2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題二 第2講 三角恒等變換與解三角形教案

第2講三角恒等變換與解三角形自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引真題感悟1(2020·大綱全國(guó))已知為第二象限角，sin cos ，則cos 2ABC.D.解析利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式求解sincos ，(sin cos)2，2sin cos ，即sin 2.又為第二象限角且sin cos 0，2k2k(kZ)，4k24k(kZ)，2為第三象限角，cos 2.答案A2(2020·浙江)在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知cos A，sin Bcos C.(1)求tan C的值；(2)若a，求ABC的面積解析(1)因?yàn)?A，cos A，得sin A.又cos Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin Ccos Csin C，所以tan C.(2)由tan C，得sin C，cos C.于是sin Bcos C，由a及正弦定理，得c.設(shè)ABC的面積為S，則Sacsin B.考題分析新課標(biāo)高考對(duì)本部分的考查，一般多以小題考查三角變換在求值、化簡(jiǎn)等方面的應(yīng)用，而解答題常常有以下三種：三角變換與內(nèi)部相關(guān)知識(shí)的綜合性問(wèn)題、三角變換與向量的交匯性問(wèn)題、三角變換在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用問(wèn)題網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一：三角變換及求值【例1】設(shè)，sin，求的值審題導(dǎo)引解答本題的關(guān)鍵是求出sin 與cos ，觀察所給的條件式會(huì)發(fā)現(xiàn)求sin 與cos 的方法有兩個(gè)，一是利用角的變換，二是解關(guān)于sin 與cos 的方程組規(guī)范解答解法一由，得，又sin，cos.cos coscoscos sinsin .sin .故原式cos .解法二由sin，得sin cos ，平方得12sin cos ，即2sin cos 0.由于，故.(sin cos )212sin cos ，故sin cos ，聯(lián)立，解得sin ，cos .原式cos (12sin )×.【規(guī)律總結(jié)】sin 、cos 的求值技巧當(dāng)已知sin，cos時(shí)，利用和、差角的三角函數(shù)公式展開(kāi)后都含有sin cos 或sin cos ，這兩個(gè)公式中的其中一個(gè)平方后即可求出2sin cos ，根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，即可求出另外一個(gè)，這兩個(gè)聯(lián)立即可求出sin ，cos 的值或者把sin cos 、sin cos 與sin2cos21聯(lián)立，通過(guò)解方程組的方法也可以求出sin 、cos 的值易錯(cuò)提示三角函數(shù)求值中要特別注意角的范圍，如根據(jù)sin2求sin 的值時(shí)，sin ± 中的符號(hào)是根據(jù)角的范圍確定的，即當(dāng)?shù)姆秶沟胹in 0時(shí)，取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)注意在運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系時(shí)也有類(lèi)似問(wèn)題【變式訓(xùn)練】1(2020·煙臺(tái)一模)若，且cos2sin，則tan A1B.C.D.解析cos2sincos2cos 22cos2sin2，即tan21. 又，tan 0，tan 1.2(2020·南京模擬)已知sinsin ，0，則cos _.解析sinsin sin cos sin sin cos sin，sin.又0，cos，cos coscossin.答案考點(diǎn)二：正、余弦定理的應(yīng)用【例2】(2020·湖南師大附中模擬)在ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且(2ac)cos Bbcos C.(1)求角B的大小；(2)若cos A，a2，求ABC的面積審題導(dǎo)引(1)把條件式中的邊利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角后進(jìn)行三角恒等變換可求B；(2)利用(1)的結(jié)果求b及c，利用公式求面積規(guī)范解答(1)因?yàn)?2ac)cos Bbcos C，由正弦定理，得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos Csin(BC)sin A.0A，sin A0，cos B.又0B，B.(2)由正弦定理，得b，由cos A可得A，由B，可得sin C，Sabsin C×2××【規(guī)律總結(jié)】解三角形的一般方法是(1)已知兩角和一邊，如已知A、B和c，由ABC求C，由正弦定理求a、b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a、b和C，應(yīng)先用余弦定理求c，再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用ABC求另一角(3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，如已知a、b和A，應(yīng)先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解題時(shí)可能有多種情況(4)已知三邊a、b、c，可應(yīng)用余弦定理求A、B、C.【變式訓(xùn)練】3(2020·北京東城11校聯(lián)考)在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若sin Asin C，B30°，b2，則邊c_.解析由正弦定理得ac，由余弦定理可知b2a2c22accos B，即43c2c22c2×，解得c2.答案2考點(diǎn)三：解三角形與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【例3】(2020·宿州模擬)已知甲船正在大海上航行當(dāng)它位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即以10海里/小時(shí)的速度勻速前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，乙船當(dāng)即也決定勻速前往救援，并且與甲船同時(shí)到達(dá)(供參考使用：取tan 41°)(1)試問(wèn)乙船航行速度的大??；(2)試問(wèn)乙船航行的方向(試用方位角表示，譬如北偏東度)審題導(dǎo)引據(jù)題意作出示意圖，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形，利用正、余弦定理求解規(guī)范解答設(shè)乙船運(yùn)動(dòng)到B處的距離為t海里則t2AC2AB22AB·ACcos 120°1022022×10×20×700，t10，又設(shè)ACB，則，則sin 0.65，41°，乙船應(yīng)朝北偏東71°的方向沿直線前往B處求援速度為5海里/小時(shí)【規(guī)律總結(jié)】應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題需要下列四步(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；(3)將所求解的問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解；(4)檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案 【變式訓(xùn)練】4如圖所示，小麗家住在成都市錦江河畔的電梯公寓AD內(nèi)，她家河對(duì)岸新建了一座大廈BC，為了測(cè)得大廈的高度，小麗在她家的樓底A處測(cè)得大廈頂部B的仰角為60°，爬到樓頂D處測(cè)得大廈頂部B的仰角為30°，已知小麗所住的電梯公寓高82米，請(qǐng)你幫助小麗算出大廈高度BC及大廈與小麗所住電梯公寓間的距離AC.解析設(shè)ACx米，則BCx米，過(guò)點(diǎn)D作DEBC，易得BEx，xx82.x41米BC×41123米名師押題高考【押題1】已知，則sin cos _.解析·，則sin cos .答案押題依據(jù)誘導(dǎo)公式、倍角公式等都是高考的熱點(diǎn)，應(yīng)用這些公式進(jìn)行三角恒等變換是高考的必考內(nèi)容本題考點(diǎn)設(shè)置恰當(dāng)、難度適中，體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)能力的雙重考查，故押此題【押題2】在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列 (1)若b，a3，求c的值；(2)設(shè)tsin Asin C，求t的最大值解析(1)因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，所以2BAC，因?yàn)锳BC，所以B.因?yàn)閎，a3，b2a2c22accos B，所以c23c40.所以c4或c1(舍去)(2)因?yàn)锳C，所以tsin Asinsin Asin 2Asin.因?yàn)?A，所以2A.所以當(dāng)2A，即A時(shí)，t有最大值.押題依據(jù)本題將三角函數(shù)、余弦定理、數(shù)列巧妙地結(jié)合在一起，綜合考查了三角恒等變換及余弦定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了高考在知識(shí)的交匯處命題的理念，故押此題