2020屆高三數學二輪復習 專題三 第2講 數列求和及數列的綜合應用教案

第2講數列求和及數列的綜合應用自主學習導引真題感悟1(2020·大綱全國卷)已知等差數列an的前n項和為Sn，a55，S515，則數列的前100項和為A. B. C. D.解析利用裂項相消法求和設等差數列an的首項為a1，公差為d.a55，S515，ana1(n1)dn.，數列的前100項和為11.答案A2(2020·浙江)已知數列an的前n項和為Sn，且Sn2n2n，nN，數列bn滿足an4log2bn3，nN.(1)求an，bn；(2)求數列an·bn的前n項和Tn.解析(1)由Sn2n2n，得當n1時，a1S13；當n2時，anSnSn14n1.所以an4n1，nN.由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN.(2)由(1)知anbn(4n1)·2n1，nN，所以Tn37×211×22(4n1)·2n1，2Tn3×27×22(4n5)·2n1(4n1)·2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN.考題分析數列的求和是高考的必考內容，可單獨命題，也可與函數、不等式等綜合命題，求解的過程體現了轉化與化歸的數學思想，解答此類題目需重點掌握幾類重要的求和方法，并加以靈活應用網絡構建高頻考點突破考點一：裂項相消法求數列的前n項和【例1】(2020·門頭溝一模)數列an的前n項和Snn21.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn(nN)，求數列bn的前n項和Tn.審題導引(1)運用公式an求an，注意n1時通項公式an；(2)裂項法求和規(guī)范解答(1)由已知，當n1時，a1S12，當n2時，anSnSn12n1，數列an的通項公式為an(2)由(1)知，bn當n1時，T1b1，當n2時，Tnb1b2bn，bn的前n項和Tn.【規(guī)律總結】常用的裂項技巧和方法用裂項相消法求和是最難把握的求和問題之一，其原因是有時很難找到裂項的方向突破這類問題的方法是根據式子的結構特點，掌握一些常見的裂項技巧，如：(1)；(2)()；(3)CCC；(4)n·n！(n1)！n！等易錯提示利用裂項相消法解決數列求和問題，容易出現的錯誤有兩個方面：(1)裂項過程中易忽視常數，如容易誤裂為，漏掉前面的系數；(2)裂項之后相消的過程中容易出現丟項或添項的問題，導致計算結果錯誤【變式訓練】1(2020·大連模擬)已知函數f(x)，數列an滿足a11，an1f(an)(nN)(1)求數列an的通項公式an；(2)若數列bn滿足bnanan1·3n，Snb1b2bn，求Sn.解析(1)由已知，an1，1.3，并且，數列為以為首項，3為公比的等比數列，·3n1，an.(2)bn，Snb1b2bn.考點二：錯位相減法求數列的前n項和【例2】(2020·濱州模擬)設等比數列an的前n項和為Sn，已知an12Sn2(nN)(1)求數列an的通項公式；(2)在an與an1之間插入n個數，使這n2個數組成公差為dn的等差數列，求數列的前n項和Tn.審題導引(1)利用遞推式消去Sn可求an；(2)利用錯位相減法求數列的前n項和規(guī)范解答(1)由an12Sn2(nN)，得an2Sn12(nN，n2)，兩式相減得an1an2an，即an13an(nN，n2)，又a22a12，an是等比數列，所以a23a1，則2a123a1，a12，an2·3n1.(2)由(1)知an12·3n，an2·3n1.an1an(n1)dn，dn，令Tn，則TnTn得Tn×.【規(guī)律總結】錯位相減法的應用技巧(1)設數列an為等差數列，數列bn為等比數列，求數列anbn的前n項和可用錯位相減法應用錯位相減法求和時需注意：(2)給數列和Sn的等式兩邊所乘的常數應不為零，否則需討論；在轉化為等比數列的和后，求其和時需看準項數，不一定為n.