2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 第3講 直線與圓錐曲線教案

第3講直線與圓錐曲線自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2020·陜西)已知橢圓C1：y21，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率(1)求橢圓C2的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，點A、B分別在橢圓C1和C2上，2，求直線AB的方程解析(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為1(a2)，其離心率為，故，解得a4.故橢圓C2的方程為1.(2)解法一A，B兩點的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.將ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k±1.故直線AB的方程為yx或yx.解法二A，B兩點的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.由2，得x，y.將x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k±1.故直線AB的方程為yx或yx.2(2020·福建)如圖，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x22py(p0)上(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y1相交于點Q，證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點解析(1)依題意，|OB|8，BOy30°.設(shè)B(x，y)，則x|OB|sin 30°4，y|OB|cos 30°12.因為點B(4，12)在x22py上，所以(4)22p×12，解得p2.故拋物線E的方程為x24y.(2)證明證法一由(1)知yx2，yx.設(shè)P(x0，y0)，則x00，y0x，且l的方程為yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q為.設(shè)M(0，y1)，令·0對滿足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由·0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式對滿足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1)證法二由(1)知yx2，yx.設(shè)P(x0，y0)，則x00，y0x，且l的方程為yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q為.取x02，此時P(2,1)，Q(0，1)，以PQ為直徑的圓為(x1)2y22，交y軸于點M1(0,1)、M2(0，1)；取x01，此時P，Q，以PQ為直徑的圓為22，交y軸于點M3(0,1)、M4.故若滿足條件的點M存在，只能是M(0,1)以下證明點M(0,1)就是所要求的點因為(x0，y01)，所以·2y022y022y020.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1)考題分析直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用往往是高考的壓軸試題，具體表現(xiàn)為弦長與面積問題，最值與范圍問題、定點與定值問題、存在性問題等，運算量一般較大，有一定的難度，多以解答題的形式出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點突破考點一：圓錐曲線中的弦長問題【例1】(2020·荊州模擬)已知橢圓1(ab0)右頂點與右焦點的距離為1，短軸長為2.(1)求橢圓的方程；(2)過左焦點F的直線與橢圓分別交于A、B兩點，若三角形OAB的面積為，求直線AB的方程審題導(dǎo)引(1)利用相關(guān)的幾何性質(zhì)求得a、b、c，可求橢圓方程；(2)設(shè)出直線的方程，利用弦長公式得到三角形OAB面積的表達式并解出直線的斜率，可得直線方程規(guī)范解答(1)由題意，解得a，c1.即橢圓方程為1.(2)當(dāng)直線AB與x軸垂直時，|AB|，此時SAOB不符合題意，故舍掉；當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為：yk(x1)，代入消去y得：(23k2)x26k2x(3k26)0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，所以|AB|.原點到直線的AB距離d，所以三角形的面積S|AB|d·.由Sk22k±，所以直線lAB：xy0或lAB：xy0.【規(guī)律總結(jié)】弦長問題的解決方法(1)弦長問題涉及直線與二次曲線的兩個交點坐標(biāo)，此時一般不是求出兩個點的坐標(biāo)，而是設(shè)出這兩個點的坐標(biāo)，根據(jù)直線方程和曲線方程聯(lián)立后的方程根的情況，使用根與系數(shù)的關(guān)系進行整體代入，這是解決弦長問題以及其他直線與二次曲線問題的最基本方法(2)注意使用弦長公式|AB|x1x2|y1y2|(k0)【變式訓(xùn)練】1設(shè)橢圓C：1(ab0)的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，直線l的傾斜角為60°，2.