2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破18 排列、組合、二項(xiàng)式定理與概率 理

問題18排列、組合、二項(xiàng)式定理與概率1(2020·浙江)若從1,2,3，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A60種 B63種 C65種 D66種答案： D對于4個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，可分三類，即4個(gè)數(shù)均為偶數(shù)，2個(gè)數(shù)為偶數(shù)2個(gè)數(shù)為奇數(shù)，4個(gè)數(shù)均為奇數(shù)，因此共有CCCC66種2(2020·山東)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張從中任取3張，要求這3張卡片不能全是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為()A232 B252 C472 D484答案：C若沒有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三色卡片中選3張，若都不同色則有C×C×C64種，若2張同色，則有C×C×C×C144種；若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有C×C×C×C192種，剩余2張同色，則有C×C×C72種，所以共有6414419272472種不同的取法故選C.3(2020·遼寧)在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32 cm2的概率為()A. B. C. D.答案：C設(shè)出AC的長度，先利用矩形面積小于32 cm2求出AC長度的范圍，再利用幾何概型的概率公式求解設(shè)ACx cm，CB(12x)cm，0x12，所以矩形面積小于32 cm2即為x(12x)320x4或8x12，故所求概率為.4(2020·廣東)6的展開式中x3的系數(shù)為_(用數(shù)字作答)解析由6的展開式的通項(xiàng)為Tr1C(x2)6r·rCx123r，令123r3，得r3，所以展開式中x3的系數(shù)為C20.答案20排列、組合與二項(xiàng)式定理每年交替考查，主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，難度中等或稍易考查古典概型時(shí)，常以排列組合為工具，考查概率的計(jì)算由于這部分內(nèi)容概念性強(qiáng)，抽象性強(qiáng)，思維方法新穎，因此備考時(shí)：要讀懂題意，明確解題的突破口，選擇合理簡潔的標(biāo)準(zhǔn)處理事件；要牢記排列數(shù)、組合數(shù)、二項(xiàng)展開式公式；排列組合是進(jìn)行概率計(jì)算的工具，在復(fù)習(xí)概率時(shí)要抓住概率計(jì)算的核心和這個(gè)工具.必備知識排列、組合(1)排列數(shù)公式An(n1)(n2)(nm1)，A，An！，0！1(nN*，mN*，mn)(2)組合數(shù)公式及性質(zhì)C，C，C1，CC，CCC.二項(xiàng)式定理(1)定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCabn1Cbn(nN*)通項(xiàng)(展開式的第r1項(xiàng))：Tr1Canrbr，其中C(r0,1，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)(2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即CC，CC，CC，CC.二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即CCCC2n.二項(xiàng)式展開式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即CCCCCC2n1.(3)賦值法解二項(xiàng)式定理有關(guān)問題，如3n(12)nCC·21C·22C·2n等古典概型(1)P(A)(2)求古典概型概率的方法和步驟反復(fù)閱讀題目，收集題目中的各種信息，理解題意判斷試驗(yàn)是否為等可能性事件，并用字母表示所求事件利用列舉法或排列組合知識計(jì)算基本事件的個(gè)數(shù)n及事件A中包含的基本事件的個(gè)數(shù)m.計(jì)算事件中A的概率P(A).必備方法1解排列、組合問題應(yīng)遵循的原則：先特殊后一般，先選后排，先分類后分步2解排列、組合問題的常用策略：a相鄰問題捆綁法；b.不相鄰問題插空法；c.多排問題單排法；d.定序問題倍縮法；e.多元問題分類法；f.有序分配問題分步法；g.交叉問題集合法；h.至少或至多問題間接法；i.選排問題先取后排法；j.局部與整體問題排除法；k.復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化法3二項(xiàng)式中項(xiàng)的系數(shù)和差可以通過對二項(xiàng)式展開式兩端字母的賦值進(jìn)行解決，如(1x)n展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對值的和就是展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，只要令x1即得，而(1x)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對值的和，直接令x1，這樣就不難類比得到(1ax)n展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值的和為(1|a|)n.以實(shí)際生產(chǎn)、生活為背景的排列、組合問題是近幾年的?？純?nèi)容，解題時(shí)要先將問題轉(zhuǎn)化為排列組合問題后再求解題目多為中低檔題，為后面學(xué)習(xí)概率做基礎(chǔ)【例1】 某城市舉行奧運(yùn)火炬接力傳遞活動(dòng)，傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成如果第一棒只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒只能從甲、乙兩 人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有_種(用數(shù)字作答)審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 按照第一棒是否為甲、乙分兩類求解解析按照第一棒是否為甲，乙，可分為兩類：第一棒是丙，則第六棒的安排有C種，中間4棒剩余4人全排列，故不同的安排方法有C·C·A48種；第一棒是甲，乙中一人，則第一棒的安排有C種，最后一棒則只能安排甲，乙中不跑第一棒的一人，中間4棒剩余4人全排列，礦不同的安排方法有C·C·A48種根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，可得不同的方案共有484896種答案96 對于排列、組合的綜合題目，一般是將符合要求的元素取出或進(jìn)行分組，再對取出的元素或分好的組進(jìn)行排列，即一般策略為先組合后排列分組時(shí)，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn)【突破訓(xùn)練1】 由1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字，且1,3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是()A72 B96 C108 D144答案： C從2,4,6三個(gè)偶數(shù)中選一個(gè)數(shù)放在個(gè)位，有C種方法，將其余兩個(gè)偶數(shù)全排列，有A種排法，當(dāng)1,3不相鄰且不與5相鄰時(shí)有A種方法，當(dāng)1,3相鄰且不與5相鄰時(shí)有A·A種方法，故滿足題意的偶數(shù)個(gè)數(shù)有C·A(AA·A)108.