【變式訓練】2已知等差數列an滿足：an1an(nN)，a11，該數列的前三項分別加上1、1、3后順次成為等比數列bn的前三項(1)求數列an，bn的通項公式；(2)設Tn(nN)，若Tnc(cZ)恒成立，求c的最小值解析(1)設d、q分別為數列an的公差、數列bn的公比由題意知，a11，a21d，a312d，分別加上1、1、3得2、2d、42d，(2d)22(42d)，d±2.an1an，d0，d2，an2n1(nN)，由此可得b12，b24，q2，bn2n(nN)(2)Tn，Tn.由得Tn.Tn133，Tn33.使Tnc(cZ)恒成立的c的最小值為3.考點三：數列與不等式的綜合問題【例3】已知數列an的前n項和Sn滿足：Sna(Snan1)(a為常數，且a0，a1)(1)求an的通項公式；(2)設bnaSn·an，若數列bn為等比數列，求a的值；(3)在滿足條件(2)的情形下，設cn，數列cn的前n項和為Tn，求證：Tn2n.審題導引第(1)問先利用anSnSn1(n2)把Sn與an的關系式轉化為an與an1之間的關系，判斷數列的性質，求其通項公式；(2)根據第(1)問，求出數列bn的前三項，利用bb1×b3列出方程即可求得a的值；(3)先求出數列cn的通項公式，根據所求證問題將其放縮，然后利用數列求和公式證明規(guī)范解答(1)當n1時，S1a(S1a11)，得a1a.當n2時，Sna(Snan1)，Sn1a(Sn1an11)，兩式相減得ana·an1，得a.即an是等比數列所以ana·an1an.(2)由(1)知bn(an)2an，bn，若bn為等比數列，則有bb1b3，而b12a2，b2a3(2a1)，b3a4(2a2a1)，故a3(2a1)22a2·a4(2a2a1)，解得a，再將a代入bn，得bnn，結論成立，所以a.(3)證明由(2)，知ann，所以cn2.所以cn2.Tnc1c2cn2n2n.結論成立【規(guī)律總結】數列與不等式綜合問題的解題方法(1)在解決與數列有關的不等式問題時，需注意應用函數與方程的思想方法，如函數的單調性、最值等(2)在數列的恒成立問題中，有時需先求和，為了證明的需要，需合理變形，常用到放縮法，常見的放縮技巧有：；2()2()；利用(1x)n的展開式進行放縮【變式訓練】3已知數列bn滿足：bn1bn，且b1，Tn為bn的前n項和(1)求證：數列是等比數列，并求bn的通項公式；(2)如果對任意nN，不等式2n7恒成立，求實數k的取值范圍解析(1)證明對任意nN，都有bn1bn，所以bn1，則是等比數列，首項為b13，公比為，所以bn3×n1，即bn3×n1.(2)因為bn3×n1，所以Tn36.因為不等式2n7，化簡，得k，對任意nN恒成立，設cn，則cn1cn，當n5時，cn1cn，數列cn為單調遞減數列；當1n5時，cn1cn，數列cn為單調遞增數列而c4c5，所以n5時，cn取得最大值.所以要使k對任意nN恒成立，k.名師押題高考【押題1】在數列an中，an，又bn，則數列bn的前n項和Sn_.解析an(123n)，bn8數列bn的前n項和為Sn88.答案押題依據求數列的通項公式與數列的前n項和都是高考的熱點本題綜合考查了以上兩點及等差數列的求和公式，考查數列知識全面，綜合性較強，故押此題【押題2】已知數列an是首項a11的等比數列，且an0，bn是首項為1的等差數列，又a5b321，a3b513.(1)求數列an和bn的通項公式；(2)求數列的前n項和Sn.解析(1)設數列an的公比為q，bn的公差為d，則由已知條件得：，解之得：.an2n1，bn1(n1)×22n1.(2)由(1)知.Sn.Sn.得：Sn1n1.Sn3.押題依據數列求和中的錯位相減法因運算量較大，結構形式復雜能夠較好地考查考生的運算能力，有很好的區(qū)分度，而備受命題者青睞本題綜合考查了等差、等比數列的通項公式及錯位相減法求和，難度中等，故押此題