(1)求橢圓C的離心率；(2)如果|AB|，求橢圓C的方程解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y10，y20.(1)設(shè)直線l的方程為y(xc)，其中c.聯(lián)立得(3a2b2)y22b2cy3b40，解得y1，y2.因為2，所以y12y2，即2·.得離心率e.(2)因為|AB| |y2y1|，所以·.由得ba.所以a，得a3，b.橢圓C的方程為1.考點二：圓錐曲線中的最值與范圍問題【例2】(2020·大連模擬)已知橢圓1(ab0)經(jīng)過點A(2,1)，離心率為，過點B(3,0)的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N.(1)求橢圓的方程；(2)求·的取值范圍審題導(dǎo)引(1)根據(jù)所給條件利用橢圓的幾何性質(zhì)求出a2、b2；(2)設(shè)出直線的斜率與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理利用直線的斜率表示·，并求其范圍規(guī)范解答(1)由離心率為，可設(shè)ct，a2t，則bt.因為1(ab0)經(jīng)過點A(2,1)，所以1，解得t2，所以a26，b23，橢圓方程為1.(2)由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x3)，直線l與橢圓的交點坐標(biāo)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，消元整理得，(12k2)x212k2x18k260，(12k2)24(12k2)(18k26)0，得0k21，x1x2，x1x2，·(x13，y1)·(x23，y2)(x13)(x23)y1y2(1k2)x1x23(x1x2)9(1k2)×.因為0k21，所以23，所以·的取值范圍是(2,3【規(guī)律總結(jié)】最值或范圍問題的解決方法解析幾何中的最值問題涉及的知識面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種：(1)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值；(2)利用三角函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值；(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值；(4)利用判別式求最值；(5)利用數(shù)形結(jié)合，尤其是切線的性質(zhì)求最值【變式訓(xùn)練】2已知橢圓1(ab0)的右焦點為F2(3,0)，離心率為e.(1)若e，求橢圓的方程；(2)設(shè)直線ykx與橢圓相交于A、B兩點，M、N分別為線段AF2，BF2的中點若坐標(biāo)原點O在以MN為直徑的圓上，且e，求k的取值范圍解析(1)由題意得，得a2，所以a212，結(jié)合a2b2c2，解得b23.所以，橢圓的方程為1.(2)由得(b2a2k2)x2a2b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)所以x1x20，x1x2，依題意知，OMON，易知，四邊形OMF2N為矩形，所以AF2BF2，因為(x13，y1)，(x23，y2)，所以·(x13)(x23)y1y2(1k2)x1x290.即90，將其整理為k21.因為e，所以2a3，12a218.所以k2，即k.考點三：圓錐曲線中的定點、定值與探索性問題【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點C(p,0)作直線m與拋物線y22px(p0)相交于A、B兩點(1)設(shè)N(p,0)，求·的最小值；(2)是否存在垂直于x軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由審題導(dǎo)引(1)求出·的表達式，并求最小值；(2)是探索性問題，假設(shè)存在，以此為條件，求出弦長的表達式若能為定值，則存在；反之，則不存在規(guī)范解答(1)依題意，可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為xmyp.由y22pmy2p20.·(x1p，y1)·(x2p，y2)(x1p)(x2p)y1y2(my12p)·(my22p)y1y2(m21)y1y22pm(y1y2)4p22p2m22p2.當(dāng)m0時，·的最小值為2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為xa，AC的中點為O，l與以AC為直徑的圓相交于P，Q兩點，PQ的中點為H，則OHPQ，O的坐標(biāo)為.|OP|AC|，|PH|2|OP|2|OH|2(xp2)(2ax1p)2x1a(pa)|PQ|2(2|PH|)24.令ap0，得ap，此時|PQ|p為定值故滿足條件的直線l存在，其方程為xp.