x)0的x的取值范圍是 ( ) A(-，2) B(2，+) C(-，-2)(2，+) D(-2，2)4(2020模擬題精選)設(shè)函數(shù)f(x)在(-，+)上滿足f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)，且在閉區(qū)間0，7上，只有f(1)=f(3)=0(1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性；(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間-2020，2020上根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論f(3)=f(13)=f(2020)=0f(x)=0在0，2020上共有402個解同理可求得f(x)=0在-2020，0上共有400個解f(x)=0在-2020，2020上有802個解【特別提醒】1函數(shù)奇偶性定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)，為了便于判斷有時需要將函數(shù)進(jìn)行化簡2要注意從數(shù)和形兩個角度理解函數(shù)的奇偶性，要充分利用f(x)與f(-x)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和圖像的對稱性解決有關(guān)問題 3解題中要注意以下性質(zhì)的靈活運(yùn)用. (1)f(x)為偶函數(shù)f(x)=f(-x)=f(|x|)(2)若奇函數(shù)f(x)的定義域包含0，則f(0)=0.【變式探究】 1 f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且g(x)是奇函數(shù)，已知g(x)=f(x-1)，若g(-1)=2020，則f(2020)的值為 ( )A2020 B-2020C.-2020 D2020 答案：D 解析：由題設(shè)條件易得f(x+4)=f(x), f(2020)=f(2).又f(-2)=g(-1)=2020. f(2006)=2020.2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x恒滿足f(x+2)=-f(x)當(dāng)x0，2時，f(x)=2x+x2 (1)求證:f(x)是周期函數(shù)；3.設(shè)a、bR，且a2定義在區(qū)間(-b，b)內(nèi)的函數(shù)f(x)=lg是奇函數(shù)，求b的取值范圍解析：f(x)=lg是奇函數(shù)，等價于，對任意x(-b,b)都有：           式即為lg即a2x2=4x2.此式對任意x(-b,b)都成立相當(dāng)于a2=4, a2, a=-2.代入(2)得即易錯點(diǎn)4 反函數(shù)的概念和性質(zhì)的應(yīng)用1(2020模擬題精選)函數(shù)f(x)=x2-2ax-3在區(qū)間1，2上存在反函數(shù)的充分必要條件是 ( )Aa(-，1)Ba2，+Ca1，2 Da(-，1)2，+x-1=1+x、y對換得y=1+ 又y=(1x2)0y1即原函數(shù)值域?yàn)?，1所以反函數(shù)為y=1- (0x1).選B. 3(2020模擬題精選)設(shè)f-1(x)是函數(shù)f(x)=(ax-a-x)(a1)的反函數(shù)，則使f-1(x)1成立的x的取值范圍為 ( )A(，+) B(-，)C(,a) D(a，+)4.(2020模擬題精選)設(shè)函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1，2)對稱，且存在反函數(shù)f-1(x)，f(4)=0，f-1(4)=_【錯誤答案】 填0 y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1，2)對稱，又f(4)=0，f(0)=4，f-1(4)=0【錯解分析】 上面解答錯在由圖像過點(diǎn)(4，0)得到圖像過點(diǎn)(4，0)上，因?yàn)閒(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(1，2)對稱不是關(guān)于y=x對稱，因此應(yīng)找出圖像過點(diǎn)(-2，4)是關(guān)鍵【正確解答】 填-2【特別提醒】1.求反函數(shù)時必須注意：(1)由原解析式解出x=f-1(y)，如求出的x不唯一，要根據(jù)條件中x的范圍決定取舍，只能取一個；(2)要求反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域2分段函數(shù)的反函數(shù)可以分別求出各段函數(shù)的反函數(shù)后再合成3若點(diǎn)(a，b)在原函數(shù)y=f(x)的圖像上，則(b，a)在反函數(shù)y=f-1(x)的圖像上【變式探究】1 函數(shù)y=3x2-1(-1x0)的反函數(shù)是 ( ) Ay=(x) By=- (x) Cy= (<x1)D.y=- (<x1) 答案：D 解析：由y=3x2-1得 x2-1=log3y -1x<0, x=-2 (2020模擬題精選)定義在R上的函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，最小正周期為T，若函數(shù)y=f(x)，x(0,T)時E有反函數(shù)y=f-1,xD則函數(shù)y=f(x)，x(2T,3T)的反函數(shù)為 ( ) A.y=f-1(x)，xD By=f-1(x-2T),xD C.y=f-1(x+2T)，xD D.y=f-1(x)+2TxD 答案：D 解析：x(2T,3T), x-2T=(0,T).又f(x)的周期為2T，y=f(x)=f(x-2T). x-2T=f-1(y)+2T,x,y互換，得y=f-1(x)+2T.當(dāng)x(2T,3T)的反函數(shù)為y=f-1(x)+2T,xD.3 已知f(x)=的反函數(shù)f-1(x)的圖像的對稱中心是(-1，3)，求實(shí)數(shù)a的值2 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x+4)當(dāng)x2時，f(x)單調(diào)遞增，如果x1+x2<4且(x1-2)(x2-2)<0，則f(x1)+f(x2)的值為 ( )A.可能為0 B恒大于0C.