求二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)、特定項(xiàng)、二項(xiàng)式或項(xiàng)的系數(shù)，常以選擇、填空題形式考查，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用有時(shí)也在數(shù)列壓軸題中出現(xiàn)，主要是利用二項(xiàng)式定理及不等式放縮法證明不等式【例2】 (2020·安徽)設(shè)(x1)21a0a1xa2x2a21x21，則a10a11_.審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 由Tr1Cx21r(1)r求解解析Tr1Cx21r(1)r，a10C(1)11，a11C(1)10，a10a11CCCC0.答案0 1.利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分析求解時(shí)，注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別2二項(xiàng)式定理的應(yīng)用不僅要注重它的“正用”，而且重視它的“逆用”；還要注意特殊值法的使用【突破訓(xùn)練2】 若n展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()A360 B180 C90 D45答案： B依題意知：n10，Tr1C()10rrC2r·x5r，令5r0得：r2，常數(shù)項(xiàng)為：C22180.對于古典概型的考查常將等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等多種事件交匯在一起進(jìn)行考查，是高考考查的重點(diǎn)【例3】 (2020·天津六校三模)盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球，規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得1分現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球(1)求取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率；(2)求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)間接法求概率；(2)用組合知識求概率解(1)P1.(2)記“取出1個(gè)紅色球，2個(gè)白色球”為事件B，“取出2個(gè)紅色球，1個(gè)黑色球”為事件C，則P(BC)P(B)P(C). 有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識對于較復(fù)雜的題目，要注意正確分類，分類時(shí)應(yīng)不重不漏【突破訓(xùn)練3】 有編號為A1，A2，A10的10個(gè)零件，測量其直徑(單位：cm)，得到下面數(shù)據(jù)：編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直徑1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直徑在區(qū)間1.48,1.52內(nèi)的零件為一等品(1)從上述10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率；(2)從一等品零件中隨機(jī)抽取2個(gè)()用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果；()求這2個(gè)零件直徑相等的概率解(1)由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6個(gè)設(shè)“從10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取一個(gè)為一等品”為事件A，則P(A).(2)()一等品零件的編號為A1，A2，A3，A4，A5，A6.從這6個(gè)一等品零件中隨機(jī)抽取2個(gè)，所有可能的結(jié)果有：A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共有15種()“從一等品零件中，隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”(記為事件B)的所有可能結(jié)果有：A1，A4，A1，A6，A4，A6，A2，A3，A2，A5，A3，A5，共有6種所以P(B).防范二項(xiàng)式展開式中的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)1：二項(xiàng)式(ab)n展開式的通項(xiàng)中，因a與b的順序顛倒而容易出錯(cuò)【示例1】 (2020·江蘇蘇北四市調(diào)研)n展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大162，則x的一次項(xiàng)系數(shù)為_解析據(jù)題意有：C22162，即2n(n1)2n162.n9.則Tr1C()9rrC(2)rx.由1，r3.T4(1)3·23·Cx672x.答案672老師叮嚀：若與的順序顛倒，項(xiàng)隨之發(fā)生變化，導(dǎo)致出錯(cuò)一般地，二項(xiàng)式(ab)n與(ba)n的通項(xiàng)公式不同，對應(yīng)項(xiàng)也不相同，在遇到類似問題時(shí)，要注意區(qū)分【試一試1】 已知(13x)n的展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于120，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為_解析由已知得CCC121，則n(n1)n1121，即n2n2400，解得n15，所以，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8C(3x)7和T9C(3x)8.答案T8C(3x)7和T9C(3x)8易錯(cuò)點(diǎn)2：二項(xiàng)式展開中項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的概念掌握不清，容易混淆，導(dǎo)致出錯(cuò)【示例2】 (2020·山東青島一模)如果n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是()A7 B7 C21 D21解析當(dāng)x1時(shí)，n2n128，n7，即7，根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式得Tr1C(3x)7r(1)rrC37r(1)rx7r.7r3，r6時(shí)對應(yīng)，即T61C376(1)67×3×.故項(xiàng)系數(shù)為21.答案C老師叮嚀：展開式中f(1,x3)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C7，項(xiàng)的系數(shù)為21，因此在解此類問題時(shí)，須注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系.【試一試2】 5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為()A40 B20 C20 D40答案： D因?yàn)檎归_式各項(xiàng)系數(shù)和為2，所以取x1得：(1a)(21)52，a1.二項(xiàng)式即為：5，它的展開式的常數(shù)項(xiàng)為：xC(2x)23C(2x)324C40.