【規(guī)律總結(jié)】1化解探索性問題的方法首先假設(shè)所探求的問題結(jié)論成立、存在等，在這個假設(shè)下進行推理論證，如果得到了一個合情合理的推理結(jié)果，就肯定假設(shè)，對問題做出正面回答，如果得到一個矛盾的結(jié)果，就否定假設(shè)，對問題作出反面回答在這個解題思路指導(dǎo)下解決探索性問題與解決具有明確結(jié)論的問題沒有什么差別2求定值問題的方法定值問題是解析幾何中的一種常見問題，基本的求解方法是：先用變量表示所需證明的不變量，然后通過推導(dǎo)和已知條件，消去變量，得到定值，即解決定值問題首先是求解非定值問題，即變量問題，最后才是定值問題【變式訓(xùn)練】3(2020·北京東城11校聯(lián)考)已知頂點在坐標(biāo)原點，焦點在x軸正半軸的拋物線上有一點A，A點到拋物線焦點的距離為1.(1)求該拋物線的方程；(2)設(shè)M(x0，y0)為拋物線上的一個定點，過M作拋物線的兩條互相垂直的弦MP，MQ，求證：PQ恒過定點(x02，y0)；(3)直線xmy10與拋物線交于E、F兩點，在拋物線上是否存在點N，使得NEF為以EF為斜邊的直角三角形？解析(1)由題意可設(shè)拋物線的方程為y22px，則由拋物線的定義可得1，即p1，所以拋物線的方程為y22x.(2)證明由題意知直線PQ與x軸不平行，設(shè)PQ所在直線方程為xmyn，代入y22x中，得y22my2n0.所以y1y22m，y1y2n，其中y1，y2分別是P，Q的縱坐標(biāo)，因為MPMQ，所以kMP·kMQ1.即·1，所以(y1y0)(y2y0)4.y1·y2(y1y2)y0y40，(2n)2my02x040，即nmy0x02.所以直線PQ的方程為xmymy0x02，即xm(yy0)x02，它一定過定點(x02，y0)(3)假設(shè)N(x0，y0)為滿足條件的點，則由(2)知，點(x02，y0)在直線xmy10上，所以x02my010，(x0，y0)是方程的解，消去x得y22my60，4m2240，所以存在點N滿足條件名師押題高考【押題1】過雙曲線1(a0，b0)的一個焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為點A，與另一條漸近線交于點B.若2，則此雙曲線的漸近線的斜率是_解析雙曲線的漸近線方程是y±x，設(shè)過右焦點F(c,0)的直線l與漸近線yx垂直，則直線l的方程即y(xc)，兩直線方程聯(lián)立，解得點A的縱坐標(biāo)y1；把方程y(xc)與方程yx聯(lián)立，解得點B的縱坐標(biāo)y2.由于2，即(x2c，y2)2(x1c，y1)，由此得y22y1，故，此即2(b2a2)c2a2b2，即ba，故其漸近線的斜率是±.答案±押題依據(jù)本題以向量為背景，綜合考查雙曲線的幾何性質(zhì)，既考查了通性通法，又可考查考生的應(yīng)變能力，新穎別致、難度適中，故押此題【押題2】(2020·濟南三模)已知直線l：yx1，圓O：x2y2，直線l被圓截得的弦長與橢圓C：1(ab0)的短軸長相等，橢圓的離心率e.(1)求橢圓C的方程；(2)過點M的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過定點T？若存在， 求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解析(1)則由題設(shè)可知b1，又e，a，所以橢圓C的方程是y21.(2)解法一假設(shè)存在點T(u，v)若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為ykx，將它代入橢圓方程，并整理，得(18k29)x212kx160.設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則因為(x1u，y1v)，(x2u，y2v)及y1kx1，y2kx2，所以·(x1u)(x2u)(y1v)(y2v)(k21)x1x2(x1x2)u2v2當(dāng)且僅當(dāng)·0恒成立時，以AB為直徑的圓恒過定點T，所以解得u0，v1.此時以AB為直徑的圓恒過定點T(0,1)當(dāng)直線l的斜率不存在，l與y軸重合，以AB為直徑的圓為x2y21也過點T(0,1)綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個定點T(0,1)，滿足條件解法二若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是x2y21.若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是x22.由解得由此可知所求點T如果存在，只能是(0,1)事實上點T(0,1)就是所求的點證明如下：當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時，以AB為直徑的圓為x2y21，過點T(0,1)；當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為ykx，代入橢圓方程，并整理，得(18k29)x212kx160.設(shè)點A、B的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則因為(x1，y11)，(x2，y21)，·x1x2y1y2(y1y2)1(k21)x1x2k(x1x2)0.所以，即以AB為直徑的圓恒過定點T(0,1)綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個定點T(0,1)滿足條件押題依據(jù)直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用是高考的必考點之一，常作為壓軸題出現(xiàn)，主要考查考生的分析問題解決問題的能力及運算能力，有很好的區(qū)分度本題是探索性問題與定點問題的綜合，難度較大，符合高考命題的趨勢，故押此題