恒小于0 D可正可負(fù) 答案：C 解析：不妨設(shè)x1<x2,則x1<2<x2,且x1+x2<4,由f(-x)=-f(x+4)可知，函數(shù)f(x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）成中心對稱，函數(shù)在（2，+）上單調(diào)遞增，f(x1)+f(x2)<f(x1)+f(4-x1)=f(x1)-f(x1)=0,故選C.3 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)=()x，那么f(x)=()x，那么f-1(0)+f-1(-8)的值為 ( )A2 B-3 C3 D-2 答案：C解析：f(x)=f-1(-8)=3.故選 C.4.符號x表示不超過x的最大整數(shù)，如=3，-108=-2，定義函數(shù)x=x-x，那么下列命題中正確的個數(shù)是 ( )函數(shù)x的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，1；方程x=有無數(shù)解；函數(shù)x是周期函數(shù)；函數(shù)x是增函數(shù)A.1個 B2個 C3個 D4個 答案：C解析：f(x)的周期為3，f(2)=f(-1)=-f(1)<-1.即1<a<.故選C.5 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)1,f(2)=，則 ( )Aa< Ba且a-1C.-1<a< Dm>或m<-1 答案：D 解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)為偶函數(shù)，所以y=f(1-x)=f(x-1),它的圖可由y=f(x)的圖向右平移1個單位得到，故對稱軸為x=1,且在（4，6）內(nèi)是增函數(shù)，故選D。6 已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是(3，5)，則函數(shù)y=f(1-x) ( )A.圖像的對稱軸為x=-1，且在(2，4)內(nèi)是增函數(shù)B圖像的對稱軸為x=1，且在(2，4)內(nèi)是減函數(shù)C.圖像的對稱軸為x=0，且在(4，6)內(nèi)是增函數(shù)D圖像的對稱軸為x=1，且在(4，6)內(nèi)是增函數(shù) 7 函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳，g(x)=的定義域?yàn)锽，且AB=Ø ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_ 答案：解析：-1，3由x2-2x-80x-2或x4.由1-|x-a|>0|x-a|<1a-1<x<a+1,又由AB=，故8 已知y=f-1(x)是函數(shù)f(x)=的反函數(shù)，則函數(shù)g(x)=f(x)+f-1(x)的表達(dá)式是g(x)=_ 答案：解析：故9.已知函數(shù)f(x)在定義域上是減函數(shù)，且f(a-1)>f(1-a2)求a的取值范圍； 答案：解析：由犧件可得10.若f(x)滿足：在(0，+)上f(xy)=f(x)+f(y)，且對x1，f(x)>0恒成立，求證：f(x)存在反函數(shù)f-1(x)并比較f-1與 f-1(a)+f-1(b)的大小 故11.已知集合A=2，log2t，集合B=x|x2-14x+240，x1tR，且AB (1)對于區(qū)間a，b，定義此區(qū)間的“長度”為b-a 若A的區(qū)間“長度”為3，試求t的值 (2)某個函數(shù)f(x)的值域是B，且f(x)A的概率不小于06，試確定t的取值范圍 12集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的，對任的x0,f(x)-2，4，有f(x)在0，+上是增函數(shù)(1)試判斷f1(x)=-2及f2(x)=4-6·()(x0)是否在集合A中?若不在集合A中，試說明理由；答案：解析：（1）log2t-2=3t=32;（2）對于(1)中你認(rèn)為是集合A中的函數(shù)f(x)不等式f(x)+f(x+2)2f(x+1)是否對于任意的xD總成立?證明你的結(jié)論答案：B=2,12,由題意及概率的意義得即t256,4096.12 集合A是由適合以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)組成的，對任意的x0，f(x)-2，4，有f(x)在0，+8上地增函數(shù)。試判斷f1(x)=-2及f2(x)=4-6·（）x（x0）是否在集合A中？若不在集合A中，試說明理由；13 已知函數(shù)f(x)=(x0)(1)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并指出在每一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)是遞增的還是遞減的(不必證明)答案：f(x)=x(2)若不等式f(x)0對于x(0，+)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；答案：f(x)>0即a>-恒成立，a>由（1）的結(jié)論知當(dāng)(3)若f(x)(x1)的反函數(shù)f-1(x)，試求f-1(a+). 答案：根據(jù)反函數(shù)的意義，令14、已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b定義在區(qū)間-1，1上，且f(0)=f(1)，又P(x1，y1)，q(x2，y2)是其圖像上任意兩點(diǎn)(x1x2)(1)求證：f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0，b)成中心對稱圖形；答案：f(0)=f(1), b=1+a+b,得a=-1. f(x)=x3-x+b的圖象可由y=x3-x的圖象向上（或向下）平移b（或-b ）個單位得到.又y=x3-x是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形，f(x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，b）成中心對稱圖形。(2)設(shè)直線PQ的斜率為k，求證：|k|2答案：點(diǎn)P（x1,y1）,Q(x2y2)在f(x)=x3-x+b的圖象上，k=又(3)若0x1<x21，求證：|y1-y2|<1答案：0x1<x21,且|y1-y2|=2|x1-x2|=-2(x1-x2)+2 +得2|y1-y2|<2.故|y1-y2|<1.15已知x滿足a2xa6ax2ax4(0<a<1)，函數(shù)yloga·log(ax)的值域?yàn)?，求a的值f(x)maxf(4)